Zawartość

• Wstępne informacje
• Kroki
• Część 1 z 3: Podstawy
• Część 2 z 3: Właściwości przekształcenia Laplace'a
• Część 3 z 3: Znalezienie transformacji Laplace'a przez rozszerzenie serii

Transformacja Laplace'a jest transformacją całkową, która służy do rozwiązywania równań różniczkowych o stałych współczynnikach. Ta transformacja jest szeroko stosowana w fizyce i inżynierii.

Chociaż możesz korzystać z odpowiednich tabel, pomocne jest zrozumienie przekształcenia Laplace'a, aby w razie potrzeby móc to zrobić samodzielnie.

Wstępne informacje

• Biorąc pod uwagę funkcję ${ styl wyświetlania f (t)}$zdefiniowany dla ${ displaystyle t geq 0.}$ Następnie Transformata Laplace'a funkcjonować ${ styl wyświetlania f (t)}$ jest następną funkcją każdej wartości ${ style wyświetlania}$, przy którym całka jest zbieżna:
  • ${ displaystyle F (s) = { mathcal {L}} {f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathm {d} T}$
• Transformacja Laplace'a przyjmuje funkcję z regionu t (skala czasu) do regionu s (region transformacji), gdzie ${ styl wyświetlania F (s)}$ jest złożoną funkcją zmiennej złożonej. Pozwala przenieść funkcję do obszaru, w którym łatwiej można znaleźć rozwiązanie.
• Oczywiście transformata Laplace'a jest operatorem liniowym, więc jeśli mamy do czynienia z sumą wyrazów, każdą całkę można obliczyć osobno.
  • ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} [af (t) + bg (t)] e ^ {- st} mathrm {d} t = a int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t + b int _ {0} ^ { infty} g (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• Pamiętaj, że transformata Laplace'a działa tylko wtedy, gdy całka jest zbieżna. Jeśli funkcja ${ styl wyświetlania f (t)}$ ma nieciągłości, należy być ostrożnym i poprawnie ustalić granice integracji, aby uniknąć niepewności.

Kroki

Część 1 z 3: Podstawy

1. 1 Zastąp funkcję formułą przekształcenia Laplace'a. Teoretycznie transformata Laplace'a funkcji jest bardzo łatwa do obliczenia. Jako przykład rozważ funkcję ${ displaystyle f (t) = e ^ {at}}$, gdzie ${ styl wyświetlania a}$ jest stałą zespoloną z ${ styl wyświetlania nazwa operatora {Re} (s) nazwa operatora {Re} (a).}$
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} } = int _ {0} ^ { infty} e ^ {at} e ^ {- st} mathm {d} t}$
2. 2 Oszacuj całkę dostępnymi metodami. W naszym przykładzie oszacowanie jest bardzo proste i można sobie poradzić z prostymi obliczeniami. W bardziej złożonych przypadkach mogą być potrzebne bardziej złożone metody, na przykład całkowanie przez części lub różnicowanie pod znakiem całki. Warunek ograniczenia ${ styl wyświetlania nazwa operatora {Re} (s) nazwa operatora {Re} (a)}$ oznacza, że ​​całka jest zbieżna, to znaczy, że jej wartość dąży do 0 jako ${ displaystyle t do infty.}$
   • ${ displaystyle { zacząć {wyrównany} { mathcal {L}} {e ^ {at} } & = int _ {0} ^ { infty} e ^ {(as) t} mathm {d } t & = { frac {e ^ {(as) t}} {as}} Bigg _ {0} ^ { infty} & = { frac {1} {sa}} koniec {wyrównany}}}$
   • Zauważ, że daje nam to dwa typy transformacji Laplace'a, z sinusem i cosinusem, ponieważ zgodnie ze wzorem Eulera ${ styl wyświetlania e ^ {iat}}$... W tym przypadku w mianowniku otrzymujemy ${ displaystyle s-ia,}$ i pozostaje tylko określić części rzeczywiste i urojone. Możesz również bezpośrednio ocenić wynik, ale to zajmie trochę więcej czasu.
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { cos w } = operatorname {Re} po lewej ({ frac {1} {s-ia}} po prawej) = { frac {s} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { grzech w } = operatorname {im} po lewej ({ frac {1} {s-ia}} po prawej) = { frac {a} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
3. 3 Rozważmy transformację Laplace'a funkcji potęgowej. Najpierw musisz zdefiniować przekształcenie funkcji potęgowej, ponieważ właściwość liniowości pozwala znaleźć przekształcenie dla ze wszystkich wielomiany. Funkcja formy ${ styl wyświetlania t ^ {n},}$ gdzie ${ styl wyświetlania n}$ - dowolna dodatnia liczba całkowita. Może być zintegrowany kawałek po kawałku, aby zdefiniować regułę rekurencyjną.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = int _ {0} ^ { infty} t ^ {n} e ^ {- st} mathrm {d} t = { frac {n} {s}} { matematyczne {L}} {t ^ {n-1} }}$
   • Ten wynik jest wyrażany niejawnie, ale jeśli podstawisz kilka wartości ${ styl wyświetlania n,}$ możesz ustalić pewien wzór (spróbuj zrobić to sam), co pozwala uzyskać następujący wynik:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac {n!} {s ^ {n + 1}}}}$
   • Możesz także zdefiniować transformatę Laplace'a potęg ułamkowych za pomocą funkcji gamma. Na przykład w ten sposób można znaleźć przekształcenie funkcji takiej jak ${ displaystyle f (t) = { sqrt {t}}.}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { Frac { Gamma (n + 1)} {s ^ {n + 1}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {1/2} } = { Frac { Gamma (3/2)} {s ^ {3/2}}} = { Frac { sqrt { pi}} {2s { sqrt {s}}}}}$
   • Chociaż funkcje z potęgami ułamkowymi muszą mieć cięcia (pamiętaj, że wszystkie liczby zespolone) ${ styl wyświetlania z}$ oraz ${ styl wyświetlania alfa}$ można zapisać jako ${ styl wyświetlania z ^ { alfa}}$, ponieważ ${ styl wyświetlania e ^ { alfa nazwa operatora {Dziennik} z}}$), zawsze można je zdefiniować w taki sposób, aby nacięcia leżały w lewej półpłaszczyźnie, a tym samym uniknąć problemów z analitycznością.

