Zawartość

• Kroki
• Część 1 z 3: Rozkład na czynniki dwumianowe
• Część 2 z 3: Rozkładanie dwumianów na czynniki do rozwiązywania równań
• Część 3 z 3: Rozwiązywanie złożonych problemów
• Porady
• Ostrzeżenia

Dwumian (dwumian) to wyrażenie matematyczne z dwoma wyrazami, pomiędzy którymi znajduje się znak plus lub minus, na przykład: ${ displaystyle topór + b}$... Pierwszy element zawiera zmienną, a drugi zawiera ją lub nie zawiera. Rozkładanie dwumianu na czynniki polega na znalezieniu wyrazów, które po pomnożeniu dają oryginalny dwumian w celu jego rozwiązania lub uproszczenia.

Kroki

Część 1 z 3: Rozkład na czynniki dwumianowe

1. 1 Poznaj podstawy procesu faktoringu. Podczas rozkładania na czynniki dwumianu czynnik, który jest dzielnikiem każdego wyrazu oryginalnego dwumianu, jest usuwany z nawiasu. Na przykład liczba 6 jest całkowicie podzielna przez 1, 2, 3, 6. Zatem dzielnikami liczby 6 są liczby 1, 2, 3, 6.
   • Dzielniki 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
   • Dzielnikami dowolnej liczby są 1 i sama liczba. Na przykład dzielniki 3 to 1 i 3.
   • Dzielniki liczb całkowitych mogą być tylko liczbami całkowitymi. Liczbę 32 można podzielić przez 3,564 lub 21,4952, ale otrzymasz nie liczbę całkowitą, ale ułamek dziesiętny.
2. 2 Zamów terminy dwumianu, aby ułatwić proces faktoringu. Dwumian to suma lub różnica dwóch terminów, z których przynajmniej jeden zawiera zmienną. Czasami zmienne są podnoszone do potęgi, na przykład ${ styl wyświetlania x ^ {2}}$ lub ${ styl wyświetlania 5 lat ^ {4}}$... Lepiej jest uporządkować wyrazy dwumianu w porządku rosnącym wykładników, to znaczy wyraz z najmniejszym wykładnikiem jest zapisywany jako pierwszy, a z największym - jako ostatni. Na przykład:
   • ${ styl wyświetlania 3t + 6}$ → ${ displaystyle 6 + 3t}$
   • ${ styl wyświetlania 3x ^ {4} + 9x ^ {2}}$ → ${ styl wyświetlania 9x ^ {2} + 3x ^ {4}}$
   • ${ styl wyświetlania x ^ {2} -2}$ → ${ styl wyświetlania -2 + x ^ {2}}$
     • Zwróć uwagę na znak minus przed 2. Jeśli termin jest odejmowany, napisz przed nim znak minus.
3. 3 Znajdź największy wspólny dzielnik (NWD) obu terminów. GCD to największa liczba, przez którą oba człony dwumianu są podzielne. Aby to zrobić, znajdź dzielniki każdego wyrazu w dwumianu, a następnie wybierz największy wspólny dzielnik. Na przykład:
   • Zadanie:${ styl wyświetlania 3t + 6}$.
     • Dzielniki 3: 1, 3
     • Dzielniki 6: 1, 2, 3, 6.
     • NPK = 3.
4. 4 Podziel każdy wyraz w dwumianu według największego wspólnego dzielnika (GCD). Zrób to, aby wykluczyć GCD. Zauważ, że każdy element dwumianu maleje (ponieważ jest podzielny), ale jeśli NWD jest wykluczony z nawiasu, końcowe wyrażenie będzie równe oryginalnemu.
   • Zadanie:${ styl wyświetlania 3t + 6}$.
   • Znajdź GCD: 3
   • Podziel każdy wyraz dwumianowy przez gcd:${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
5. 5 Wysuń dzielnik z nawiasów. Wcześniej podzieliłeś oba wyrazy dwumianu przez dzielnik 3 i otrzymałeś ${ styl wyświetlania t + 2}$... Ale nie możesz pozbyć się 3 - aby wartości wyrażeń początkowych i końcowych były równe, musisz umieścić 3 poza nawiasami, a wyrażenie uzyskane w wyniku dzielenia zapisać w nawiasach. Na przykład:
   • Zadanie:${ styl wyświetlania 3t + 6}$.
   • Znajdź GCD: 3
   • Podziel każdy wyraz dwumianowy przez gcd:${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
   • Pomnóż dzielnik przez wynikowe wyrażenie:${ styl wyświetlania 3 (t + 2)}$
   • Odpowiadać: ${ styl wyświetlania 3 (t + 2)}$
6. 6 Sprawdź swoją odpowiedź. Aby to zrobić, pomnóż termin przed nawiasami przez każdy termin w nawiasach. Jeśli uzyskasz oryginalny dwumian, rozwiązanie jest poprawne. Teraz rozwiąż problem ${ styl wyświetlacza 12t + 18}$:
   • Zamów członków:${ displaystyle 18 + 12t}$
   • Znajdź GCD:${ styl wyświetlania 6}$
   • Podziel każdy wyraz dwumianowy przez gcd:${ displaystyle { frac {18t} {6}} + { frac {12t} {6}} = 3 + 2t}$
   • Pomnóż dzielnik przez wynikowe wyrażenie:${ Displaystyle 6 (3 + 2t)}$
   • Sprawdź odpowiedź:${ styl wyświetlania (6 * 3) + (6 * 2t) = 18 + 12t}$

