Zawartość

• Kroki
• Metoda 1 z 2: Punkt przecięcia dwóch linii
• Metoda 2 z 2: Problemy z funkcjami kwadratowymi
• Porady

W przestrzeni dwuwymiarowej dwie linie proste przecinają się tylko w jednym punkcie określonym przez współrzędne (x, y). Ponieważ obie linie przechodzą przez punkt ich przecięcia, współrzędne (x, y) muszą spełniać oba równania opisujące te linie.Przy odrobinie dodatkowej umiejętności możesz znaleźć punkty przecięcia parabol i innych krzywych kwadratowych.

Kroki

Metoda 1 z 2: Punkt przecięcia dwóch linii

1. 1 Zapisz równanie dla każdego wiersza, izolując zmienną y po lewej stronie równania. Pozostałe wyrazy w równaniu należy umieścić po prawej stronie równania. Być może równanie podane ci zamiast „y” będzie zawierało zmienną f (x) lub g (x); w takim przypadku wyizoluj taką zmienną. Aby wyizolować zmienną, wykonaj odpowiednią matematykę po obu stronach równania.
   • Jeśli równania linii prostych nie zostały ci podane, znajdź je na podstawie informacji, które znasz.
   • Przykład... Podane są linie proste opisane równaniami ${ styl wyświetlania y = x + 3}$ oraz ${ styl wyświetlania y-12 = -2x}$... Aby wyizolować y w drugim równaniu, dodaj 12 do obu stron równania: ${ styl wyświetlania y = 12-2x}$
2. 2 Zrównaj wyrażenia po prawej stronie każdego równania. Naszym zadaniem jest znalezienie punktu przecięcia obu prostych, czyli punktu, którego współrzędne (x, y) spełniają oba równania. Ponieważ zmienna „y” znajduje się po lewej stronie każdego równania, wyrażenia znajdujące się po prawej stronie każdego równania można zrównać. Zapisz nowe równanie.
   • Przykład... NS ${ styl wyświetlania y = x + 3}$ oraz ${ styl wyświetlania y = 12-2x}$, wtedy możesz napisać następującą równość: ${ styl wyświetlania x + 3 = 12-2x}$.
3. 3 Znajdź wartość zmiennej „x”. Nowe równanie zawiera tylko jedną zmienną „x”. Aby znaleźć „x”, wyizoluj tę zmienną po lewej stronie równania, wykonując odpowiednią matematykę po obu stronach równania. Powinieneś otrzymać równanie postaci x = __ (jeśli nie jest to możliwe, przejdź do końca tej sekcji).
   • Przykład. ${ styl wyświetlania x + 3 = 12-2x}$
   • Dodać ${ styl wyświetlania 2x}$ po każdej stronie równania:
   • ${ styl wyświetlania 3x + 3 = 12}$
   • Odejmij 3 z każdej strony równania:
   • ${ styl wyświetlania 3x = 9}$
   • Podziel każdą stronę równania przez 3:
   • ${ styl wyświetlania x = 3}$.
4. 4 Użyj znalezionej wartości zmiennej „x”, aby obliczyć wartość zmiennej „y”. Aby to zrobić, zastąp znalezioną wartość „x” w równaniu (dowolnej) linii prostej.
   • Przykład. ${ styl wyświetlania x = 3}$ oraz ${ styl wyświetlania y = x + 3}$
   • ${ styl wyświetlania y = 3 + 3}$
   • ${ styl wyświetlania y = 6}$
5. 5 Sprawdź swoją odpowiedź. Aby to zrobić, podstaw wartość „x” w innym równaniu linii i znajdź wartość „y”. Jeśli otrzymasz różne wartości y, sprawdź, czy obliczenia są poprawne.
   • Przykład:${ styl wyświetlania x = 3}$ oraz ${ styl wyświetlania y = 12-2x}$
   • ${ styl wyświetlania y = 12-2 (3)}$
   • ${ styl wyświetlania y = 12-6}$
   • ${ styl wyświetlania y = 6}$
   • Otrzymaliśmy tę samą wartość dla "y", więc nie ma błędów w naszych obliczeniach.
6. 6 Zapisz współrzędne (x, y). Obliczając wartości „x” i „y”, znalazłeś współrzędne przecięcia dwóch linii. Zapisz współrzędne punktu przecięcia w postaci (x, y).
   • Przykład. ${ styl wyświetlania x = 3}$ oraz ${ styl wyświetlania y = 6}$
   • Zatem dwie linie przecinają się w punkcie o współrzędnych (3,6).
7. 7 Obliczenia w szczególnych przypadkach. W niektórych przypadkach nie można znaleźć wartości zmiennej „x”. Ale to nie znaczy, że popełniłeś błąd. Szczególny przypadek ma miejsce, gdy spełniony jest jeden z następujących warunków:
   • Jeśli dwie linie są równoległe, nie przecinają się. W takim przypadku zmienna „x” zostanie po prostu anulowana, a równanie zmieni się w bezsensowną równość (na przykład ${ styl wyświetlania 0 = 1}$). W takim przypadku napisz w swojej odpowiedzi, że linie proste się nie przecinają lub brak rozwiązania.
   • Jeśli oba równania opisują jedną linię prostą, to będzie nieskończona liczba punktów przecięcia. W takim przypadku zmienna „x” zostanie po prostu anulowana, a równanie zmieni się w ścisłą równość (na przykład ${ styl wyświetlania 3 = 3}$). W takim przypadku napisz w swojej odpowiedzi, że dwie proste linie pokrywają się.

