Zawartość

• Do kroku
• Metoda 1 z 3: Korzystanie z metody substytucyjnej
• Metoda 2 z 3: Korzystanie z metody eliminacji
• Metoda 3 z 3: Wykreśl równania
• Porady
• Ostrzeżenia

W „układzie równań” jesteś proszony o rozwiązanie dwóch lub więcej równań w tym samym czasie. Kiedy te dwie zawierają różne zmienne, takie jak x i y lub aib, na pierwszy rzut oka może być trudno zobaczyć, jak je rozwiązać. Na szczęście, kiedy już wiesz, co robić, potrzebujesz tylko podstawowych umiejętności matematycznych (a czasem trochę wiedzy ułamkowej), aby rozwiązać problem. W razie potrzeby lub jeśli jesteś wizualnym studentem, naucz się również przedstawiać wykresy równań. Tworzenie wykresów (kreślenie) wykresu może być przydatne do „zobaczenia, co się dzieje” lub do sprawdzenia swojej pracy, ale może też być wolniejsze niż inne metody i nie działa ze wszystkimi systemami równań.

Do kroku

Metoda 1 z 3: Korzystanie z metody substytucyjnej

1. Przenieś zmienne na różne strony równania. Ta metoda „podstawiania” zaczyna się od „rozwiązania dla x” (lub dowolnej innej zmiennej) w jednym z równań. Na przykład mamy następujące równania: 4x + 2 lata = 8 i 5x + 3x = 9. Przede wszystkim przyjrzymy się pierwszemu porównaniu. Zmień kolejność, odejmując 2 lata z każdej strony, a otrzymasz: 4x = 8-2 lata.
   • Ta metoda często wykorzystuje ułamki na późniejszym etapie. Możesz również użyć poniższej metody eliminacji, jeśli wolisz nie pracować z ułamkami.
2. Podziel obie strony równania, aby znaleźć „x”. Gdy już masz termin x (lub jakąkolwiek zmienną, której używasz) po jednej stronie równania, podziel obie strony równania, aby wyodrębnić zmienną. Na przykład:
   • 4x = 8-2 lata
   • (4x) / 4 = (8/4) - (2 lata / 4)
   • x = 2 - ½y
3. Podłącz to z powrotem do drugiego równania. Pamiętaj, aby wrócić do Inni porównanie, a nie to, z którego już korzystałeś. W tym równaniu zastępujesz rozwiązaną zmienną, pozostawiając tylko jedną zmienną. Na przykład:
   • Teraz wiesz, że: x = 2 - ½y.
   • Drugie równanie, którego jeszcze nie zmieniłeś, to: 5x + 3x = 9.
   • W drugim równaniu zamień x na „2 - ½y”: 5 (2 - ½y) + 3y = 9.
4. Znajdź pozostałą zmienną. Masz teraz równanie z tylko jedną zmienną. Użyj typowych technik algebry, aby znaleźć tę zmienną. Jeśli zmienne znoszą się wzajemnie, przejdź do ostatniego kroku. W przeciwnym razie otrzymasz odpowiedź na jedną ze swoich zmiennych:
   • 5 (2 - ½y) + 3y = 9
   • 10 - (5/2) y + 3y = 9
   • 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (Jeśli nie rozumiesz tego kroku, naucz się dodawać ułamki. Często, ale nie zawsze, jest to konieczne w przypadku tej metody).
   • 10 + ½y = 9
   • ½y = -1
   • y = -2
5. Użyj odpowiedzi, aby znaleźć drugą zmienną. Nie popełnij błędu kończąc problem w połowie. Będziesz musiał ponownie wprowadzić otrzymaną odpowiedź do jednego z pierwotnych równań, aby móc rozwiązać inną zmienną:
   • Teraz wiesz, że: y = -2
   • Jednym z oryginalnych równań jest: 4x + 2 lata = 8. (W tym kroku można użyć obu równań).
   • Podłącz -2 zamiast y: 4x + 2 (-2) = 8.
   • 4x - 4 = 8
   • 4x = 12
   • x = 3
6. Dowiedz się, co zrobić, jeśli obie zmienne wzajemnie się znoszą. Kiedy ty x = 3y + 2 lub uzyskaj podobną odpowiedź w innym równaniu, próbujesz uzyskać równanie tylko z jedną zmienną. Czasami zamiast tego otrzymujesz równanie bez zmienne. Dokładnie sprawdź swoją pracę i upewnij się, że zastąpiłeś (uporządkowane) pierwsze równanie w drugim równaniu, a nie w pierwszym równaniu. Jeśli jesteś pewien, że nie popełniłeś żadnych błędów, otrzymasz jeden z następujących wyników:
   • Jeśli skończysz z równaniem bez zmiennych, które nie jest prawdą (np. 3 = 5), to masz problem brak rozwiązania. (Jeśli wykreśliłeś równania, zobaczysz, że są one równoległe i nigdy się nie przecinają).
   • Jeśli skończysz z równaniem bez zmiennych, ale te dobrze jest prawdziwe (na przykład 3 = 3), to występuje problem nieskończona liczba rozwiązań. Te dwa równania są dokładnie równe. (Jeśli narysujesz te dwa równania, zobaczysz, że dokładnie się pokrywają).

