Zawartość

• Kroki
• Część 1 z 3: Wyodrębnianie pierwiastka sześciennego na prostym przykładzie
• Część 2 z 3: Szacowanie pierwiastka sześciennego
• Część 3 z 3: Wyjaśnienie opisanego procesu obliczeniowego
• Porady
• Ostrzeżenia
• Czego potrzebujesz

Jeśli masz pod ręką kalkulator, możesz łatwo wyodrębnić pierwiastek sześcienny dowolnej liczby. Ale jeśli nie masz kalkulatora lub po prostu chcesz zaimponować innym, ręcznie wyodrębnij pierwiastek sześcienny. Dla większości ludzi opisany tutaj proces będzie wydawał się dość skomplikowany, ale z praktyką znacznie łatwiej będzie wyodrębnić korzenie sześcianu. Zanim zaczniesz czytać ten artykuł, pamiętaj o podstawowych działaniach matematycznych i obliczeniach na liczbach w kostce.

Kroki

Część 1 z 3: Wyodrębnianie pierwiastka sześciennego na prostym przykładzie

1. 1 Zapisz zadanie. Ręczna ekstrakcja korzenia sześcianu jest podobna do długiego dzielenia, ale z pewnymi niuansami. Najpierw zapisz zadanie w określonej formie.
   • Zapisz liczbę, z której chcesz wyodrębnić pierwiastek kostki. Podziel liczbę na grupy składające się z trzech cyfr i zacznij liczyć od kropki dziesiętnej. Na przykład musisz wyodrębnić pierwiastek sześcienny z 10. Zapisz liczbę w ten sposób: 10 000 000. Dodatkowe zera służą do poprawy dokładności wyniku.
   • Narysuj znak korzenia obok i nad liczbą. Wyobraź sobie, że są to linie poziome i pionowe, które rysujesz w długim dzieleniu. Jedyną różnicą jest kształt dwóch postaci.
   • Umieść kropkę dziesiętną nad linią poziomą. Zrób to bezpośrednio nad przecinkiem dziesiętnym oryginalnej liczby.
2. 2 Zapamiętaj wyniki kostek liczb całkowitych. Zostaną wykorzystane w obliczeniach.
   • ${ styl wyświetlania 1 ^ {3} = 1 * 1 * 1 = 1}$
   • ${ styl wyświetlania 2 ^ {3} = 2 * 2 * 2 = 8}$
   • ${ styl wyświetlania 3 ^ {3} = 3 * 3 * 3 = 27}$
   • ${ displaystyle 4 ^ {3} = 4 * 4 * 4 = 64}$
   • ${ Displaystyle 5 ^ {3} = 5 * 5 * 5 = 125}$
   • ${ styl wyświetlania 6 ^ {3} = 6 * 6 * 6 = 216}$
   • ${ styl wyświetlania 7 ^ {3} = 7 * 7 * 7 = 343}$
   • ${ styl wyświetlania 8 ^ {3} = 8 * 8 * 8 = 512}$
   • ${ Displaystyle 9 ^ {3} = 9 * 9 * 9 = 729}$
   • ${ styl wyświetlania 10 ^ {3} = 10 * 10 * 10 = 1000}$
3. 3 Znajdź pierwszą cyfrę odpowiedzi. Wybierz sześcian liczb całkowitych, który jest najbliższy, ale mniejszy niż pierwsza grupa trzech cyfr.
   • W naszym przykładzie pierwsza grupa trzech cyfr to 10. Znajdź największą sześcian, która jest mniejsza niż 10. Ta sześcian to 8, a pierwiastek sześcienny z 8 to 2.