Metoda 2 z 2: Problemy z funkcjami kwadratowymi

1. 1 Definicja funkcji kwadratowej. W funkcji kwadratowej jedna lub więcej zmiennych ma drugi stopień (ale nie wyższy), na przykład ${ styl wyświetlania x ^ {2}}$ lub ${ styl wyświetlania y ^ {2}}$... Wykresy funkcji kwadratowej to krzywe, które mogą nie przecinać się w jednym lub dwóch punktach. W tej sekcji pokażemy, jak znaleźć punkt lub punkty przecięcia krzywych kwadratowych.
   • Jeśli równanie zawiera wyrażenie w nawiasach, rozwiń nawiasy, aby upewnić się, że funkcja jest kwadratowa. Na przykład funkcja ${ styl wyświetlania y = (x + 3) (x)}$ jest kwadratowa, ponieważ rozszerzenie nawiasów daje ${ styl wyświetlania y = x ^ {2} + 3x.}$
   • Funkcja opisująca okrąg obejmuje zarówno ${ styl wyświetlania x ^ {2}}$oraz ${ styl wyświetlania y ^ {2}}$... Jeśli masz problemy z rozwiązywaniem problemów z tą funkcją, przejdź do sekcji „Wskazówki”.
2. 2 Przepisz każde równanie, izolując zmienną y po lewej stronie równania. Pozostałe wyrazy w równaniu należy umieścić po prawej stronie równania.
   • Przykład... Znajdź punkt (punkty) przecięcia wykresów ${ styl wyświetlania x ^ {2} + 2x-y = -1}$ oraz ${ styl wyświetlania y = x + 7}$
   • Zaizoluj zmienną y po lewej stronie równania:
   • ${ styl wyświetlania y = x ^ {2} + 2x + 1}$ oraz ${ styl wyświetlania y = x + 7}$.
   • W tym przykładzie otrzymasz jedną funkcję kwadratową i jedną funkcję liniową. Pamiętaj, że jeśli masz dwie funkcje kwadratowe, obliczenia są podobne do poniższych kroków.
3. 3 Zrównaj wyrażenia po prawej stronie każdego równania. Ponieważ zmienna „y” znajduje się po lewej stronie każdego równania, wyrażenia znajdujące się po prawej stronie każdego równania można zrównać.
   • Przykład. ${ styl wyświetlania y = x ^ {2} + 2x + 1}$ oraz ${ styl wyświetlania y = x + 7}$
   • ${ styl wyświetlania x ^ {2} + 2x + 1 = x + 7}$
4. 4 Przenieś wszystkie wyrazy wynikowego równania na jego lewą stronę i napisz 0 po prawej stronie. Aby to zrobić, wykonaj podstawowe operacje matematyczne. To pozwoli ci rozwiązać powstałe równanie.
   • Przykład. ${ styl wyświetlania x ^ {2} + 2x + 1 = x + 7}$
   • Odejmij "x" od obu stron równania:
   • ${ styl wyświetlania x ^ {2} + x + 1 = 7}$
   • Odejmij 7 od obu stron równania:
   • ${ styl wyświetlania x ^ {2} + x-6 = 0}$
5. 5 Rozwiąż równanie kwadratowe. Przesuwając wszystkie wyrazy równania na lewą stronę, otrzymujesz równanie kwadratowe. Można go rozwiązać na trzy sposoby: używając specjalnego wzoru, uzupełniając do pełnego kwadratu i rozkładając równanie na czynniki.
   • Przykład. ${ styl wyświetlania x ^ {2} + x-6 = 0}$
   • Podczas rozkładania równania na czynniki otrzymujesz dwa dwumiany, które mnożysz, aby uzyskać oryginalne równanie. W naszym przykładzie pierwszy termin ${ styl wyświetlania x ^ {2}}$ można rozwinąć do x * x. Wprowadź następujący wpis: (x) (x) = 0
   • W naszym przykładzie wolny termin -6 można rozszerzyć na następujące czynniki: ${ styl wyświetlania -6 * 1}$, ${ styl wyświetlania -3 * 2}$, ${ styl wyświetlania -2 * 3}$, ${ styl wyświetlania -1 * 6}$.
   • W naszym przykładzie drugim wyrazem jest x (lub 1x). Dodaj każdą parę czynników wyrazu wolnego (w naszym przykładzie -6), aż uzyskasz 1. W naszym przykładzie odpowiednią parę czynników wyrazu wolnego to -2 i 3 (${ styl wyświetlania -2 * 3 = -6}$), NS ${ styl wyświetlania -2 + 3 = 1}$.
   • Wypełnij puste pola znalezioną parą liczb: ${ styl wyświetlania (x-2) (x + 3) = 0}$.
6. 6 Nie zapomnij o drugim punkcie przecięcia obu wykresów. W pośpiechu możesz zapomnieć o drugim punkcie przecięcia. Oto jak znaleźć współrzędne x dwóch punktów przecięcia:
