Zawartość

• Kroki
• Część 1 z 3: Zrozumienie kwadratów liczb i pierwiastków kwadratowych
• Część 2 z 3: Korzystanie z algorytmu długiego dzielenia
• Część 3 z 3: Szybkie liczenie niekompletnych kwadratów
• Porady

Podczas gdy onieśmielający wygląd symbolu pierwiastka kwadratowego może sprawić, że ktoś, kto nie jest dobry w matematyce, się skuli, problemy z pierwiastkiem kwadratowym nie są tak trudne, jak mogłoby się początkowo wydawać. Proste problemy z pierwiastkami kwadratowymi można często rozwiązać równie łatwo, jak zwykłe problemy z mnożeniem lub dzieleniem. Z drugiej strony bardziej złożone zadania mogą wymagać pewnego wysiłku, ale przy odpowiednim podejściu nawet one nie będą dla Ciebie trudne. Rozpocznij rozwiązywanie problemów już dziś, aby nauczyć się tej radykalnie nowej umiejętności matematycznej!

Kroki

Część 1 z 3: Zrozumienie kwadratów liczb i pierwiastków kwadratowych

1. 1 Podnieś liczbę do kwadratu, mnożąc ją przez samą siebie. Aby zrozumieć pierwiastki kwadratowe, najlepiej zacząć od kwadratu liczb. Podnoszenie liczb do kwadratu jest dość proste: podnoszenie liczby do kwadratu oznacza mnożenie jej przez samą siebie. Na przykład 3 do kwadratu to to samo, co 3 × 3 = 9, a 9 do kwadratu to to samo, co 9 × 9 = 81. Kwadraty są oznaczane przez wpisanie małej liczby „2” po prawej stronie nad numerem kwadratu. Przykład: 3, 9, 100 itd.
   • Spróbuj sam podbić kilka dodatkowych liczb, aby wypróbować tę koncepcję. Pamiętaj, że podniesienie liczby do kwadratu oznacza, że ​​liczba powinna zostać pomnożona przez samą siebie. Można to zrobić nawet dla liczb ujemnych. W takim przypadku wynik zawsze będzie pozytywny. Na przykład: -8 = -8 × -8 = 64.
2. 2 Jeśli chodzi o pierwiastki kwadratowe, proces jest odwrotny do kwadratu. Symbol korzenia (√, zwany także radykałem) zasadniczo oznacza przeciwieństwo symbolu. Kiedy widzisz radykał, musisz zadać sobie pytanie: „Jaka liczba może się sama pomnożyć, aby uzyskać liczbę pod pierwiastkiem?” Na przykład, jeśli widzisz √ (9), to musisz znaleźć liczbę, która po podniesieniu do kwadratu daje liczbę dziewięć. W naszym przypadku byłaby to trzy, ponieważ 3 = 9.
   • Rozważ inny przykład i znajdź pierwiastek 25 (√ (25)). Oznacza to, że musimy znaleźć liczbę, która da nam do kwadratu 25. Ponieważ 5 = 5 × 5 = 25, możemy powiedzieć, że √ (25) = 5.
   • Możesz też myśleć o tym jako o „cofnięciu” kwadratury. Na przykład, jeśli musimy znaleźć √ (64), pierwiastek kwadratowy z 64, pomyślmy o tej liczbie jako 8. Ponieważ symbol pierwiastka „anuluje” podniesienie do kwadratu, możemy powiedzieć, że √ (64) = √ ( 8 ) = 8.
3. 3 Poznaj różnicę między idealną i niedoskonałą kwadraturą. Do tej pory odpowiedzią na nasze problemy z pierwiastkiem były dobre i okrągłe liczby, ale nie zawsze tak jest. Odpowiedzi na problemy z pierwiastkami kwadratowymi mogą być bardzo długimi i nieporęcznymi liczbami dziesiętnymi. Liczby, których pierwiastek jest liczbami całkowitymi (innymi słowy liczby, które nie są ułamkami) nazywane są kwadratami idealnymi. Wszystkie powyższe przykłady (9, 25 i 64) są idealnymi kwadratami, ponieważ ich pierwiastek będzie liczbą całkowitą (3,5 i 8).