Część 2 z 3: Właściwości przekształcenia Laplace'a

1. 1 Znajdźmy transformatę Laplace'a funkcji pomnożoną przez miaT{ styl wyświetlania e ^ {at}}. Wyniki uzyskane w poprzednim rozdziale pozwoliły nam poznać kilka interesujących własności transformaty Laplace'a. Transformacja Laplace'a funkcji takich jak cosinus, sinus i funkcja wykładnicza wydaje się być prostsza niż transformata funkcji potęgowej. Mnożenie przez ${ styl wyświetlania e ^ {at}}$ w regionie t odpowiada Zmiana w regionie s:
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- (sa) t} matematyka {d} t = F (sa)}$
   • Ta właściwość pozwala natychmiast znaleźć przekształcenie funkcji takich jak ${ displaystyle f (t) = e ^ {3t} grzech 2t}$, bez konieczności obliczania całki:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {3t} grzech 2t } = { frac {2} {(s-3) ^ {2} + 4}}}$
2. 2 Znajdźmy transformatę Laplace'a funkcji pomnożoną przez Tn{ styl wyświetlania t ^ {n}}. Najpierw rozważ mnożenie przez ${ styl wyświetlania t}$... Z definicji można zróżnicować funkcję pod całką i uzyskać zaskakująco prosty wynik:
   • ${ displaystyle { zacząć {wyrównany} { matematyczny {L}} {tf (t) } & = int _ {0} ^ { infty} tf (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = - int _ {0} ^ { infty} f (t) { frac { częściowy} { częściowy s}} e ^ {- st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} s}} int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d} F} { mathrm {d} s}} koniec {wyrównany}}}$
   • Powtarzając tę ​​operację, otrzymujemy końcowy wynik:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} f (t) } = (- 1) ^ {n} { frac { matematyka {d} ^ {n} F} { matematyka {d} s ^ {n}}}}$
   • Chociaż przegrupowanie operatorów całkowania i różniczkowania wymaga dodatkowego uzasadnienia, nie będziemy go tutaj przedstawiać, a jedynie zaznaczymy, że operacja ta jest poprawna, jeśli ostateczny wynik ma sens. Możesz również wziąć pod uwagę fakt, że zmienne ${ style wyświetlania}$ oraz ${ styl wyświetlania t}$ nie polegajcie na sobie.
   • Stosując tę ​​regułę, łatwo jest znaleźć przekształcenie funkcji takich jak ${ styl wyświetlania t ^ {2} cos 2t}$, bez ponownej integracji na części:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {2} cos 2t } = { frac { matematyka {d} ^ {2}} { matematyka {d} s ^ {2}}} { frac {s} {s ^ {2} +4}} = { frac {2s ^ {3} -24s} {(s ^ {2} +4) ^ {3}}}}$
3. 3 Znajdź transformatę Laplace'a funkcji F(aT){ displaystyle f (at)}. Można to łatwo zrobić, zastępując zmienną u przy użyciu definicji przekształcenia:
   • ${ displaystyle { zacząć {wyrównany} { matematyczny {L}} {f (w) } & = int _ {0} ^ { infty} f (w) e ^ {- st} mathm { d} t, u = w & = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ { infty} f (u) e ^ {- su / a} mathm {d } u & = { frac {1} {a}} F lewy ({ frac {s} {a}} prawy) end {wyrównany}}}$
   • Powyżej znaleźliśmy transformatę funkcji Laplace'a ${ styl wyświetlania grzech w}$ oraz ${ styl wyświetlania cos w}$ bezpośrednio z funkcji wykładniczej. Korzystając z tej właściwości, możesz uzyskać ten sam wynik, jeśli znajdziesz prawdziwe i urojone części ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {it} } = { frac {1} {s-i}}}$.
4. 4 Znajdź transformatę Laplace'a pochodnej F′(T){ displaystyle f ^ { prime} (t)}. W przeciwieństwie do poprzednich przykładów, w tym przypadku musieć integruj kawałek po kawałku:
   • ${ displaystyle { zacząć {wyrównany} { mathcal {L}} {f ^ { prime} (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f ^ { prime} (t ) e ^ {- st} mathrm {d} t, u = e ^ {- st}, mathrm {d} v = f ^ { prim} (t) mathrm {d} t & = f (t) e ^ {- st} Duży _ {0} ^ { infty} + s int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathm {d } t & = sF (s) -f (0) end {wyrównany}}}$
   • Ponieważ druga pochodna występuje w wielu problemach fizycznych, znajdujemy dla niej również transformatę Laplace'a:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ { prime prime} (t) } = s ^ {2} F (s) -sf (0) -f ^ { prime} (0) }$
   • W ogólnym przypadku transformatę Laplace'a pochodnej n-tego rzędu definiuje się następująco (pozwala to rozwiązywać równania różniczkowe za pomocą transformaty Laplace'a):
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ {(n)} (t) } = s ^ {n} F (s) - suma _ {k = 0} ^ {n-1} s ^ {nk-1} f ^ {(k)} (0)}$

