Zawartość

• Kroki
• Część 1 z 4: Jak napisać równanie
• Część 2 z 4: Jak napisać algorytm Euklidesa
• Część 3 z 4: Jak znaleźć rozwiązanie za pomocą algorytmu Euklidesa
• Część 4 z 4: Znajdź nieskończone inne rozwiązania

Aby rozwiązać liniowe równanie diofantyczne, musisz znaleźć wartości zmiennych „x” i „y”, które są liczbami całkowitymi. Rozwiązanie liczb całkowitych jest bardziej złożone niż zwykle i wymaga określonego zestawu działań. Najpierw musisz obliczyć największy wspólny dzielnik (NWD) współczynników, a następnie znaleźć rozwiązanie. Gdy znajdziesz jedno całkowite rozwiązanie równania liniowego, możesz użyć prostego wzoru, aby znaleźć nieskończoną liczbę innych rozwiązań.

Kroki

Część 1 z 4: Jak napisać równanie

1. 1 Zapisz równanie w standardowej formie. Równanie liniowe to równanie, w którym wykładniki zmiennych nie przekraczają 1. Aby rozwiązać takie równanie liniowe, najpierw napisz je w standardowej formie. Standardowa postać równania liniowego wygląda tak: ${ displaystyle Axe + By = C}$, gdzie ${ styl wyświetlania A, B}$ oraz ${ styl wyświetlania C}$ - wszystkie liczby.
   • Jeśli równanie jest podane w innej postaci, sprowadź je do postaci standardowej za pomocą podstawowych operacji algebraicznych. Na przykład, biorąc pod uwagę równanie ${ styl wyświetlania 23x + 4y-7x = -3y + 15}$... Podaj podobne terminy i napisz równanie w ten sposób: ${ styl wyświetlania 16x + 7y = 15}$.
2. 2 Uprość równanie (jeśli to możliwe). Kiedy piszesz równanie w standardowej formie, spójrz na współczynniki ${ styl wyświetlania A, B}$ oraz ${ styl wyświetlania C}$... Jeśli te kursy mają GCD, podziel wszystkie trzy kursy przez niego. Rozwiązaniem tak uproszczonego równania będzie również rozwiązanie pierwotnego równania.
   • Na przykład, jeśli wszystkie trzy współczynniki są parzyste, podziel je przez co najmniej 2. Na przykład:
     • ${ styl wyświetlania 42x + 36y = 48}$ (wszyscy członkowie są podzielni przez 2)
     • ${ Displaystyle 21x + 18y = 24}$ (teraz wszyscy członkowie są podzielni przez 3)
     • ${ styl wyświetlania 7x + 6y = 8}$ (tego równania nie można już uprościć)
3. 3 Sprawdź, czy równanie można rozwiązać. W niektórych przypadkach można od razu stwierdzić, że równanie nie ma rozwiązań. Jeżeli współczynnik „C” nie jest podzielny przez NWD współczynników „A” i „B”, równanie nie ma rozwiązań.
   • Na przykład, jeśli oba współczynniki ${ styl wyświetlania A}$ oraz ${ styl wyświetlania B}$ są parzyste, to współczynnik ${ styl wyświetlania C}$ musi być równa. Ale jeśli ${ styl wyświetlania C}$ dziwne, to nie ma rozwiązania.
     • Równanie ${ styl wyświetlania 2x + 4y = 21}$ brak rozwiązań całkowitoliczbowych.
     • Równanie ${ styl wyświetlania 5x + 10y = 17}$ nie ma rozwiązań całkowitych, ponieważ lewa strona równania jest podzielna przez 5, a prawa nie.

