Zawartość

• Kroki
• Część 1 z 3: Znajdowanie dziedziny funkcji
• Część 2 z 3: Znajdowanie zakresu funkcji kwadratowej
• Część 3 z 3: Znajdowanie zakresu funkcji za pomocą jej wykresu

Każda funkcja posiada dwie zmienne – zmienną niezależną i zmienną zależną, których wartości zależą od wartości zmiennej niezależnej. Na przykład w funkcji tak = F(x) = 2x + tak zmienną niezależną jest x, a zmienną zależną jest y (innymi słowy, y jest funkcją x). Prawidłowe wartości zmiennej niezależnej „x” nazywane są domeną funkcji, a prawidłowe wartości zmiennej zależnej „y” nazywane są domeną funkcji.

Kroki

Część 1 z 3: Znajdowanie dziedziny funkcji

1. 1 Określ rodzaj funkcji, którą ci przydzielono. Zakres wartości funkcji to wszystkie dopuszczalne wartości „x” (wykreślone wzdłuż osi poziomej), które odpowiadają dopuszczalnym wartościom „y”. Funkcja może być kwadratowa lub zawierać ułamki lub pierwiastki. Aby znaleźć dziedzinę funkcji, musisz najpierw określić typ funkcji.
   • Funkcja kwadratowa to: ax + bx + c: f (x) = 2x + 3x + 4
   • Funkcja zawierająca ułamek: f (x) = (/_x), f (x) = /_(x-1) (itp).
   • Funkcja zawierająca pierwiastek: f (x) = √x, f (x) = √ (x + 1), f (x) = √-x (i tak dalej).
2. 2 Wybierz odpowiedni wpis dla zakresu funkcji. Zakres jest zapisany w kwadratach i/lub nawiasach. Nawias kwadratowy jest używany, gdy wartość znajduje się w zakresie funkcji; jeśli wartość nie mieści się w zakresie, używany jest nawias. Jeżeli funkcja ma kilka nieprzylegających do siebie dziedzin definicji, pomiędzy nimi umieszczany jest symbol „U”.
   • Na przykład dziedzina [-2,10) U (10,2] zawiera wartości -2 i 2, ale nie zawiera wartości 10.
   • Nawiasy są zawsze używane z symbolem nieskończoności ∞.
3. 3 Wykreśl funkcję kwadratową. Wykres takiej funkcji to parabola, której gałęzie są skierowane w górę lub w dół. Ponieważ parabola rośnie lub maleje na całej osi X, domeną funkcji kwadratowej są wszystkie liczby rzeczywiste. Innymi słowy, dziedziną takiej funkcji jest zbiór R (R oznacza wszystkie liczby rzeczywiste).
   • Aby lepiej zrozumieć pojęcie funkcji, wybierz dowolną wartość „x”, wstaw ją do funkcji i znajdź wartość „y”. Para wartości „x” i „y” reprezentuje punkt o współrzędnych (x, y), który leży na wykresie funkcji.
   • Narysuj ten punkt na płaszczyźnie współrzędnych i postępuj zgodnie z opisanym procesem z inną wartością „x”.
   • Wykreślając kilka punktów na płaszczyźnie współrzędnych, uzyskasz ogólne pojęcie o kształcie wykresu funkcji.
4. 4 Jeśli funkcja zawiera ułamek, ustaw jego mianownik na zero. Pamiętaj, że nie możesz dzielić przez zero. Dlatego przyrównując mianownik do zera, znajdziesz wartości dla „x”, które nie są objęte zakresem funkcji.
   • Na przykład znajdź dziedzinę funkcji f (x) = /_(x-1).
   • Tutaj mianownik to (x - 1).
   • Zrównaj mianownik do zera i znajdź „x”: x - 1 = 0; x = 1.
   • Zapisz zakres funkcji. Dziedzina nie zawiera 1, to znaczy zawiera wszystkie liczby rzeczywiste z wyjątkiem 1. Zatem dziedziną funkcji jest: (-∞, 1) U (1, ∞).
   • Notacja (-∞, 1) U (1, ∞) brzmi następująco: zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem 1. Symbol nieskończoności ∞ oznacza wszystkie liczby rzeczywiste. W naszym przykładzie wszystkie liczby rzeczywiste większe niż 1 i mniejsze niż 1 są zawarte w zasięgu.
5. 5 Jeśli funkcja zawiera pierwiastek kwadratowy, to wyrażenie radykalne musi być większe lub równe zero. Pamiętaj, że pierwiastek kwadratowy z liczb ujemnych nie jest wyodrębniany. Dlatego każda wartość „x”, przy której wyrażenie radykalne staje się ujemne, musi zostać wykluczona z zakresu funkcji.
   • Na przykład znajdź dziedzinę funkcji f (x) = √ (x + 3).
   • Wyrażenie radykalne: (x + 3).
   • Wyrażenie rodnikowe musi być większe lub równe zero: (x + 3) ≥ 0.
   • Znajdź „x”: x ≥ -3.
   • Zakres tej funkcji obejmuje zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, które są większe lub równe -3. Tak więc domena to [-3, ∞).

