Jak podzielić macierze

Wideo: Partitioned Matrices or Block Matrix Multiplication

Zawartość

Krótkie podsumowanie
Kroki
Część 1 z 3: Testowanie podzielności macierzy
Część 2 z 3: Znalezienie odwrotnej macierzy
Część 3 z 3: Mnożenie macierzy
Porady
Ostrzeżenia
Dodatkowe artykuły

Jeśli wiesz, jak pomnożyć dwie macierze, możesz zacząć „dzielić” macierze. Słowo „podział” jest ujęte w cudzysłów, ponieważ matryce faktycznie nie mogą być dzielone. Operacja dzielenia zostaje zastąpiona operacją mnożenia jednej macierzy przez macierz, która jest odwrotnością drugiej macierzy. Dla uproszczenia rozważmy przykład z liczbami całkowitymi: 10 ÷ 5. Znajdź odwrotność 5: 5 lub /₅, a następnie zastąp dzielenie przez mnożenie: 10 x 5; wynik dzielenia i mnożenia będzie taki sam. Dlatego uważa się, że dzielenie można zastąpić mnożeniem przez macierz odwrotną. Zazwyczaj takie obliczenia służą do rozwiązywania układów równań liniowych.

Krótkie podsumowanie

Nie można dzielić macierzy. Zamiast dzielić, jedna macierz jest mnożona przez odwrotność drugiej macierzy. „Podział” dwóch macierzy [A] ÷ [B] zapisujemy w następujący sposób: [A] * [B] lub [B] * [A].
Jeśli macierz [B] nie jest kwadratowa lub jej wyznacznikiem jest 0, zapisz „brak jednoznacznego rozwiązania”. W przeciwnym razie znajdź wyznacznik macierzy [B] i przejdź do następnego kroku.
Znajdź odwrotność: [B].
Pomnóż macierze, aby znaleźć [A] * [B] lub [B] * [A]. Należy pamiętać, że kolejność, w jakiej macierze są mnożone, wpływa na wynik końcowy (czyli wyniki mogą się różnić).