Część 2 z 3: Rozkładanie dwumianów na czynniki do rozwiązywania równań

1. 1 Rozłóż na czynniki dwumian, aby go uprościć i rozwiązać równanie. Na pierwszy rzut oka rozwiązanie niektórych równań (zwłaszcza w przypadku złożonych dwumianów) wydaje się niemożliwe. Na przykład rozwiąż równanie ${ styl wyświetlania 5 lat-2 lata ^ {2} = - 3 lata}$... W tym równaniu występują potęgi, więc najpierw rozłóż na czynniki wyrażenie.
   • Zadanie:${ styl wyświetlania 5 lat-2 lata ^ {2} = - 3 lata}$
   • Pamiętaj, że dwumian ma dwóch członków. Jeśli wyrażenie zawiera więcej terminów, dowiedz się, jak rozwiązywać wielomiany.
2. 2 Dodaj lub odejmij część jednomianu po obu stronach równania, tak aby zero pozostało po jednej stronie równania. W przypadku faktoryzacji rozwiązanie równań opiera się na niezmiennym fakcie, że każde wyrażenie pomnożone przez zero jest równe zeru. Dlatego jeśli przyrównamy równanie do zera, to każdy z jego czynników musi być równy zero. Ustaw jedną stronę równania na 0.
   • Zadanie:${ styl wyświetlania 5 lat-2 lata ^ {2} = - 3 lata}$
   • Ustaw na zero:${ Displaystyle 5 lat-2 lata ^ {2} + 3 lata = -3 lata + 3 lata}$
     • ${ styl wyświetlania 8 lat-2 lata ^ {2} = 0}$
3. 3 Rozłóż wynikowy kosz na czynniki. Zrób to zgodnie z opisem w poprzedniej sekcji. Znajdź największy wspólny czynnik (NWD), podziel przez niego oba wyrazy dwumianu, a następnie usuń czynnik z nawiasów.
   • Zadanie:${ styl wyświetlania 5 lat-2 lata ^ {2} = - 3 lata}$
   • Ustaw na zero:${ styl wyświetlania 8 lat-2 lata ^ {2} = 0}$
   • Czynnik:${ styl wyświetlania 2 lata (4 lata) = 0}$
4. 4 Ustaw każdy współczynnik na zero. W wynikowym wyrażeniu 2y mnoży się przez 4 - y, a ten iloczyn jest równy zero. Ponieważ każde wyrażenie (lub wyraz) pomnożone przez zero wynosi zero, to 2y lub 4 - y wynosi 0. Ustaw wynikowy jednomian i dwumian na zero, aby znaleźć "y".
   • Zadanie:${ styl wyświetlania 5 lat-2 lata ^ {2} = - 3 lata}$
   • Ustaw na zero:${ styl wyświetlania 8 lat-2 lata ^ {2} + 3 lata = 0}$
   • Czynnik:${ styl wyświetlania 2 lata (4 lata) = 0}$
   • Ustaw oba współczynniki na 0:
     • ${ styl wyświetlania 2 lata = 0}$
     • ${ styl wyświetlania 4-y = 0}$
5. 5 Rozwiąż otrzymane równania, aby znaleźć ostateczną odpowiedź (lub odpowiedzi). Ponieważ każdy czynnik równa się zeru, równanie może mieć wiele rozwiązań. W naszym przykładzie:
   • ${ styl wyświetlania 2 lata = 0}$
     • ${ displaystyle { frac {2 lata} {2}} = { frac {0} {2}}}$
     • y = 0
   • ${ styl wyświetlania 4-y = 0}$
     • ${ Displaystyle 4-y + y = 0 + y}$
     • y = 4
6. 6 Sprawdź swoją odpowiedź. Aby to zrobić, zastąp znalezione wartości oryginalne równanie. Jeśli równość jest prawdziwa, to decyzja jest prawidłowa. Zastąp znalezione wartości zamiast „y”. W naszym przykładzie y = 0 i y = 4:
   • ${ styl wyświetlania 5 (0) -2 (0) ^ {2} = - 3 (0)}$
     • ${ styl wyświetlania 0 + 0 = 0}$
     • ${ styl wyświetlania 0 = 0}$To właściwa decyzja
   • ${ displaystyle 5 (4) -2 (4) ^ {2} = - 3 (4)}$
     • ${ styl wyświetlania 20-32 = -12}$
     • ${ styl wyświetlania -12 = -12}$I to jest właściwa decyzja