   • Z drugiej strony liczby, które po dodaniu do pierwiastka nie dają liczby całkowitej, nazywane są kwadratami niepełnymi. Jeśli umieścisz jedną z tych liczb pod pierwiastkiem, otrzymasz liczbę z ułamkiem dziesiętnym. Czasami ta liczba może być dość długa. Na przykład √ (13) = 3.605551275464 ...
4. 4 Zapamiętaj pierwsze 1-12 pełnych kwadratów. Jak zapewne już zauważyłeś, znalezienie pierwiastka pełnego kwadratu jest dość łatwe! Ponieważ zadania te są tak proste, warto pamiętać o korzeniach pierwszych tuzinów pełnych kwadratów. Natkniesz się na te liczby więcej niż raz, więc poświęć trochę czasu na ich wcześniejsze zapamiętanie i zaoszczędź czas w przyszłości.
   • 1 = 1 × 1 = 1
   • 2 = 2 × 2 = 4
   • 3 = 3 × 3 = 9
   • 4 = 4 × 4 = 16
   • 5 = 5 × 5 = 25
   • 6 = 6 × 6 = 36
   • 7 = 7 × 7 = 49
   • 8 = 8 × 8 = 64
   • 9 = 9 × 9 = 81
   • 10 = 10 × 10 = 100
   • 11 = 11 × 11 = 121
   • 12 = 12 × 12 = 144
5. 5 Uprość korzenie, usuwając z nich pełne kwadraty, jeśli to możliwe. Znalezienie pierwiastka niepełnego kwadratu może być czasem trudne, zwłaszcza jeśli nie używasz kalkulatora (zobacz poniżej kilka sztuczek, które ułatwią ten proces). Jednak często można uprościć liczbę pod korzeniem, aby ułatwić pracę. Aby to zrobić, wystarczy rozłożyć liczbę pod pierwiastek, a następnie znaleźć pierwiastek tego czynnika, który jest idealnym kwadratem, i zapisać go poza pierwiastkiem. To jest łatwiejsze niż się wydaje.Czytaj dalej, aby dowiedzieć się więcej.
   • Powiedzmy, że musimy obliczyć pierwiastek kwadratowy z 900. Na pierwszy rzut oka wydaje się to dość trudne zadanie! Jednak nie będzie to takie trudne, jeśli liczbę 900 podzielimy przez czynniki. Mnożniki to liczby, które są mnożone przez siebie w celu uzyskania nowej liczby. Na przykład liczbę 6 można uzyskać, mnożąc 1 × 6 i 2 × 3, jej współczynnikami będą liczby 1, 2, 3 i 6.
   • Zamiast szukać pierwiastka z 900, co jest trochę skomplikowane, zapiszmy 900 jako 9 × 100. Teraz, gdy 9, które jest idealnym kwadratem, jest oddzielone od 100, możemy znaleźć jego pierwiastek. √ (9 × 100) = √ (9) × √ (100) = 3 × √ (100). Innymi słowy, √ (900) = 3√ (100).
   • Możemy pójść jeszcze dalej, dzieląc 100 przez dwa czynniki, 25 i 4. √ (100) = √ (25 × 4) = √ (25) × √ (4) = 5 × 2 = 10. Możemy więc powiedzieć, że √ (900) = 3 (10) = 30
6. 6 Użyj liczb urojonych, aby znaleźć pierwiastek liczby ujemnej. Zadaj sobie pytanie, jaka liczba po pomnożeniu przez siebie da -16? To nie jest 4 lub -4, ponieważ podniesienie tych liczb do kwadratu da nam liczbę dodatnią 16. Zrezygnować? W rzeczywistości nie ma możliwości zapisania pierwiastka -16 lub jakiejkolwiek innej liczby ujemnej w normalnych liczbach. W takim przypadku musimy podstawić liczby urojone (zwykle w postaci liter lub symboli), aby pojawiły się one w miejscu pierwiastka liczby ujemnej. Na przykład zmienna „i” jest zwykle używana jako root -1. Zazwyczaj pierwiastek liczby ujemnej zawsze będzie liczbą urojoną (lub w niej zawartą).
   • Należy pamiętać, że chociaż liczby urojone nie mogą być reprezentowane przez zwykłe liczby, nadal można je traktować jako takie. Na przykład pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej może być podniesiony do kwadratu, aby dać tym liczbom ujemnym, jak każdy inny, pierwiastek kwadratowy. Na przykład i = -1