Metoda 2 z 3: Korzystanie z metody eliminacji

1. Określa zmienną do usunięcia. Czasami równania „eliminują” się nawzajem w zmiennej, gdy tylko je dodasz. Na przykład, kiedy wykonujesz równania 3x + 2y = 11 i 5x - 2 lata = 13 łączy, "+ 2y" i "-2y" znoszą się nawzajem, ze wszystkimi "y"s są eliminowane z równania. Przyjrzyj się równaniom w swoim problemie, aby dowiedzieć się, czy którakolwiek ze zmiennych zostanie w ten sposób wyeliminowana. Jeśli żadna ze zmiennych nie została wyeliminowana, przeczytaj następny krok, aby uzyskać poradę.
2. Pomnóż równanie, aby usunąć zmienną. (Pomiń ten krok, jeśli zmienne już się wyeliminowały). Jeśli żadna ze zmiennych w równaniach nie anuluje się sama, musisz zmienić jedno z równań, aby tak się stało. Najłatwiej to zrozumieć na przykładzie:
   • Załóżmy, że masz układ równań 3x - y = 3 i -x + 2y = 4.
   • Zmieńmy pierwsze równanie, aby zmienna była y jest wyeliminowany. (Możesz to również zrobić dla X zrobić i uzyskać tę samą odpowiedź).
   • Plik - y " z pierwszego równania należy usunąć za pomocą + 2 lata W drugim równaniu. Możemy to zrobić przez - y pomnóż przez 2.
   • Mnożymy obie strony pierwszego równania przez 2 w następujący sposób: 2 (3x - y) = 2 (3), a zatem 6x - 2 lata = 6. Teraz będzie - 2 lata spaść na + 2 lata w drugim równaniu.
3. Połącz oba równania. Aby móc połączyć dwa równania, dodaj razem lewą i prawą stronę. Jeśli poprawnie napisałeś równanie, jedna ze zmiennych powinna znosić się względem drugiej. Oto przykład wykorzystujący te same równania co w ostatnim kroku:
   • Twoje równania to: 6x - 2 lata = 6 i -x + 2y = 4.
   • Połącz lewe boki: 6x - 2 lata - x + 2 lata =?
   • Połącz prawe strony: 6x - 2 lata - x + 2 lata = 6 + 4.
4. Znajdź ostatnią zmienną. Uprość połączone równanie, a następnie użyj podstawowej algebry, aby znaleźć ostatnią zmienną. Jeśli po uproszczeniu nie pozostały żadne zmienne, przejdź do ostatniego kroku w tej sekcji. W przeciwnym razie powinieneś zakończyć prostą odpowiedzią na jedną z twoich zmiennych. Na przykład:
   • Ty masz: 6x - 2 lata - x + 2 lata = 6 + 4.
   • Pogrupuj zmienne X i y ze sobą: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
   • Uproszczać: 5x = 10
   • Znajdź x: (5x) / 5 = 10/5więc to x = 2.
5. Znajdź inne zmienne. Znalazłeś jedną zmienną, ale jeszcze nie skończyłeś. Zastąp swoją odpowiedź jednym z pierwotnych równań, tak aby można było znaleźć drugą zmienną. Na przykład:
   • Wiesz to x = 2i to jedno z twoich pierwotnych równań 3x - y = 3 jest.
   • Podłącz 2 zamiast x: 3 (2) - y = 3.
   • Rozwiąż yw równaniu: 6 - y = 3
   • 6 - y + y = 3 + y, więc 6 = 3 + y
   • 3 = y
6. Dowiedz się, co zrobić, gdy obie zmienne wzajemnie się znoszą. Czasami połączenie dwóch równań powoduje powstanie równania, które nie ma znaczenia lub nie pomaga w rozwiązaniu problemu. Dokładnie sprawdź swoją pracę od początku, ale jeśli się nie pomyliłeś, zapisz jedną z poniższych odpowiedzi:
   • Jeśli twoje połączone równanie nie ma zmiennych i nie jest prawdziwe (np. 2 = 7), to jest brak rozwiązania co dotyczy obu równań. (Jeśli narysujesz oba równania, zobaczysz, że są one równoległe i nigdy się nie przecinają).
   • Jeśli Twoje połączone równanie nie ma zmiennych i jest prawdziwe (np. 0 = 0), to istnieją nieskończona liczba rozwiązań. Te dwa równania są w rzeczywistości identyczne. (Jeśli umieścisz je na wykresie, zobaczysz, że całkowicie się pokrywają).