   • Nad poziomą linią nad liczbą 10 wpisz liczbę 2. Następnie zapisz wartość operacji ${ styl wyświetlania 2 ^ {3}}$ = 8 do 10. Narysuj linię i odejmij 8 od 10 (jak przy długim dzieleniu). Wynik to 2 (jest to pierwsza reszta).
   • W ten sposób znalazłeś pierwszą liczbę odpowiedzi. Zastanów się, czy podany wynik jest wystarczająco dokładny. W większości przypadków będzie to bardzo gruba odpowiedź. Pokrój wynik, aby dowiedzieć się, jak blisko jest oryginalnej liczby. W naszym przykładzie: ${ styl wyświetlania 2 ^ {3}}$ = 8, co nie jest bardzo bliskie 10, więc obliczenia muszą być kontynuowane.
4. 4 Znajdź następną cyfrę odpowiedzi. Dodaj drugą grupę trzech liczb do pierwszej reszty i narysuj pionową linię po lewej stronie wynikowej liczby. Korzystając z otrzymanej liczby, znajdziesz drugą cyfrę odpowiedzi. W naszym przykładzie druga grupa trzech cyfr (000) musi zostać dodana do pierwszej reszty (2), aby uzyskać liczbę 2000.
   • Na lewo od pionowej linii piszesz trzy liczby, których suma jest równa pewnemu pierwszemu czynnikowi. Zostaw puste miejsca na te liczby i umieść między nimi znaki plus.
5. 5 Znajdź pierwszy termin (z trzech). W pierwszym pustym miejscu zapisz wynik pomnożenia 300 przez kwadrat pierwszej cyfry odpowiedzi (jest zapisany nad znakiem pierwiastka). W naszym przykładzie pierwsza cyfra odpowiedzi to 2, więc 300 * (2 ^ 2) = 300 * 4 = 1200. Wpisz 1200 w pierwszym pustym miejscu. Pierwszy termin to 1200 (plus dwie dodatkowe liczby do znalezienia).
6. 6 Znajdź drugą cyfrę odpowiedzi. Dowiedz się, jaką liczbę musisz pomnożyć 1200, aby wynik był bliski, ale nie przekraczał 2000. Ta liczba może wynosić tylko 1, ponieważ 2 * 1200 = 2400, czyli więcej niż 2000. Wpisz 1 (druga cyfra odpowiedź) po 2 i przecinku dziesiętnym nad znakiem korzenia.
7. 7 Znajdź drugi i trzeci wyraz (z trzech). Współczynnik składa się z trzech liczb (terminów), z których pierwszą już znalazłeś (1200). Teraz musimy znaleźć pozostałe dwa terminy.
   • Pomnóż 3 przez 10 i przez każdą cyfrę odpowiedzi (są napisane nad znakiem głównym). W naszym przykładzie: 3 * 10 * 2 * 1 = 60. Dodaj ten wynik do 1200 i uzyskaj 1260.
   • Na koniec kwadrat ostatniej cyfry odpowiedzi. W naszym przykładzie ostatnią cyfrą odpowiedzi jest 1, więc 1 ^ 2 = 1. Czyli pierwszy czynnik to suma następujących liczb: 1200 + 60 + 1 = 1261. Zapisz tę liczbę po lewej stronie pionowej kreski .