Kroki

Część 1 z 3: Testowanie podzielności macierzy

1 Zrozum „podział” macierzy. W rzeczywistości macierze nie mogą być dzielone. Nie ma takiej operacji matematycznej jak „dzielenie jednej macierzy przez drugą”. Dzielenie zastępuje się mnożeniem jednej macierzy przez odwrotność drugiej macierzy. Oznacza to, że notacja [A] ÷ [B] nie jest poprawna, dlatego została zastąpiona następującą notacją: [A] * [B]. Ponieważ oba wpisy są równoważne w przypadku wartości skalarnych, teoretycznie można mówić o „podziale” macierzy, ale nadal lepiej jest używać poprawnej terminologii.
- Zauważ, że [A] * [B] i [B] * [A] to różne operacje. Może być konieczne wykonanie obu operacji, aby znaleźć wszystkie możliwe rozwiązania.
- Na przykład zamiast ${ displaystyle { początek {pmatrix} 13 i 26 39 i 13 koniec {pmatrix}} div { początek {pmatrix} 7 i 4 2 i 3 koniec {pmatrix}}}$ zanotować ${ displaystyle { początek {pmatrix} 13 i 26 39 i 13 koniec {pmatrix}} * { początek {pmatrix} 7 i 4 2 i 3 koniec {pmatrix}} ^ {- 1} }$ .
  Być może będziesz musiał obliczyć ${ displaystyle { początek {pmatrix} 7 i 4 2 i 3 koniec {pmatrix}} ^ {-1} * { początek {pmatrix} 13 i 26 39 i 13 koniec {pmatrix}} }$ aby uzyskać inny wynik.
2 Upewnij się, że macierz, przez którą „dzielisz” drugą macierz, jest kwadratowa. Aby odwrócić macierz (znaleźć odwrotność macierzy), musi ona być kwadratowa, czyli o takiej samej liczbie wierszy i kolumn. Jeśli odwrócona macierz nie jest odwrócona, nie ma jednoznacznego rozwiązania.
- Ponownie, matryce nie są tutaj „podzielne”. W operacji [A] * [B] opisany warunek dotyczy macierzy [B]. W naszym przykładzie warunek ten odnosi się do macierzy ${ displaystyle { początek {pmatrix} 7 i 4 2 i 3 koniec {pmatrix}}}$
- Macierz, którą można odwrócić, nazywa się niezdegenerowaną lub regularną. Macierz, której nie można odwrócić, nazywa się zdegenerowaną lub pojedynczą.
3 Sprawdź, czy dwie macierze można pomnożyć. Aby pomnożyć dwie macierze, liczba kolumn w pierwszej macierzy musi być równa liczbie wierszy w drugiej macierzy. Jeśli ten warunek nie jest spełniony we wpisie [A] * [B] lub [B] * [A], nie ma rozwiązania.
- Na przykład, jeśli rozmiar matrycy [A] to 4 x 3, a rozmiar matrycy [B] to 2 x 2, nie ma rozwiązania. Nie możesz pomnożyć [A] * [B], ponieważ 4 2, i nie możesz pomnożyć [B] * [A], ponieważ 2 3.
- Należy zauważyć, że macierz odwrotna [B] ma zawsze taką samą liczbę wierszy i kolumn jak oryginalna macierz [B]. Nie jest konieczne znajdowanie macierzy odwrotnej, aby sprawdzić, czy dwie macierze można pomnożyć.
- W naszym przykładzie rozmiar obu macierzy wynosi 2 x 2, więc można je mnożyć w dowolnej kolejności.
4 Znajdź wyznacznik macierzy 2 × 2. Pamiętaj: możesz odwrócić macierz tylko wtedy, gdy jej wyznacznikiem nie jest zero (w przeciwnym razie nie możesz odwrócić macierzy). Oto jak znaleźć wyznacznik macierzy 2x2:
- Matryca 2x2: wyznacznik macierzy ${ displaystyle { początek {pmatrix} a & b c i d koniec {pmatrix}}}$ jest równe ad - bc. Oznacza to, że od iloczynu elementów głównej przekątnej (przechodzi przez lewy górny i prawy dolny róg) odejmij iloczyny elementów drugiej przekątnej (przechodzi przez prawy górny i lewy dolny róg).
- Na przykład wyznacznik macierzy ${ displaystyle { początek {pmatrix} 7 i 4 2 i 3 koniec {pmatrix}}}$ jest równa (7) (3) - (4) (2) = 21 - 8 = 13. Wyznacznik jest niezerowy, więc ta macierz może być odwrócona.
5 Znajdź wyznacznik większej macierzy. Jeśli rozmiar macierzy wynosi 3 x 3 lub więcej, wyznacznik jest nieco trudniejszy do obliczenia.
- Matryca 3x3: wybierz dowolny element i skreśl wiersz i kolumnę, w której się znajduje.Znajdź wyznacznik wynikowej macierzy 2×2, a następnie pomnóż ją przez wybrany element; określić znak wyznacznika w specjalnej tabeli. Powtórz ten proces dla pozostałych dwóch elementów znajdujących się w tym samym wierszu lub kolumnie co wybrany element. Następnie znajdź sumę otrzymanych (trzech) wyznaczników. Przeczytaj ten artykuł, aby uzyskać więcej informacji o tym, jak znaleźć wyznacznik macierzy 3 x 3.
- Duże matryce: wyznacznika takich macierzy najlepiej szukać za pomocą kalkulatora graficznego lub oprogramowania. Metoda jest podobna do metody znajdowania wyznacznika macierzy 3×3, ale ręczne jej zastosowanie jest dość żmudne. Na przykład, aby znaleźć wyznacznik macierzy 4 x 4, musisz znaleźć wyznaczniki czterech macierzy 3 x 3.
6 Kontynuuj obliczenia. Jeśli macierz nie jest kwadratowa lub jej wyznacznik jest równy zero, napisz „brak jednoznacznego rozwiązania”, czyli proces obliczeniowy jest zakończony. Jeśli macierz jest kwadratowa i ma wyznacznik niezerowy, przejdź do następnej sekcji.