Część 2 z 3: Korzystanie z algorytmu długiego dzielenia

1. 1 Zapisz problem z korzeniem jako problem z dzieleniem długim. Chociaż może to być dość czasochłonne, w ten sposób możesz rozwiązać problem niekompletnego pierwiastka kwadratowego bez uciekania się do kalkulatora. Aby to zrobić, użyjemy metody rozwiązania (lub algorytmu), która jest podobna (ale nie dokładnie taka sama) do regularnego dzielenia długiego.
   • Najpierw zapisz problem z korzeniem w takiej samej formie, jak przy dzieleniu długim. Załóżmy, że chcemy znaleźć pierwiastek kwadratowy z 6,45, co nie jest dokładnie kwadratem idealnym. Najpierw napiszemy zwykły symbol kwadratu, a następnie wpiszemy pod nim liczbę. Następnie narysujemy linię nad liczbą tak, aby pojawiła się ona w małym „kwadracie”, tak jak przy dzieleniu długim. Następnie mamy korzeń z długim ogonem i pod nim cyfrę 6,45.
   • Będziemy pisać liczby nad korzeniem, więc pamiętaj, aby zostawić tam trochę miejsca.
2. 2 Pogrupuj liczby w pary. Aby rozpocząć rozwiązywanie problemu, musisz pogrupować cyfry liczby pod radykałem parami, zaczynając od przecinka dziesiętnego. Jeśli chcesz, możesz zrobić małe znaki (takie jak kropki, ukośne linie, przecinki itp.) między parami, aby uniknąć pomyłek.
   • W naszym przykładzie musimy sparować liczbę 6.45 w następujący sposób: 6-, 45-00. Zwróć uwagę, że po lewej stronie znajduje się "pozostała" cyfra - to normalne.
3. 3 Znajdź największą liczbę, której kwadrat jest mniejszy lub równy pierwszej „grupie”. Zacznij od pierwszej liczby lub pary po lewej stronie. Wybierz największą liczbę, której kwadrat jest mniejszy lub równy pozostałej „grupie”. Na przykład, jeśli grupa miałaby 37, wybrałbyś liczbę 6, ponieważ 6 = 36 37 i 7 = 49> 37. Wpisz tę liczbę nad pierwszą grupą. To będzie pierwsza liczba w Twojej odpowiedzi.
   • W naszym przykładzie pierwsza grupa przy 6, 45-00 będzie liczbą 6. Największa liczba, która jest mniejsza lub równa 6 w kwadracie, to 2 = 4. Wpisz liczbę 2 nad liczbą 6 pod pierwiastkiem .
4. 4 Podwój liczbę, którą właśnie napisałeś, a następnie wykorzenij ją i odejmij. Weź pierwszą cyfrę odpowiedzi (liczbę, którą właśnie znalazłeś) i podwój ją. Zapisz wynik w swojej pierwszej grupie i odejmij, aby znaleźć różnicę. Upuść kilka następnych liczb obok odpowiedzi. Na koniec wpisz po lewej ostatnią podwójną cyfrę pierwszej cyfry odpowiedzi i zostaw obok niej spację.