Metoda 3 z 3: Wykreśl równania

1. Używaj tej metody tylko wtedy, gdy jest określona. O ile nie używasz komputera lub kalkulatora graficznego, wiele układów równań można rozwiązać tylko w przybliżeniu za pomocą tej metody. Twój nauczyciel lub podręcznik do matematyki może poprosić Cię o skorzystanie z tej metody, więc prawdopodobnie znasz równania graficzne, takie jak linie. Możesz również użyć tej metody, aby sprawdzić, czy Twoje odpowiedzi z innych metod są poprawne.
   • Podstawową ideą jest to, że wykreślasz oba równania i określasz punkt, w którym się przecinają. Wartości x i y w tym miejscu dają wartość x i wartość y w układzie równań.
2. Rozwiąż oba równania dla y. Zachowaj dwa równania oddzielnie i użyj algebry, aby przekształcić każde równanie w postać „y = __x + __”. Na przykład:
   • Pierwsze równanie to: 2x + y = 5. Zmień to na: y = -2x + 5.
   • Drugie równanie to: -3x + 6y = 0. Zmień to na 6y = 3x + 0i uprościć do y = ½x + 0.
   • Czy oba równania są identyczne, wtedy cała linia staje się „punktem przecięcia”. Pisać: nieskończone rozwiązania.
3. Narysuj układ współrzędnych. Narysuj pionową „oś Y” i poziomą „oś X” na arkuszu papieru milimetrowego. Zacznij od punktu, w którym przecinają się linie, i oznacz cyfry 1, 2, 3, 4 itd. W górę osi y i ponownie w prawo wzdłuż osi x. Oznacz liczby -1, -2 itd. Wzdłuż osi y w dół iw lewo wzdłuż osi x.
   • Jeśli nie masz papieru milimetrowego, użyj linijki, aby upewnić się, że liczby są równomiernie rozmieszczone.
   • Jeśli używasz dużych liczb lub miejsc dziesiętnych, może być konieczne przeskalowanie wykresu. (Na przykład 10, 20, 30 lub 0,1, 0,2, 0,3 zamiast 1, 2, 3).
4. Narysuj przecięcie y dla każdej linii. Gdy masz równanie w formie y = __x + __ możesz rozpocząć tworzenie wykresu, ustawiając punkt, w którym linia przecina oś y. Jest to zawsze wartość y, równa ostatniej liczbie w tym równaniu.
   • We wspomnianych wcześniej przykładach jedna linia (y = -2x + 5) do osi y 5. Druga linia (y = ½x + 0) przechodzi przez punkt zerowy 0. (Są to punkty (0,5) i (0,0) na wykresie).
   • Jeśli to możliwe, oznacz każdą linię innym kolorem.
5. Użyj nachylenia, aby kontynuować rysowanie linii. W formie y = __x + __, to liczba x th nachylenie poza linią. Za każdym razem, gdy x jest zwiększane o jeden, wartość y rośnie wraz z wartością nachylenia. Skorzystaj z tych informacji, aby znaleźć punkt na wykresie dla każdej linii, gdy x = 1. (Alternatywnie, podstaw x = 1 dla każdego równania i rozwiąż dla y).