Część 2 z 4: Jak napisać algorytm Euklidesa

1. 1 Zrozum algorytm Euklidesa. Jest to seria powtarzających się dzieleń, w których poprzednia reszta jest używana jako następny dzielnik. Ostatni dzielnik, który dzieli liczby w sposób całkowity, jest największym wspólnym dzielnikiem (NWP) tych dwóch liczb.
   • Na przykład znajdźmy NWD liczb 272 i 36 za pomocą algorytmu Euklidesa:
     • ${ styl wyświetlania 272 = 7 * 36 + 20}$ - Podziel większą liczbę (272) przez mniejszą (36) i zwróć uwagę na resztę (20);
     • ${ styl wyświetlania 36 = 1 * 20 + 16}$ - podzielić poprzedni dzielnik (36) przez poprzednią resztę (20). Zwróć uwagę na nową pozostałość (16);
     • ${ styl wyświetlania 20 = 1 * 16 + 4}$ - podziel poprzedni dzielnik (20) przez poprzednią resztę (16). Zwróć uwagę na nową pozostałość (4);
     • ${ styl wyświetlania 16 = 4 * 4 + 0}$ - Podziel poprzedni dzielnik (16) przez poprzednią resztę (4). Ponieważ reszta to 0, możemy powiedzieć, że 4 to NWD oryginalnych dwóch liczb 272 i 36.
2. 2 Zastosuj algorytm Euklidesa do współczynników „A” i „B”. Kiedy piszesz równanie liniowe w standardowej postaci, określ współczynniki „A” i „B”, a następnie zastosuj do nich algorytm Euklidesa, aby znaleźć GCD. Na przykład, biorąc pod uwagę równanie liniowe ${ styl wyświetlania 87x-64y = 3}$.
   • Oto algorytm Euklidesa dla współczynników A = 87 i B = 64:
     • ${ Displaystyle 87 = 1 * 64 + 23}$
     • ${ Displaystyle 64 = 2 * 23 + 18}$
     • ${ styl wyświetlania 23 = 1 * 18 + 5}$
     • ${ styl wyświetlania 18 = 3 * 5 + 3}$
     • ${ styl wyświetlania 5 = 1 * 3 + 2}$
     • ${ styl wyświetlania 3 = 1 * 2 + 1}$
     • ${ styl wyświetlania 2 = 2 * 1 + 0}$
3. 3 Znajdź największy wspólny czynnik (GCD). Ponieważ ostatnim dzielnikiem był 1, NWD 87 i 64 to 1. Zatem 87 i 64 są liczbami pierwszymi względem siebie.
4. 4 Przeanalizuj wynik. Kiedy znajdziesz współczynniki gcd ${ styl wyświetlania A}$ oraz ${ styl wyświetlania B}$, porównaj to ze współczynnikiem ${ styl wyświetlania C}$ oryginalne równanie. Jeśli ${ styl wyświetlania C}$ podzielne przez gcd ${ styl wyświetlania A}$ oraz ${ styl wyświetlania B}$równanie ma rozwiązanie całkowitoliczbowe; w przeciwnym razie równanie nie ma rozwiązań.
   • Na przykład równanie ${ styl wyświetlania 87x-64y = 3}$ można rozwiązać, ponieważ 3 jest podzielne przez 1 (gcd = 1).
   • Załóżmy na przykład, że GCD = 5. 3 nie jest podzielne przez 5, więc to równanie nie ma rozwiązań całkowitych.
   • Jak pokazano poniżej, jeśli równanie ma jedno rozwiązanie całkowitoliczbowe, ma również nieskończoną liczbę innych rozwiązań całkowitoliczbowych.