Część 3 z 3: Rozwiązywanie złożonych problemów

1. 1 Pamiętaj, że wyraz ze zmienną można również rozłożyć na czynniki, nawet jeśli zmienna zostanie podniesiona do potęgi. Podczas rozkładania na czynniki musisz znaleźć jednomian, który całkowicie dzieli każdy element dwumianu. Na przykład jednomian ${ styl wyświetlania x ^ {4}}$ może być faktoryzowany ${ styl wyświetlania x * x * x * x}$... Oznacza to, że jeśli drugi wyraz dwumianu zawiera również zmienną „x”, to „x” można wyjąć z nawiasów. Dlatego traktuj zmienne jako liczby całkowite. Na przykład:
   • Obaj członkowie dwumianu ${ displaystyle 2t + t ^ {2}}$ zawierają „t”, więc „t” można wyjąć z nawiasu: ${ styl wyświetlania t (2 + t)}$
   • Z wspornika można również wyjąć zmienną podniesioną do potęgi. Na przykład obaj członkowie dwumianu ${ styl wyświetlania x ^ {2} + x ^ {4}}$ zawierać ${ styl wyświetlania x ^ {2}}$, więc ${ styl wyświetlania x ^ {2}}$ można wyjąć z uchwytu: ${ styl wyświetlania x ^ {2} (1 + x ^ {2})}$
2. 2 Dodaj lub odejmij podobne terminy, aby uzyskać dwumian. Na przykład, biorąc pod uwagę wyrażenie ${ styl wyświetlania 6 + 2x + 14 + 3x}$... Na pierwszy rzut oka jest to wielomian, ale w rzeczywistości wyrażenie to można przekształcić w dwumian. Dodaj podobne terminy: 6 i 14 (nie zawierają zmiennej) oraz 2x i 3x (zawierają tę samą zmienną „x”). W takim przypadku proces faktoringu zostanie uproszczony:
   • Wyrażenie oryginalne:${ styl wyświetlania 6 + 2x + 14 + 3x}$
   • Zamów członków:${ styl wyświetlania 2x + 3x + 14 + 6}$
   • Dodaj podobne terminy:${ styl wyświetlania 5x + 20}$
   • Znajdź GCD:${ styl wyświetlania 5 (x) + 5 (4)}$
   • Czynnik:${ styl wyświetlania 5 (x + 4)}$
3. 3 Rozłóż na czynniki różnicę idealnych kwadratów. Idealny kwadrat to liczba, której pierwiastek kwadratowy jest liczbą całkowitą, na przykład ${ styl wyświetlania 9}$${ styl wyświetlania (3 * 3)}$, ${ styl wyświetlania x ^ {2}}$${ styl wyświetlania (x * x)}$ i nawet ${ displaystyle 144t ^ {2}}$${ styl wyświetlacza (12t * 12t)}$... Jeśli dwumian jest różnicą idealnych kwadratów, na przykład, ${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2}}$, to jest rozkładane na czynniki według wzoru:
   • Wzór różnicy kwadratów:${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (a-b)}$
   • Zadanie:${ styl wyświetlania 4x ^ {2} -9}$
   • Wyodrębnij pierwiastki kwadratowe:
     • ${ styl wyświetlania { sqrt {4x ^ {2}}} = 2x}$
     • ${ styl wyświetlania { sqrt {9}} = 3}$
   • Zastąp znalezione wartości formułą: ${ styl wyświetlania 4x ^ {2} -9 = (2x + 3) (2x-3)}$