   • W naszym przykładzie linia ma y = -2x + 5 nachylenie -2. Przy x = 1 linia 2 opada na dół z punktu x = 0. Narysuj odcinek linii między (0.5) a (1.3).
   • Zasada y = ½x + 0ma nachylenie ½. Przy x = 1 linia idzie ½ w górę z punktu x = 0. Narysuj odcinek linii między (0,0) a (1, ½).
   • Kiedy linie mają takie samo nachylenie linie nigdy się nie przecinają, więc nie ma rozwiązania dla układu równań. Pisać: brak rozwiązania.
6. Kontynuuj kreślenie linii, aż się skrzyżują. Zatrzymaj się i spójrz na swój wykres. Jeśli linie już się przecięły, przejdź do następnego kroku. W przeciwnym razie podejmiesz decyzję na podstawie tego, co robią linie:
   • Gdy linie zbliżają się do siebie, rysujesz punkty w tym kierunku.
   • Jeśli linie oddalają się od siebie, wróć i narysuj punkty w przeciwnym kierunku, zaczynając od x = -1.
   • Jeśli linie nie znajdują się nigdzie blisko siebie, przeskocz do przodu i narysuj dalsze punkty, takie jak x = 10.
7. Znajdź odpowiedź na przecięciu linii. Po przecięciu się dwóch linii wartości x i y w tym miejscu stanowią rozwiązanie problemu. Jeśli masz szczęście, odpowiedź będzie liczbą całkowitą. Na przykład w naszych przykładach te dwie linie przecinają się (2,1) taka jest twoja odpowiedź x = 2 i y = 1. W niektórych układach równań linie przecinają się przy wartości między dwiema liczbami całkowitymi i jeśli wykres nie jest wyjątkowo dokładny, trudno będzie stwierdzić, gdzie to jest. Jeśli tak jest, możesz udzielić odpowiedzi w stylu: „x wynosi od 1 do 2”. Aby znaleźć dokładną odpowiedź, możesz również skorzystać z metody podstawienia lub metody eliminacji.

Porady

• Możesz sprawdzić swoją pracę, wpisując odpowiedzi z powrotem do pierwotnych równań. Jeśli równania są prawdziwe (na przykład 3 = 3), twoja odpowiedź jest prawidłowa.
• W metodzie eliminacji czasami trzeba pomnożyć równanie przez liczbę ujemną, aby wyeliminować zmienną.

Ostrzeżenia

• Tych metod nie można używać, jeśli masz do czynienia z liczbą potęgi, taką jak x. Aby dowiedzieć się więcej o równaniach tego typu, będziesz potrzebować przewodnika po równaniu czynników do kwadratu z dwiema zmiennymi.