Część 2 z 3: Znajdowanie zakresu funkcji kwadratowej

1. 1 Upewnij się, że otrzymasz funkcję kwadratową. Funkcja kwadratowa ma postać: ax + bx + c: f (x) = 2x + 3x + 4. Wykres takiej funkcji jest parabolą, której gałęzie są skierowane w górę lub w dół. Istnieją różne metody znajdowania zakresu wartości funkcji kwadratowej.
   • Najłatwiejszym sposobem znalezienia zakresu funkcji pierwiastka lub ułamka jest narysowanie wykresu tej funkcji za pomocą kalkulatora graficznego.
2. 2 Znajdź współrzędną x wierzchołka wykresu funkcji. W przypadku funkcji kwadratowej znajdź współrzędną x wierzchołka paraboli. Pamiętaj, że funkcja kwadratowa to: ax + bx + c. Aby obliczyć współrzędną x, użyj następującego równania: x = -b / 2a. Równanie to jest pochodną podstawowej funkcji kwadratowej i opisuje styczną, której nachylenie wynosi zero (styczna do wierzchołka paraboli jest równoległa do osi X).
   • Na przykład znajdź zakres funkcji 3x + 6x -2.
   • Oblicz współrzędną x wierzchołka paraboli: x = -b / 2a = -6 / (2 * 3) = -1
3. 3 Znajdź współrzędną y wierzchołka wykresu funkcji. Aby to zrobić, wstaw znalezioną współrzędną „x” do funkcji. Poszukiwana współrzędna „y” jest wartością graniczną zakresu wartości funkcji.
   • Oblicz współrzędną y: y = 3x + 6x - 2 = 3 (-1) + 6 (-1) -2 = -5
   • Współrzędne wierzchołka paraboli tej funkcji to (-1, -5).
4. 4 Określ kierunek paraboli, podstawiając co najmniej jedną wartość x do funkcji. Wybierz dowolną inną wartość x i podłącz ją do funkcji, aby obliczyć odpowiednią wartość y. Jeśli znaleziona wartość „y” jest większa niż współrzędna „y” wierzchołka paraboli, to parabola jest skierowana w górę. Jeśli znaleziona wartość „y” jest mniejsza niż współrzędna „y” wierzchołka paraboli, wówczas parabola jest skierowana w dół.
   • Podstaw x = -2 w funkcji: y = 3x + 6x - 2 = y = 3 (-2) + 6 (-2) - 2 = 12 -12 -2 = -2.
   • Współrzędne punktu na paraboli to (-2, -2).
   • Znalezione współrzędne wskazują, że gałęzie paraboli są skierowane w górę. Zatem zakres funkcji obejmuje wszystkie wartości y, które są większe lub równe -5.
   • Zakres wartości tej funkcji: [-5, ∞)
5. 5 Zakres wartości funkcji zapisuje się tak samo jak zakres definicji funkcji. Nawias kwadratowy jest używany, gdy wartość znajduje się w zakresie funkcji; jeśli wartość nie mieści się w zakresie, używany jest nawias. Jeżeli funkcja ma kilka niesąsiadujących ze sobą zakresów wartości, pomiędzy nimi umieszczany jest symbol „U”.
   • Na przykład zakres [-2,10) U (10,2] obejmuje wartości -2 i 2, ale nie zawiera wartości 10.
   • Nawiasy są zawsze używane z symbolem nieskończoności ∞.

Część 3 z 3: Znajdowanie zakresu funkcji za pomocą jej wykresu

1. 1 Wykreśl funkcję. W wielu przypadkach łatwiej jest znaleźć zakres wartości funkcji, wykreślając jej wykres. Zakres wartości wielu funkcji z pierwiastkami to (-∞, 0] lub [0, + ∞), ponieważ wierzchołek paraboli skierowany w prawo lub w lewo leży na osi X. W tym przypadku , zakres obejmuje wszystkie dodatnie wartości „y”, jeśli parabola rośnie, lub wszystkie ujemne wartości „y”, jeśli parabola maleje. Funkcje ułamkowe mają asymptoty określające ich zakres.
   • Wierzchołki wykresów niektórych funkcji z pierwiastkami leżą powyżej lub poniżej osi X. W tym przypadku zakres wartości jest określony przez współrzędną „y” wierzchołka paraboli. Jeśli np. współrzędna „y” wierzchołka paraboli wynosi -4 (y = -4), a parabola rośnie, to zakres wartości wynosi [-4, + ∞).
   • Najłatwiejszym sposobem wykreślenia funkcji jest użycie kalkulatora graficznego lub specjalnego oprogramowania.
   • Jeśli nie masz kalkulatora graficznego, utwórz przybliżony wykres, podłączając wiele wartości x do funkcji i obliczając odpowiadające im wartości y. Wykreśl znalezione punkty na płaszczyźnie współrzędnych, aby uzyskać ogólne pojęcie o kształcie wykresu.
2. 2 Znajdź minimum funkcji. Kiedy wykreślasz funkcję, zobaczysz punkt, w którym funkcja ma minimalną wartość.Jeśli nie ma oczywistego minimum, to nie istnieje, a wykres funkcji idzie do -∞.
   • Zakres wartości funkcji obejmuje wszystkie wartości „y” z wyjątkiem wartości asymptot. Często zakresy wartości takich funkcji są zapisywane w następujący sposób: (-∞, 6) U (6, ∞).
3. 3 Określ maksimum funkcji. Po narysowaniu funkcji zobaczysz punkt, w którym funkcja ma maksymalną wartość. Jeśli nie ma oczywistego maksimum, to nie istnieje, a wykres funkcji idzie do + ∞.
4. 4 Zakres wartości funkcji zapisuje się tak samo jak zakres definicji funkcji. Nawias kwadratowy jest używany, gdy wartość znajduje się w zakresie funkcji; jeśli wartość nie mieści się w zakresie, używany jest nawias. Jeżeli funkcja ma kilka niesąsiadujących ze sobą zakresów wartości, pomiędzy nimi umieszczany jest symbol „U”.
   • Na przykład zakres [-2,10) U (10,2] obejmuje wartości -2 i 2, ale nie zawiera wartości 10.
   • Nawiasy są zawsze używane z symbolem nieskończoności ∞.