8. 8 Mnożenie i odejmowanie. Pomnóż ostatnią cyfrę odpowiedzi (w naszym przykładzie jest to 1) przez znaleziony czynnik (1261): 1 * 1261 = 1261. Wpisz tę liczbę pod 2000 i odejmij ją od 2000. Otrzymasz 739 (to jest drugie reszta).
9. 9 Zastanów się, czy otrzymana odpowiedź jest wystarczająco dokładna. Zrób to za każdym razem, gdy wykonasz następne odejmowanie. Po pierwszym odjęciu odpowiedź wynosiła 2, co nie jest dokładnym wynikiem. Po drugim odjęciu odpowiedź brzmi 2,1.
   • Aby sprawdzić dokładność odpowiedzi, policz: 2,1 * 2,1 * 2,1 = 9,261.
   • Jeśli uważasz, że odpowiedź jest wystarczająco dokładna, nie musisz kontynuować obliczeń; w przeciwnym razie wykonaj kolejne odejmowanie.
10. 10 Znajdź drugi czynnik. Aby przećwiczyć obliczenia i uzyskać dokładniejszy wynik, powtórz powyższe kroki.
    • Dodaj trzecią grupę trzech cyfr (000) do drugiej reszty (739). Otrzymasz numer 739000.
    • Pomnóż 300 przez kwadrat liczby zapisanej nad znakiem pierwiastka (21): ${ displaystyle 300 * 21 ^ {2}}$ = 132300.
    • Znajdź trzecią cyfrę odpowiedzi. Dowiedz się, jaką liczbę musisz pomnożyć 132300, aby wynik był bliski, ale nie przekraczał 739000. Ta liczba to 5: 5 * 132200 = 661500. Wpisz 5 (trzecia cyfra odpowiedzi) po 1 nad znakiem głównym.
    • Pomnóż 3 przez 10 przez 21 i przez ostatnią cyfrę odpowiedzi (są one napisane nad znakiem głównym). W naszym przykładzie: ${ styl wyświetlania 3 * 21 * 5 * 10 = 3150}$.
    • Na koniec kwadrat ostatniej cyfry odpowiedzi. W naszym przykładzie ostatnią cyfrą odpowiedzi jest 5, więc ${ styl wyświetlania 5 ^ {2} = 25.}$
    • Zatem drugi czynnik to: 132300 + 3150 + 25 = 135 475.
11. 11 Pomnóż ostatnią cyfrę odpowiedzi przez drugi czynnik. Po znalezieniu drugiego czynnika i trzeciej cyfry odpowiedzi wykonaj następujące czynności:
    • Pomnóż ostatnią cyfrę odpowiedzi przez znaleziony czynnik: 135475 * 5 = 677375.
    • Odejmij: 739000 - 677375 = 61625.
    • Zastanów się, czy otrzymana odpowiedź jest wystarczająco dokładna. Aby to zrobić, połóż go w kostkę: ${ styl wyświetlania 2,15 * 2,15 * 2,15 = 9,94}$.
12. 12 Zapisz swoją odpowiedź. Wynik zapisany nad znakiem pierwiastka to odpowiedź z dwoma miejscami po przecinku. W naszym przykładzie pierwiastek sześcienny 10 to 2,15. Sprawdź swoją odpowiedź, dzieląc ją na kostki: 2,15 ^ 3 = 9,94, czyli w przybliżeniu 10. Jeśli potrzebujesz większej precyzji, kontynuuj obliczenia (jak opisano powyżej).