Część 2 z 3: Znalezienie odwrotnej macierzy

1 Zamień elementy głównej przekątnej macierzy 2x2. Mając macierz 2 × 2, użyj szybkiej metody odwrotnej. Najpierw zamień lewy górny element i prawy dolny element. Na przykład:
- ${ displaystyle { początek {pmatrix} 7 i 4 2 i 3 koniec {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { początek {pmatrix} 3 i 4 2 i 7 koniec {pmatrix}}}$
- Notatka: większość ludzi używa kalkulatorów do odwrócenia macierzy 3 x 3 (lub większej). Jeśli musisz to zrobić ręcznie, przejdź do końca tej sekcji.
2 Nie zamieniaj pozostałych dwóch elementów, ale zmień ich znak. Oznacza to, że pomnóż prawy górny element i lewy dolny element przez -1:
- ${ displaystyle { początek {pmatrix} 3 i 4 2 i 7 koniec {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { początek {pmatrix} 3 i -4 - 2 i 7 koniec {pmatrix}}}$
3 Znajdź odwrotność wyznacznika. Wyznacznik tej macierzy został znaleziony w poprzednim rozdziale, więc nie będziemy go ponownie obliczać. Odwrotność wyznacznika zapisuje się w następujący sposób: 1 / (wyznacznik):
- W naszym przykładzie wyznacznikiem jest 13. Wartość odwrotna: ${ styl wyświetlania { frac {1} {13}}}$ .
4 Pomnóż otrzymaną macierz przez odwrotność wyznacznika. Pomnóż każdy element nowej macierzy przez odwrotność wyznacznika. Ostateczna macierz będzie odwrotnością pierwotnej macierzy 2x2:
- ${ displaystyle { frac {1} {13}} * { początek {pmatrix} 3 i -4 - 2 i 7 koniec {pmatrix}}}$
  = ${ displaystyle { zacząć {pmatrix} { frac {3} {13}} i { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} i { frac {7 } {13}} koniec {pmatrix}}}$
5 Sprawdź, czy obliczenia są poprawne. Aby to zrobić, pomnóż oryginalną macierz przez jej odwrotność. Jeśli obliczenia są poprawne, iloczyn macierzy pierwotnej przez odwrotność da macierz jednostkową: (1001){ displaystyle { początek {pmatrix} 1 i 0 0 i 1 koniec {pmatrix}}}... Jeśli test zakończył się pomyślnie, przejdź do następnej sekcji.
- W naszym przykładzie: ${ displaystyle { zacząć {pmatrix} { frac {3} {13}} i { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} i { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmacierz}}}$ .
- Więcej informacji na temat mnożenia macierzy znajdziesz w tym artykule.
- Uwaga: operacja mnożenia macierzy nie jest przemienna, to znaczy kolejność macierzy jest ważna. Ale kiedy pierwotna macierz jest pomnożona przez jej odwrotność, dowolna kolejność prowadzi do macierzy tożsamości.
6 Znajdź odwrotność macierzy 3 x 3 (lub większy). Jeśli znasz już ten proces, lepiej użyć kalkulatora graficznego lub specjalnego oprogramowania. Jeśli potrzebujesz ręcznie znaleźć odwrotną macierz, proces jest krótko opisany poniżej:
- Dołącz do macierzy tożsamości I po prawej stronie macierzy oryginalnej. Na przykład [B] → [B | I]. W przypadku macierzy jednostkowej wszystkie elementy głównej przekątnej są równe 1, a wszystkie pozostałe elementy są równe 0.
- Uprość macierz tak, aby jej lewa strona stała się schodkowa; kontynuuj upraszczanie, aby lewa strona stała się macierzą tożsamości.
- Po uproszczeniu macierz przyjmie postać: [I | B]. Oznacza to, że jego prawa strona jest odwrotnością oryginalnej macierzy.

