Zawartość

• Kroki
• Porady

Wykres równania kwadratowego postaci ax + bx + c lub a (x - h) + k jest parabolą (krzywą w kształcie litery U). Aby wykreślić takie równanie, musisz znaleźć wierzchołek paraboli, jej kierunek i punkty przecięcia z osiami X i Y. Jeśli otrzymasz stosunkowo proste równanie kwadratowe, możesz podstawić różne wartości „x " w nim znajdź odpowiednie wartości "y" i zbuduj wykres ...

Kroki

1. 1 Równanie kwadratowe można zapisać w postaci standardowej i niestandardowej. Do wykreślenia równania kwadratowego można użyć dowolnego rodzaju równania (metoda wykreślania jest nieco inna). Z reguły w problemach równania kwadratowe są podawane w standardowej formie, ale w tym artykule dowiesz się o obu typach pisania równania kwadratowego.
   • Postać standardowa: f (x) = ax + bx + c, gdzie a, b, c to liczby rzeczywiste, a a 0.
     • Na przykład dwa równania postaci standardowej: f (x) = x + 2x + 1 i f (x) = 9x + 10x -8.
   • Postać niestandardowa: f (x) = a (x - h) + k, gdzie a, h, k to liczby rzeczywiste, a a 0.
     • Na przykład dwa równania o niestandardowej formie: f (x) = 9 (x - 4) + 18 i -3 (x - 5) + 1.
   • Aby wykreślić dowolne równanie kwadratowe, musisz najpierw znaleźć wierzchołek paraboli, który ma współrzędne (h, k). Współrzędne wierzchołka paraboli w równaniach postaci standardowej oblicza się za pomocą wzorów: h = -b / 2a i k = f (h); współrzędne wierzchołka paraboli w równaniach o niestandardowej postaci można uzyskać bezpośrednio z równań.
2. 2 Aby wykreślić wykres, musisz znaleźć wartości liczbowe współczynników a, b, c (lub a, h, k). W większości problemów podaje się równania kwadratowe z wartościami liczbowymi współczynników.
   • Na przykład w standardowym równaniu f (x) = 2x + 16x + 39 a = 2, b = 16, c = 39.
   • Na przykład w niestandardowym równaniu f (x) = 4 (x - 5) + 12, a = 4, h = 5, k = 12.
3. 3 Oblicz h w standardowym równaniu (w niestandardowym jest już podane) za pomocą wzoru: h = -b / 2a.
   • W naszym standardowym przykładzie równania f (x) = 2x + 16x + 39 h = -b / 2a = -16/2 (2) = -4.
   • W naszym przykładzie niestandardowego równania f (x) = 4 (x - 5) + 12 h = 5.
4. 4 Oblicz k w standardowym równaniu (w niestandardowym jest już podane). Pamiętaj, że k = f (h), to znaczy, możesz znaleźć k, zastępując znalezioną wartość h zamiast „x” w oryginalnym równaniu.
   • Odkryłeś, że h = -4 (dla standardowego równania). Aby obliczyć k, zastąp tę wartość „x”:
     • k = 2 (-4) + 16 (-4) + 39.
     • k = 2 (16) - 64 + 39.
     • k = 32 - 64 + 39 = 7
   • W niestandardowym równaniu k = 12.
5. 5 Narysuj wierzchołek o współrzędnych (h, k) na płaszczyźnie współrzędnych. h jest kreślone wzdłuż osi X, a k jest kreślone wzdłuż osi Y. Szczyt paraboli jest albo najniższym punktem (jeśli parabola jest skierowana w górę), albo najwyższym punktem (jeśli parabola jest skierowana w dół).
   • W naszym standardowym przykładzie równania wierzchołek ma współrzędne (-4, 7). Narysuj ten punkt na płaszczyźnie współrzędnych.
   • W naszym przykładzie równania niestandardowego wierzchołek ma współrzędne (5, 12). Narysuj ten punkt na płaszczyźnie współrzędnych.
6. 6 Narysuj oś symetrii paraboli (opcjonalnie). Oś symetrii przechodzi przez wierzchołek paraboli równolegle do osi Y (czyli ściśle pionowej). Oś symetrii dzieli parabolę na pół (to znaczy parabola jest lustrzanie symetryczna względem tej osi).
   • W naszym przykładowym standardowym równaniu oś symetrii jest linią prostą równoległą do osi Y i przechodzącą przez punkt (-4, 7). Chociaż ta linia nie jest częścią samej paraboli, daje wyobrażenie o symetrii paraboli.
7. 7 Określ kierunek paraboli - w górę lub w dół. To bardzo proste.Jeśli współczynnik „a” jest dodatni, to parabola jest skierowana w górę, a jeśli współczynnik „a” jest ujemny, to parabola jest skierowana w dół.
   • W naszym przykładzie standardowego równania f (x) = 2x + 16x + 39 parabola jest skierowana w górę, ponieważ a = 2 (dodatni współczynnik).
   • W naszym przykładzie niestandardowego równania f (x) = 4 (x - 5) + 12 parabola jest również skierowana w górę, ponieważ a = 4 (dodatni współczynnik).
8. 8 Jeśli to konieczne, zlokalizuj i wykreśl punkt przecięcia osi X. Te punkty bardzo ci pomogą podczas rysowania paraboli. Mogą być dwa, jeden lub żaden (jeśli parabola jest skierowana w górę, a jej wierzchołek leży powyżej osi X, lub jeśli parabola jest skierowana w dół, a jej wierzchołek leży poniżej osi X). Aby obliczyć współrzędne punktów przecięcia z osią X, wykonaj następujące czynności:
   • Ustaw równanie na zero: f (x) = 0 i rozwiąż je. Ta metoda działa z prostymi równaniami kwadratowymi (zwłaszcza niestandardowymi), ale może być niezwykle trudna w przypadku złożonych równań. W naszym przykładzie:
     • f (x) = 4 (x - 12) - 4
     • 0 = 4 (x - 12) - 4
     • 4 = 4 (x - 12)
     • 1 = (x - 12)
     • √1 = (x - 12)
     • +/- 1 = x -12. Punkty przecięcia paraboli z osią X mają współrzędne (11,0) i (13,0).
   • Rozłóż na czynniki standardowe równanie kwadratowe: ax + bx + c = (dx + e) ​​​​(fx + g), gdzie dx × fx = ax, (dx × g + fx × e) = bx, e × g = C. Następnie ustaw każdy dwumian na 0 i znajdź wartości dla "x". Na przykład:
     • x + 2x + 1
     • = (x + 1) (x + 1)
     • W tym przypadku istnieje pojedynczy punkt przecięcia paraboli z osią x o współrzędnych (-1,0), ponieważ w x + 1 = 0 x = -1.
   • Jeśli nie możesz rozłożyć równania na czynniki, rozwiąż je za pomocą wzoru kwadratowego: x = (-b +/- √ (b - 4ac)) / 2a.
     • Na przykład: -5x + 1x + 10.
     • x = (-1 +/- √ (1 - 4 (-5) (10))) / 2 (-5)
     • x = (-1 +/- √ (1 + 200)) / - 10
     • x = (-1 +/- √ (201)) / - 10
     • x = (-1 +/- 14,18) / - 10
     • x = (13,18 / -10) i (-15,18 / -10). Punkty przecięcia paraboli z osią X mają współrzędne (-1 318,0) i (1,518,0).
     • W naszym przykładzie równania postaci standardowej 2x + 16x + 39:
     • x = (-16 +/- √ (16 - 4 (2) (39))) / 2 (2)
     • x = (-16 +/- √ (256 - 312)) / 4
     • x = (-16 +/- √ (-56) / - 10
     • Ponieważ niemożliwe jest wyciągnięcie pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej, w tym przypadku parabola nie przecina osi X.
9. 9 W razie potrzeby zlokalizuj i wykreśl punkt przecięcia osi Y. To bardzo proste - wstaw x = 0 do oryginalnego równania i znajdź wartość dla "y". Punkt przecięcia Y jest zawsze taki sam. Uwaga: w równaniach postaci standardowej punkt przecięcia ma współrzędne (0, s).
   • Na przykład parabola równania kwadratowego 2x + 16x + 39 przecina się z osią Y w punkcie o współrzędnych (0, 39), ponieważ c = 39. Ale można to obliczyć:
     • f (x) = 2x + 16x + 39
     • f (x) = 2 (0) + 16 (0) + 39
     • f (x) = 39, czyli parabola tego równania kwadratowego przecina oś Y w punkcie o współrzędnych (0, 39).
   • W naszym przykładzie niestandardowego równania 4 (x - 5) + 12, przecięcie y jest obliczane w następujący sposób:
     • f (x) = 4 (x - 5) + 12
     • f (x) = 4 (0 - 5) + 12
     • f (x) = 4 (-5) + 12
     • f (x) = 4 (25) + 12
     • f (x) = 112, czyli parabola tego równania kwadratowego przecina oś Y w punkcie o współrzędnych (0, 112).
10. 10 Znalazłeś (i wykreśliłeś) wierzchołek paraboli, jej kierunek oraz punkty przecięcia z osiami X i Y. Możesz budować parabole z tych punktów lub znaleźć i wykreślić dodatkowe punkty, a dopiero potem zbudować parabolę. Aby to zrobić, podłącz wiele wartości x (po obu stronach wierzchołka) do oryginalnego równania, aby obliczyć odpowiednie wartości y.
    • Wróćmy do równania x + 2x + 1. Wiesz już, że punktem przecięcia wykresu tego równania z osią X jest punkt o współrzędnych (-1,0). Jeśli parabola ma tylko jeden punkt przecięcia z osią X, to jest to wierzchołek paraboli leżący na osi X. W tym przypadku jeden punkt nie wystarczy do zbudowania paraboli regularnej. Znajdź więc dodatkowe punkty.
      • Powiedzmy, że x = 0, x = 1, x = -2, x = -3.
      • x = 0: f (x) = (0) + 2 (0) + 1 = 1. Współrzędne punktu: (0,1).
      • x = 1: f (x) = (1) + 2 (1) + 1 = 4. Współrzędne punktu: (1,4).
      • x = -2: f (x) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1. Współrzędne punktu: (-2,1).
      • x = -3: f (x) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4. Współrzędne punktu: (-3,4).
      • Narysuj te punkty na płaszczyźnie współrzędnych i narysuj parabolę (połącz punkty krzywą U). Należy pamiętać, że parabola jest absolutnie symetryczna - dowolny punkt na jednej gałęzi paraboli może być odzwierciedlony (względem osi symetrii) na drugiej gałęzi paraboli. Dzięki temu zaoszczędzisz czas, ponieważ nie musisz obliczać współrzędnych punktów na obu gałęziach paraboli.

Porady

• Zaokrąglaj liczby ułamkowe (jeśli jest to wymagane przez nauczyciela) - w ten sposób zbudujesz poprawną parabolę.
• Jeśli w f (x) = ax + bx + c współczynniki b lub c są równe zeru, to w równaniu nie ma wyrazów z tymi współczynnikami.Na przykład 12x + 0x + 6 staje się 12x + 6, ponieważ 0x to 0.