Zawartość

• Kroki
• Część 1 z 3: Transpozycja Matrix
• Część 2 z 3: Właściwości transpozycji
• Część 3 z 3: Hermitowska sprzężona macierz ze złożonymi elementami
• Porady

Jeśli nauczysz się transponować macierze, lepiej zrozumiesz ich strukturę. Być może już wiesz o macierzach kwadratowych i ich symetrii, które pomogą Ci opanować transpozycję. Transpozycja pomaga między innymi przekształcać wektory do postaci macierzowej i znajdować produkty wektorowe. Podczas pracy ze złożonymi macierzami macierze hermitowskie sprzężone (sprzężone z transpozycją) mogą pomóc w rozwiązaniu różnych problemów.

Kroki

Część 1 z 3: Transpozycja Matrix

1. 1 Weź dowolną macierz. Transponować można dowolną macierz, niezależnie od liczby wierszy i kolumn. Najczęściej konieczne jest transponowanie macierzy kwadratowych, które mają taką samą liczbę wierszy i kolumn, dlatego dla uproszczenia rozważmy poniższą macierz jako przykład:
   • macierz A =
     1  2  3
     4  5  6
     7  8  9
2. 2 Wyobraź sobie pierwszy wiersz macierzy bezpośredniej jako pierwszą kolumnę macierzy transponowanej. Po prostu napisz pierwszy wiersz jako kolumnę:
   • transponowana macierz = A
   • pierwsza kolumna macierzy A:
     1
     2
     3
3. 3 Zrób to samo dla pozostałych linii. Drugi wiersz macierzy oryginalnej stanie się drugą kolumną macierzy transponowanej. Przetłumacz wszystkie wiersze na kolumny:
   • A =
     1  4  7
     2  5  8
     3  6  9
4. 4 Spróbuj transponować macierz niekwadratową. W ten sam sposób można transponować dowolną macierz prostokątną. Po prostu napisz pierwszy wiersz jako pierwszą kolumnę, drugi wiersz jako drugą kolumnę i tak dalej. W poniższym przykładzie każdy wiersz oryginalnej matrycy jest oznaczony własnym kolorem, aby wyraźniej było go przekształcić podczas transpozycji:
   • macierz Z =
     4  7  2  1
     3  9  8  6
   • macierz Z =
     4  3
     7  9
     2  8
     1  6
5. 5 Wyraźmy transpozycję w postaci zapisu matematycznego. Choć idea transpozycji jest bardzo prosta, najlepiej zapisać ją jako ścisłą formułę. Notacja macierzowa nie wymaga żadnych specjalnych warunków:
   • Załóżmy, że dana macierz B składa się z m x n elementów (m wierszy i n kolumn), to transponowana macierz B jest zbiorem n x m elementy (n wierszy i m kolumn).
   • Dla każdego elementu b_xy (linia x i kolumna tak) macierzy B w macierzy B istnieje równoważny element b_yx (linia tak i kolumna x).

Część 2 z 3: Właściwości transpozycji

1. 1 (M = M. Po podwójnej transpozycji uzyskuje się oryginalną matrycę. Jest to dość oczywiste, ponieważ po ponownej transpozycji ponownie zmieniasz wiersze i kolumny, co daje oryginalną macierz.
2. 2 Odbij matrycę wokół głównej przekątnej. Macierze kwadratowe można „odwrócić” względem głównej przekątnej. Ponadto elementy wzdłuż głównej przekątnej (od a₁₁ do prawego dolnego rogu matrycy) pozostają na miejscu, a pozostałe elementy przesuwają się na drugą stronę tej przekątnej i pozostają w tej samej odległości od niej.
   • Jeśli trudno Ci sobie wyobrazić tę metodę, weź kawałek papieru i narysuj matrycę 4x4. Następnie przestaw jego elementy boczne względem głównej przekątnej. W tym samym czasie prześledź elementy a₁₄ i₄₁... Po transpozycji muszą zostać zamienione, podobnie jak inne pary elementów bocznych.
3. 3 Transponuj macierz symetryczną. Elementy takiej matrycy są symetryczne względem głównej przekątnej. Jeśli wykonasz powyższą operację i "odwrócisz" symetryczną matrycę, to się nie zmieni. Wszystkie elementy zmienią się na podobne. W rzeczywistości jest to standardowy sposób określenia, czy dana macierz jest symetryczna. Jeśli zachodzi równość A = A, to macierz A jest symetryczna.

Część 3 z 3: Hermitowska sprzężona macierz ze złożonymi elementami

1. 1 Rozważ złożoną macierz. Elementy złożonej macierzy składają się z części rzeczywistych i urojonych. Taka macierz może być również transponowana, chociaż w większości praktycznych zastosowań stosuje się macierze sprzężone transponowane lub hermitowskie sprzężone.
   • Niech będzie dana macierz C =
     2+i     3-2i
     0+i     5+0i
2. 2 Zastąp elementy złożonymi liczbami sprzężonymi. W operacji złożonej koniugacji część rzeczywista pozostaje taka sama, a część urojona zmienia swój znak na przeciwny. Zróbmy to ze wszystkimi czterema elementami macierzy.
   • znajdź macierz sprzężoną zespoloną C * =
     2-i     3+2i
     0-i     5-0i
3. 3 Transponujemy otrzymaną macierz. Weź znalezioną złożoną macierz sprzężoną i po prostu ją transponuj. W rezultacie otrzymujemy macierz sprzężoną transponowaną (hermitowsko-sprzężoną).
   • sprzężona-transponowana macierz C =
     2-i        0-i
     3+2i     5-0i

Porady

• W tym artykule macierz transponowana względem macierzy A jest oznaczona jako A. Istnieje również notacja A' lub Ã.
• W tym artykule macierz sprzężona hermitowska w odniesieniu do macierzy A jest oznaczona jako A, co jest powszechnym zapisem w algebrze liniowej. W mechanice kwantowej notacja A jest często używana.Czasami macierz sprzężona hermitowska jest zapisywana w postaci A *, ale lepiej jest unikać tej notacji, ponieważ służy ona również do pisania złożonej macierzy sprzężonej.