Część 3 z 3: Mnożenie macierzy

1 Zapisz dwa możliwe wyrażenia. Operacja mnożenia dwóch skalarów jest przemienna, czyli 2 x 6 = 6 x 2.Inaczej jest w przypadku mnożenia macierzy, więc może być konieczne rozwiązanie dwóch wyrażeń:
- x = [A] * [B] to rozwiązanie równania x[B] = [A].
- x = [B] * [A] to rozwiązanie równania [B]x = [A].
- Wykonaj każdą operację matematyczną po obu stronach równania. Jeśli [A] = [C], to [B] [A] ≠ [C] [B], ponieważ [B] znajduje się na lewo od [A], ale na prawo od [C].
2 Określ rozmiar ostatecznej macierzy. Wielkość ostatecznej macierzy zależy od wielkości zwielokrotnionych macierzy. Liczba wierszy w macierzy końcowej jest równa liczbie wierszy w macierzy pierwszej, a liczba kolumn w macierzy końcowej jest równa liczbie kolumn w macierzy drugiej.
- W naszym przykładzie wielkość obu macierzy ${ displaystyle { początek {pmatrix} 13 i 26 39 i 13 koniec {pmatrix}}}$ oraz ${ displaystyle { zacząć {pmatrix} { frac {3} {13}} i { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} i { frac {7 } {13}} koniec {pmatrix}}}$ wynosi 2 x 2, więc rozmiar oryginalnej matrycy wyniesie 2 x 2.
- Rozważ bardziej złożony przykład: jeśli rozmiar macierzy [A] wynosi 4 x 3, a wielkość macierzy [B] wynosi 3 x 3, to ostateczna macierz [A] * [B] będzie wynosić 4 x 3.
3 Znajdź wartość pierwszego elementu. Przeczytaj ten artykuł lub zapamiętaj następujące podstawowe kroki:
- Aby znaleźć pierwszy element (pierwszy wiersz, pierwsza kolumna) końcowej macierzy [A] [B], oblicz iloczyn skalarny elementów pierwszego wiersza macierzy [A] i elementów pierwszej kolumny macierzy [B] ]. W przypadku macierzy 2 x 2 iloczyn skalarny oblicza się w następujący sposób: ${ displaystyle a_ {1,1} * b_ {1,1} + a_ {1,2} * b_ {2,1}}$ .
- W naszym przykładzie: ${ displaystyle { początek {pmatrix} 13 i 26 39 i 13 koniec {pmatrix}} * { początek {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} i { frac {7} {13}} koniec {pmatrix}}}$ ... Zatem pierwszym elementem ostatecznej macierzy będzie element:
  ${ displaystyle (13 * { frac {3} {13}}) + (26 * { frac {-2} {13}})}$
  ${ styl wyświetlania = 3 + -4}$
  ${ styl wyświetlania = -1}$
4 Kontynuuj obliczanie iloczynów skalarnych, aby znaleźć każdy element ostatecznej macierzy. Na przykład element znajdujący się w drugim wierszu i pierwszej kolumnie jest równy iloczynowi skalarnemu drugiego wiersza macierzy [A] i pierwszej kolumny macierzy [B]. Postaraj się samodzielnie znaleźć pozostałe przedmioty. Powinieneś otrzymać następujące wyniki:
- ${ displaystyle { początek {pmatrix} 13 i 26 39 i 13 koniec {pmatrix}} * { początek {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7} {13}} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -1 i 10 7 i -5 koniec {pmatrix}}}$
- Jeśli potrzebujesz znaleźć inne rozwiązanie: ${ displaystyle { zacząć {pmatrix} { frac {3} {13}} i { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} i { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -9 & 2 19 & 3 koniec {pmatrix}}}$

Porady

Macierz można podzielić na skalar; w tym celu każdy element macierzy jest podzielony przez skalar.
- Na przykład, jeśli macierz ${ displaystyle { początek {pmatrix} 6 i 8 2 i 4 koniec {pmatrix}}}$ podzielone przez 2, otrzymujesz macierz ${ displaystyle { początek {pmatrix} 3 i 4 1 i 2 koniec {pmatrix}}}$

Ostrzeżenia

Kalkulator nie zawsze daje absolutnie dokładne wyniki, jeśli chodzi o obliczenia macierzowe. Na przykład, jeśli kalkulator twierdzi, że przedmiot jest bardzo małą liczbą (np. 2E), wartość najprawdopodobniej wynosi zero.