Część 3 z 3: Znalezienie transformacji Laplace'a przez rozszerzenie serii

1. 1 Znajdźmy transformatę Laplace'a dla funkcji okresowej. Funkcja okresowa spełnia warunek ${ styl wyświetlania f (t) = f (t + nT),}$ gdzie ${ styl wyświetlania T}$ jest okresem funkcji, a ${ styl wyświetlania n}$ jest dodatnią liczbą całkowitą. Funkcje okresowe są szeroko stosowane w wielu aplikacjach, w tym w przetwarzaniu sygnałów i elektrotechnice. Używając prostych przekształceń otrzymujemy następujący wynik:
   • ${ displaystyle { zacząć {wyrównany} { matematyczny {L}} {f (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathm { d} t & = suma _ {n = 0} ^ { infty} int _ {nT} ^ {(n + 1) T} f (t) e ^ {- st} mathm {d} t & = suma _ {n = 0} ^ { infty} int _ {0} ^ {T} f (t + nT) e ^ {- s (t + nT)} mathm {d} t & = suma _ {n = 0} ^ { infty} e ^ {- snT} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathm {d} t & = { frac {1} {1-e ^ {- sT}}} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t end { wyrównany}}}$
   • Jak widać, w przypadku funkcji okresowej wystarczy wykonać transformatę Laplace'a dla jednego okresu.
2. 2 Wykonaj transformację Laplace'a dla logarytmu naturalnego. W tym przypadku całka nie może być wyrażona w postaci funkcji elementarnych. Korzystanie z funkcji gamma i jej rozwinięcia w szereg pozwala oszacować logarytm naturalny i jego stopnie. Obecność stałej Eulera-Mascheroni ${ styl wyświetlania gamma}$ pokazuje, że aby oszacować tę całkę, konieczne jest użycie rozwinięcia szeregu.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} { ln t } = - { frac { gamma + ln s} {s}}}$
3. 3 Rozważmy transformację Laplace'a nieznormalizowanej funkcji sinc. Funkcjonować ${ styl wyświetlania nazwa operatora {sinc} (t) = { frac { sin t} {t}}}$ szeroko stosowany do przetwarzania sygnałów, w równaniach różniczkowych jest odpowiednikiem sferycznej funkcji Bessela pierwszego rodzaju i zerowego rzędu ${ styl wyświetlania j_ {0} (x).}$ Transformaty Laplace'a tej funkcji również nie można obliczyć standardowymi metodami. W tym przypadku dokonuje się przekształcenie poszczególnych członów szeregu, które są funkcjami potęgowymi, a więc ich przekształcenia nieuchronnie zbiegają się w danym przedziale.
   • Najpierw piszemy rozwinięcie funkcji w szereg Taylora:
     • ${ displaystyle { frac { sin t} {t}} = suma _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} t ^ {2n}} {(2n +1!}}}$
   • Teraz używamy znanej już transformaty Laplace'a funkcji potęgowej. Silnie są skreślone, w wyniku czego otrzymujemy rozwinięcie Taylora dla arcus tangens, czyli szereg przemienny, który przypomina szereg Taylora dla sinusa, ale bez silni:
     • ${ displaystyle { zacząć {wyrównany} { matematyczny {L}} lewy {{ frac { sin t} {t}} prawy } & = suma _ {n = 0} ^ { infty } { frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {(2n + 1)!}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = suma _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = opalenizna ^ {- 1} { frac {1} {s}} koniec {wyrównany}}}$