   • W naszym przykładzie zaczniemy od podwojenia liczby 2, która jest pierwszą liczbą w naszej odpowiedzi. 2 × 2 = 4.Następnie odejmujemy 4 od 6 (nasza pierwsza „grupa”), otrzymując 2. Następnie pomijamy następną grupę (45), aby uzyskać 245. I na koniec, po lewej stronie, ponownie zapiszemy liczbę 4, pozostawiając małą przestrzeń przy koniec, oto tak: 4_
5. 5 Proszę wypełnić puste miejsce. Następnie należy dodać cyfrę po prawej stronie rejestrowanego numeru, który znajduje się po lewej stronie. Wybierz cyfrę, mnożąc ją z nową liczbą, aby uzyskać największy możliwy wynik, ale która byłaby mniejsza lub równa „pominiętej” liczbie. Na przykład, jeśli twoja "pominięta" liczba to 1700, a twój numer po lewej to 40_, musisz wpisać liczbę 4 w spację, ponieważ 404 × 4 = 1616 1700, a 405 × 5 = 2025. Znaleziona cyfra w tym kroku i będzie drugą cyfrą Twojej odpowiedzi, więc możesz wpisać ją nad znakiem głównym.
   • W naszym przykładzie musimy znaleźć liczbę i zapisać ją w odstępach 4_ × _, co sprawi, że odpowiedź będzie jak największa, ale nadal mniejsza lub równa 245. W naszym przypadku jest to 5. 45 × 5 = 225, podczas gdy 46 × 6 = 276
6. 6 Nadal używaj pustych liczb, aby znaleźć odpowiedź. Kontynuuj rozwiązywanie tego zmodyfikowanego długiego dzielenia, aż zaczniesz otrzymywać zera po odjęciu „pominiętej” liczby lub do uzyskania pożądanego poziomu dokładności. Kiedy skończysz, liczby, których użyłeś do wypełnienia pustych miejsc w każdym kroku (plus pierwsza liczba), będą stanowić liczbę w Twojej odpowiedzi.
   • Kontynuując nasz przykład, odejmujemy 225 od 245, aby uzyskać 20. Następnie odrzucamy następną parę liczb, 00, aby uzyskać 2000. Podwój liczbę nad znakiem pierwiastka. Otrzymujemy 25 × 2 = 50. Rozwiązując przykład ze spacjami, 50_ × _ = / 2000, otrzymujemy 3. Na tym etapie będziemy mieli napisane 253 nad pierwiastkami i powtarzając ten proces ponownie, nasza następna liczba będzie wynosić 9 .
7. 7 Przesuń kropkę dziesiętną do przodu od oryginalnej liczby dywidendy. Aby uzupełnić odpowiedź, musisz umieścić kropkę dziesiętną we właściwym miejscu. Na szczęście jest to dość łatwe. Wszystko, co musisz zrobić, to wyrównać go z oryginalnym punktem liczbowym. Na przykład, jeśli liczba 49.8 jest pod pierwiastkiem, musisz postawić kropkę między dwiema liczbami powyżej dziewiątki i ósemki.
   • W naszym przykładzie pod radykałem jest 6,45, więc po prostu przesuwamy kropkę i umieszczamy ją między cyframi 2 i 5 w naszej odpowiedzi i otrzymujemy odpowiedź równą 2,539.