   • Przykład (faktoryzacja)... Jeśli w równaniu ${ styl wyświetlania (x-2) (x + 3) = 0}$ jedno z wyrażeń w nawiasach będzie równe 0, wtedy całe równanie będzie równe 0. Dlatego możesz napisać to tak: ${ styl wyświetlania x-2 = 0}$ → ${ styl wyświetlania x = 2}$ oraz ${ styl wyświetlania x + 3 = 0}$ → ${ styl wyświetlania x = -3}$ (czyli znalazłeś dwa pierwiastki równania).
   • Przykład (przy użyciu wzoru lub uzupełnienia do pełnego kwadratu)... Podczas korzystania z jednej z tych metod pierwiastek kwadratowy pojawi się w procesie rozwiązywania. Na przykład równanie z naszego przykładu przyjmie postać ${ displaystyle x = (- 1 + { sqrt {25}}) / 2}$... Pamiętaj, że wyciągając pierwiastek kwadratowy, otrzymujesz dwa rozwiązania. W naszym przypadku: ${ styl wyświetlania { sqrt {25}} = 5 * 5}$, oraz${ displaystyle { sqrt {25}} = (- 5) * (- 5)}$... Zapisz więc dwa równania i znajdź dwie wartości x.
7. 7 Wykresy przecinają się w jednym punkcie lub wcale się nie przecinają. Takie sytuacje mają miejsce, gdy spełnione są następujące warunki:
   • Jeśli wykresy przecinają się w jednym punkcie, to równanie kwadratowe jest rozkładane na te same czynniki, na przykład (x-1) (x-1) = 0, a we wzorze pojawia się pierwiastek kwadratowy z 0 (${ styl wyświetlania { sqrt {0}}}$). W tym przypadku równanie ma tylko jedno rozwiązanie.
   • Jeśli wykresy w ogóle się nie przecinają, równanie nie jest rozkładane na czynniki, a we wzorze pojawia się pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej (na przykład ${ styl wyświetlania { sqrt {-2}}}$). W takim przypadku napisz w odpowiedzi, że brak rozwiązania.
8. 8 Podstaw znalezioną wartość zmiennej „x” w równaniu (dowolnym) krzywej. Spowoduje to znalezienie wartości zmiennej y. Jeśli masz dwie wartości dla zmiennej „x”, postępuj zgodnie z opisanym procesem z obiema wartościami „x”.
   • Przykład... Znalazłeś dwie wartości dla zmiennej „x”: ${ styl wyświetlania x = 2}$ oraz ${ styl wyświetlania x = -3}$... Podłącz każdą z tych wartości do równania liniowego ${ styl wyświetlania y = x + 7}$... Dostaniesz : ${ styl wyświetlania y = 2 + 7 = 9}$ oraz ${ styl wyświetlania y = -3 + 7 = 4}$.
9. 9 Zapisz współrzędne punktu przecięcia w postaci (x, y). Obliczając wartości x i y, znalazłeś współrzędne przecięcia dwóch wykresów. Jeśli zidentyfikowałeś dwie wartości „x” i „y”, zapisz dwie pary współrzędnych, nie myląc odpowiadających im wartości „x” i „y”.
   • Przykład... Po podstawieniu do równania ${ styl wyświetlania x = 2}$ Dostaniesz ${ styl wyświetlania y = 9}$, czyli jedna para współrzędnych (2, 9)... Wykonując te same obliczenia z drugą wartością x, otrzymasz drugą parę współrzędnych (-3, 4).

Porady

• Funkcja opisująca okrąg obejmuje zarówno ${ styl wyświetlania x ^ {2}}$oraz ${ styl wyświetlania y ^ {2}}$... Aby znaleźć punkt (punkty) przecięcia okręgu i linii prostej, oblicz „x” za pomocą równania liniowego. Następnie wstaw znalezioną wartość x do funkcji opisującej okrąg, a otrzymasz proste równanie kwadratowe, które może nie mieć rozwiązania lub mieć jedno lub dwa rozwiązania.
• Okrąg i krzywa (kwadratowa lub inna) nie mogą się przecinać ani przecinać w jednym, dwóch, trzech, czterech punktach. W takim przypadku musisz znaleźć wartość x (nie „x”), a następnie zastąpić ją drugą funkcją. Obliczając y, otrzymujesz jedno lub dwa rozwiązania lub wcale. Teraz podłącz znalezioną wartość „y” do jednej z dwóch funkcji i znajdź wartość „x”. W takim przypadku otrzymasz jedno lub dwa rozwiązania lub wcale.