Część 3 z 4: Jak znaleźć rozwiązanie za pomocą algorytmu Euklidesa

1. 1 Ponumeruj etapy obliczania GCD. Aby znaleźć rozwiązanie równania liniowego, musisz użyć algorytmu euklidesowego jako podstawy do procesu podstawienia i uproszczenia.
   • Zacznij od numerowania kroków do obliczenia GCD. Proces obliczania wygląda tak:
     • ${ displaystyle { tekst {Krok 1}}: 87 = (1 * 64) +23}$
     • ${ displaystyle { tekst {krok 2}}: 64 = (2 * 23) +18}$
     • ${ Displaystyle { tekst {Krok 3}}: 23 = (1 * 18) + 5}$
     • ${ styl wyświetlania { tekst {krok 4}}: 18 = (3 * 5) +3}$
     • ${ Displaystyle { tekst {Krok 5}}: 5 = (1 * 3) +2}$
     • ${ styl wyświetlania { tekst {krok 6}}: 3 = (1 * 2) +1}$
     • ${ styl wyświetlania { tekst {krok 7}}: 2 = (2 * 1) + 0}$
2. 2 Zwróć uwagę na ostatni krok, gdzie jest reszta. Przepisz równanie dla tego kroku, aby wyizolować resztę.
   • W naszym przykładzie ostatnim krokiem z resztą jest krok 6. Reszta to 1. Przepisz równanie w kroku 6 w następujący sposób:
     • ${ styl wyświetlania 1 = 3- (1 * 2)}$
3. 3 Odizoluj pozostałą część poprzedniego kroku. Ten proces to krok po kroku „w górę”. Za każdym razem wyizolujesz resztę z równania w poprzednim kroku.
   • Wyizoluj pozostałą część równania w kroku 5:
     • ${ styl wyświetlania 2 = 5- (1 * 3)}$ lub ${ styl wyświetlania 2 = 5-3}$
4. 4 Zastąp i uprość. Zauważ, że równanie w kroku 6 zawiera liczbę 2, a w równaniu w kroku 5 liczba 2 jest izolowana. Zatem zamiast „2” w równaniu w kroku 6, zastąp wyrażenie w kroku 5:
   • ${ styl wyświetlania 1 = 3-2}$ (równanie kroku 6)
   • ${ styl wyświetlania 1 = 3- (5-3)}$ (zamiast 2 zostało podstawione wyrażenie)
   • ${ styl wyświetlania 1 = 3-5 + 3}$ (otwarte nawiasy)
   • ${ styl wyświetlania 1 = 2 (3) -5}$ (uproszczony)
5. 5 Powtórz proces zastępowania i upraszczania. Powtórz opisany proces, przechodząc przez algorytm euklidesowy w odwrotnej kolejności. Za każdym razem przepiszesz równanie z poprzedniego kroku i podłączysz je do ostatniego otrzymanego równania.
   • Ostatnim krokiem, który przyjrzeliśmy się, był krok 5. Przejdź do kroku 4 i wyodrębnij resztę z równania dla tego kroku:
     • ${ styl wyświetlania 3 = 18- (3 * 5)}$
   • Zastąp to wyrażenie „3” w ostatnim równaniu:
     • ${ styl wyświetlania 1 = 2 (18-3 * 5) -5}$
     • ${ styl wyświetlania 1 = 2 (18) -6 (5) -5}$
     • ${ styl wyświetlania 1 = 2 (18) -7 (5)}$
6. 6 Kontynuuj proces zastępowania i upraszczania. Ten proces będzie powtarzany, aż dojdziesz do początkowego kroku algorytmu euklidesowego. Celem procesu jest zapisanie równania o współczynnikach 87 i 64 pierwotnego równania do rozwiązania. W naszym przykładzie:
   • ${ styl wyświetlania 1 = 2 (18) -7 (5)}$
   • ${ styl wyświetlania 1 = 2 (18) -7 (23-18)}$ (podstawiono wyrażenie z kroku 3)
     • ${ Displaystyle 1 = 2 (18) -7 (23) + 7 (18)}$
     • ${ styl wyświetlania 1 = 9 (18) -7 (23)}$
   • ${ Displaystyle 1 = 9 (64-2 * 23) -7 (23)}$ (podstawiono wyrażenie z kroku 2)
     • ${ Displaystyle 1 = 9 (64) -18 (23) -7 (23)}$
     • ${ styl wyświetlania 1 = 9 (64) -25 (23)}$
   • ${ Displaystyle 1 = 9 (64) -25 (87-64)}$ (podstawiono wyrażenie z kroku 1)
     • ${ displaystyle 1 = 9 (64) -25 (87) +25 (64)}$
     • ${ styl wyświetlania 1 = 34 (64) -25 (87)}$
7. 7 Przepisz otrzymane równanie zgodnie z oryginalnymi współczynnikami. Gdy powrócisz do pierwszego kroku algorytmu euklidesowego, zobaczysz, że wynikowe równanie zawiera dwa współczynniki pierwotnego równania. Przepisz równanie tak, aby kolejność jego terminów odpowiadała współczynnikom oryginalnego równania.
   • W naszym przykładzie oryginalne równanie ${ styl wyświetlania 87x-64y = 3}$... Dlatego przepisz wynikowe równanie, aby współczynniki zostały wyrównane.Zwróć szczególną uwagę na współczynnik „64”. W pierwotnym równaniu współczynnik ten jest ujemny, a w algorytmie euklidesowym dodatni. Dlatego współczynnik 34 musi być ujemny. Ostateczne równanie zostanie napisane tak:
     • ${ displaystyle 87 (-25) -64 (-34) = 1}$
8. 8 Zastosuj odpowiedni mnożnik, aby znaleźć rozwiązanie. Zauważ, że w naszym przykładzie NWD = 1, więc końcowe równanie to 1. Ale oryginalne równanie (87x-64y) to 3. Dlatego wszystkie wyrazy w końcowym równaniu muszą być pomnożone przez 3, aby uzyskać rozwiązanie:
   • ${ displaystyle 87 (-25 * 3) -64 (-34 * 3) = 1 * 3}$
   • ${ displaystyle 87 (-75) -64 (-102) = 3}$
9. 9 Zapisz rozwiązanie równania w postaci liczb całkowitych. Liczby pomnożone przez współczynniki pierwotnego równania są rozwiązaniami tego równania.
   • W naszym przykładzie napisz rozwiązanie jako parę współrzędnych: ${ styl wyświetlania (x, y) = (- 75, -102)}$.