Część 3 z 3: Szybkie liczenie niekompletnych kwadratów

1. 1 Znajdź niekompletne kwadraty, licząc je. Po zapamiętaniu pełnych kwadratów znalezienie pierwiastka niekompletnych kwadratów staje się znacznie łatwiejsze. Ponieważ znasz już tuzin idealnych kwadratów, każdą liczbę mieszczącą się w obszarze między tymi dwoma pełnymi kwadratami można znaleźć, redukując wszystko do przybliżonej liczby między tymi wartościami. Zacznij od znalezienia dwóch pełnych kwadratów z liczbą pośrodku. Następnie określ, której z tych liczb Twój numer jest bliższy.
   • Załóżmy na przykład, że musimy znaleźć pierwiastek kwadratowy z 40. Ponieważ zapamiętaliśmy idealne kwadraty, możemy powiedzieć, że 40 jest pomiędzy 6 a 7 lub 36 a 49. Ponieważ 40 jest większe niż 6, jego pierwiastek będzie większy niż 6 , a ponieważ jest mniejszy niż 7, jego pierwiastek będzie również mniejszy niż 7. 40 jest nieco bliższy 36 niż 49, więc odpowiedź prawdopodobnie będzie nieco bliższa 6. W kolejnych kilku krokach zawęzimy naszą odpowiadać.
2. 2 Policz pierwiastek kwadratowy do pierwszego miejsca po przecinku. Po wybraniu dwóch pełnych kwadratów, pomiędzy którymi znajduje się twoja liczba, wszystko sprowadza się do twojego obliczenia, aż otrzymasz żądaną odpowiedź. Im więcej liczysz, tym dokładniejsza będzie twoja odpowiedź. Zacznij od wybrania miejsca, w którym chcesz umieścić kropkę dziesiętną w swojej odpowiedzi. Nie musi to być poprawne, ale zaoszczędzisz czas, jeśli użyjesz logiki i położysz kres jak najbliżej poprawnej odpowiedzi.
   • W naszym przykładzie rozsądne oszacowanie pierwiastka kwadratowego z 40 może wynosić 6,4, ponieważ z powyższych informacji wiemy, że odpowiedź jest bliższa 6 niż 7.
3. 3 Pomnóż przybliżoną liczbę przez samą siebie. Następną rzeczą, którą powinieneś zrobić, jest podniesienie przybliżonej liczby do kwadratu. Najprawdopodobniej nie będziesz miał szczęścia i nie otrzymasz oryginalnego numeru. Będzie albo nieco większy, albo nieco mniejszy.Jeśli Twój wynik jest zbyt wysoki, spróbuj ponownie, ale z nieco niższym oszacowaniem (i odwrotnie, jeśli wynik jest zbyt niski).
   • Pomnóż 6,4 przez samo, a otrzymasz 6,4 x 6,4 = 40,96, czyli nieco więcej niż oryginalna liczba.
   • Ponieważ nasza odpowiedź okazała się większa, powinniśmy pomnożyć tę liczbę o jedną dziesiątą mniej przez przybliżenie i otrzymać: 6,3 × 6,3 = 39,69. To nieco mniej niż oryginalna liczba. Oznacza to, że pierwiastek kwadratowy z 40 wynosi od 6,3 do 6,4. Ponownie, ponieważ 39,69 jest bliżej 40 niż 40,96, wiemy, że pierwiastek kwadratowy będzie bliżej 6,3 niż 6,4.
4. 4 Kontynuuj obliczenia. W tym momencie, jeśli jesteś zadowolony ze swojej odpowiedzi, możesz po prostu odgadnąć pierwsze zgadywanie. Jeśli jednak chcesz uzyskać dokładniejszą odpowiedź, wszystko, co musisz zrobić, to wybrać przybliżoną wartość z dwoma miejscami po przecinku, która umieszcza tę przybliżoną wartość między dwiema pierwszymi liczbami. Kontynuując to liczenie, możesz uzyskać trzy, cztery lub więcej miejsc po przecinku dla swojej odpowiedzi. Wszystko zależy od tego, jak daleko chcesz się posunąć.
   • W naszym przykładzie wybierzmy 6,33 jako przybliżoną wartość z dwoma miejscami po przecinku. Pomnóż 6,33 przez samo, aby uzyskać 6,33 × 6,33 = 40,0689. ponieważ jest to nieco większe niż nasza liczba, przyjmiemy mniejszą liczbę, na przykład 6,32. 6,32 × 6,32 = 39,9424. Ta odpowiedź jest nieco mniejsza niż nasza liczba, więc wiemy, że dokładny pierwiastek kwadratowy wynosi od 6,32 do 6,33. Gdybyśmy chcieli kontynuować, nadal używalibyśmy tego samego podejścia, aby uzyskać coraz dokładniejszą odpowiedź.

Porady

• Aby szybko znaleźć rozwiązanie, skorzystaj z kalkulatora. Większość nowoczesnych kalkulatorów może natychmiast znaleźć pierwiastek kwadratowy z liczby. Wszystko, co musisz zrobić, to wpisać swój numer, a następnie kliknąć przycisk główny. Na przykład, aby znaleźć pierwiastek 841, musiałbyś nacisnąć 8, 4, 1 i (√). W rezultacie otrzymasz odpowiedź 39.