4. 4 Rozłóż na czynniki różnicę między pełnymi kostkami. Jeśli dwumian jest różnicą pełnych sześcianów, na przykład ${ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3}}$, a następnie jest rozkładany na czynniki przy użyciu specjalnej formuły. W takim przypadku konieczne jest wyodrębnienie pierwiastka sześciennego z każdego członka dwumianu i podstawienie znalezionych wartości do formuły.
   • Wzór na różnicę między kostkami:${ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3} = (a-b) (a ^ {2} + ab + b ^ {2})}$
   • Zadanie:${ styl wyświetlania 8x ^ {3} -27}$
   • Wyodrębnij korzenie sześcienne:
     • ${ styl wyświetlania { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ styl wyświetlania { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • Zastąp znalezione wartości formułą: ${ styl wyświetlania 8x ^ {3} -27 = (2x-3) (4x ^ {2} + 6x + 9)}$
5. 5 Rozłóż na czynniki sumę pełnych kostek. W przeciwieństwie do sumy idealnych kwadratów, suma pełnych sześcianów, na przykład, ${ styl wyświetlania a ^ {3} + b ^ {3}}$, można rozłożyć na czynniki przy użyciu specjalnego wzoru. Jest podobny do wzoru na różnicę między kostkami, ale znaki są odwrócone. Wzór jest dość prosty - aby z niego skorzystać, znajdź sumę pełnych kostek w zadaniu.
   • Wzór na sumę kostek:${ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3} = (a + b) (a ^ {2} -ab + b ^ {2})}$
   • Zadanie:${ styl wyświetlania 8x ^ {3} -27}$
   • Wyodrębnij korzenie sześcienne:
     • ${ styl wyświetlania { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ styl wyświetlania { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • Zastąp znalezione wartości formułą: ${ styl wyświetlania 8x ^ {3} -27 = (2x + 3) (4x ^ {2} -6x + 9)}$

Porady

• Czasami elementy dwumianowe nie mają wspólnego dzielnika. W niektórych zadaniach członkowie są przedstawiani w uproszczonej formie.
• Jeśli nie możesz od razu znaleźć GCD, zacznij od podzielenia przez małe liczby. Na przykład, jeśli nie widzisz, że NWD liczb 32 i 16 to 16, podziel obie liczby przez 2. Otrzymasz 16 i 8; te liczby można podzielić przez 8. Teraz otrzymujesz 2 i 1; tych liczb nie można zmniejszyć. Jest więc oczywiste, że istnieje większa liczba (w porównaniu z 8 i 2), która jest wspólnym dzielnikiem dwóch podanych liczb.
• Zauważ, że wyrazy szóstego rzędu (z wykładnikiem 6, na przykład x) są zarówno idealnymi kwadratami, jak i idealnymi sześcianami. Zatem do dwumianów z wyrazami szóstego rzędu, na przykład x - 64, można zastosować (w dowolnej kolejności) wzory na różnicę kwadratów i różnicę sześcianów. Ale lepiej jest najpierw zastosować wzór na różnicę kwadratów, aby dokładniej rozłożyć za pomocą dwumianu.

Ostrzeżenia

• Dwumianu, który jest sumą idealnych kwadratów, nie można podzielić na czynniki.