Część 4 z 4: Znajdź nieskończone inne rozwiązania

1. 1 Zrozum, że istnieje nieskończona liczba rozwiązań. Jeśli równanie liniowe ma jedno rozwiązanie całkowitoliczbowe, to musi mieć nieskończenie wiele rozwiązań całkowitoliczbowych. Oto szybki dowód (w formie algebraicznej):
   • ${ displaystyle Axe + By = C}$
   • ${ styl wyświetlania A (x + B) + B (y-A) = C}$ (jeśli dodasz „B” do „x” i odejmiesz „A” od „y”, wartość oryginalnego równania się nie zmieni)
2. 2 Zapisz oryginalne wartości x i y. Szablon do obliczania następnych (nieskończonych) rozwiązań zaczyna się od jedynego rozwiązania, które już znalazłeś.
   • W naszym przykładzie rozwiązaniem jest para współrzędnych ${ styl wyświetlania (x, y) = (- 75, -102)}$.
3. 3 Dodaj współczynnik „B” do wartości „x”. Zrób to, aby znaleźć nową wartość x.
   • W naszym przykładzie x = -75, a B = -64:
     • ${ styl wyświetlania x = -75 + (- 64) = - 139}$
   • Zatem nowa wartość „x”: x = -139.
4. 4 Odejmij współczynnik „A” od wartości „y”. Aby wartość pierwotnego równania się nie zmieniła, dodając jedną liczbę do „x”, musisz odjąć inną liczbę od „y”.
   • W naszym przykładzie y = -102, a A = 87:
     • ${ styl wyświetlania y = -102-87 = -189}$
   • Zatem nowa wartość dla „y”: y = -189.
   • Nowa para współrzędnych zostanie zapisana w następujący sposób: ${ styl wyświetlania (x, y) = (- 139, -189)}$.
5. 5 Sprawdź rozwiązanie. Aby sprawdzić, czy nowa para współrzędnych jest rozwiązaniem pierwotnego równania, wstaw wartości do równania.
   • ${ styl wyświetlania 87x-64y = 3}$
   • ${ displaystyle 87 (-139) -64 (-189) = 3}$
   • ${ styl wyświetlania 3 = 3}$
   • Ponieważ równość jest spełniona, decyzja jest prawidłowa.
6. 6 Zapisz wyrażenia, aby znaleźć wiele rozwiązań. Wartości „x” będą równe oryginalnemu rozwiązaniu plus dowolna wielokrotność współczynnika „B”. Można to zapisać jako następujące wyrażenie:
   • x (k) = x + k (B), gdzie „x (k)” to zbiór wartości „x”, a „x” to pierwotna (pierwsza) znaleziona wartość „x”.
     • W naszym przykładzie:
     • ${ styl wyświetlania x (k) = - 75-64k}$
   • y (k) = y-k (A), gdzie y (k) to zbiór wartości y, a y to oryginalna (pierwsza) znaleziona wartość y.
     • W naszym przykładzie:
     • ${ styl wyświetlania y (k) = - 102-87k}$