Część 2 z 3: Szacowanie pierwiastka sześciennego

1. 1 Użyj kostek liczb, aby określić górną i dolną granicę. Jeśli chcesz wydobyć pierwiastek sześcienny z prawie dowolnej liczby, znajdź kostki (niektóre liczby) bliskie podanej liczbie.
   • Na przykład musisz wyodrębnić pierwiastek sześcienny 600. Ponieważ ${ styl wyświetlania 8 ^ {3} = 512}$ oraz ${ styl wyświetlania 9 ^ {3} = 729}$, to pierwiastek sześcienny z 600 wynosi od 8 do 9. Dlatego użyj 512 i 729 jako górnej i dolnej granicy odpowiedzi.
2. 2 Oszacuj drugą liczbę. Znalazłeś pierwszą liczbę dzięki swojej znajomości sześcianów liczb całkowitych. Teraz przekonwertuj liczbę całkowitą na ułamek dziesiętny, przypisując jej (po przecinku) cyfrę od 0 do 9. Musisz znaleźć ułamek dziesiętny, którego sześcian będzie zbliżony, ale mniejszy niż oryginalna liczba.
   • W naszym przykładzie liczba 600 wynosi od 512 do 729. Na przykład do pierwszej znalezionej liczby (8) dodaj liczbę 5. Otrzymasz liczbę 8,5.
3. 3 Oszacuj wynikową liczbę, budując ją w sześcian. Zrób to, aby sprawdzić, czy kostka jest blisko, ale nie większa niż oryginalna liczba.
   • W naszym przykładzie: ${ styl wyświetlania 8,5 * 8,5 * 8,5 = 614.1.}$
4. 4 W razie potrzeby oceń inną liczbę. Porównaj sześcian wynikowej liczby z oryginalną liczbą. Jeśli sześcian wynikowej liczby jest większy niż oryginalna liczba, spróbuj oszacować mniejszą liczbę. Jeśli sześcian wynikowej liczby jest znacznie mniejszy niż pierwotna liczba, oceniaj duże liczby, aż sześcian jednej z nich przekroczy pierwotną liczbę.
   • W naszym przykładzie: ${ styl wyświetlania 8,5 ^ {3}}$ > 600. Zatem oszacuj mniejszą liczbę 8.4. Ułóż ten numer w kostkę i porównaj go z oryginalną liczbą: ${ styl wyświetlania 8,4 * 8,4 * 8,4 = 592,7}$... Ten wynik jest mniejszy niż oryginalna liczba. Zatem pierwiastek sześcienny 600 wynosi od 8,4 do 8,5.
5. 5 Oceń następną liczbę, aby poprawić dokładność odpowiedzi. Do każdej liczby, którą oceniłeś jako ostatnią, dodaj liczbę od 0 do 9, aż uzyskasz dokładną odpowiedź. W każdej rundzie oceny musisz znaleźć górną i dolną granicę, pomiędzy którymi znajduje się pierwotna liczba.
   • W naszym przykładzie: ${ styl wyświetlania 8,4 ^ {3} = 592,7}$ oraz ${ styl wyświetlania 8,5 ^ {3} = 614.1}$... Oryginalna liczba 600 jest bliższa 592 niż 614. Dlatego do ostatniej oszacowanej liczby dodaj cyfrę, która jest bliższa 0 niż 9. Na przykład ta liczba to 4. Dlatego kubuś liczbę 8,44.
6. 6 W razie potrzeby oceń inną liczbę. Porównaj sześcian wynikowej liczby z oryginalną liczbą. Jeśli sześcian wynikowej liczby jest większy niż oryginalna liczba, spróbuj oszacować mniejszą liczbę. Krótko mówiąc, musisz znaleźć dwie liczby, których kostki są nieco większe i nieco mniejsze niż oryginalna liczba.
   • W naszym przykładzie ${ Displaystyle 8,44 * 8,44 * 8,44 = 601,2}$... Jest to nieco większa liczba niż oryginalna, więc oceń inną (mniejszą) liczbę, na przykład 8.43: ${ Displaystyle 8.43 * 8.43 * 8.43 = 599,07}$... Tak więc pierwiastek sześcienny 600 wynosi od 8,43 do 8,44.
7. 7 Postępuj zgodnie z tym procesem, aż otrzymasz satysfakcjonującą Cię odpowiedź. Oceń następną liczbę, porównaj ją z oryginałem, a następnie w razie potrzeby oceń inną liczbę i tak dalej. Zauważ, że każda dodatkowa cyfra po przecinku zwiększa dokładność Twojej odpowiedzi.
   • W naszym przykładzie sześcian o liczbie 8,43 jest mniejszy od oryginalnej liczby o mniej niż 1. Jeśli potrzebujesz większej precyzji, sześcian z liczbą 8,434 i uzyskaj to ${ styl wyświetlania 8434 ^ {3} = 599,93}$, to znaczy, że wynik jest mniejszy niż 0,1 mniej niż oryginalna liczba.

Część 3 z 3: Wyjaśnienie opisanego procesu obliczeniowego

1. 1 Zapamiętaj serię dwumianową. Szereg dwumianowy jest wynikiem podniesienia dwumianu (dwumianu) do określonej potęgi, w tym przypadku do sześcianu. Aby zrozumieć opisany tutaj algorytm wyodrębniania pierwiastka sześciennego, najpierw pamiętaj, jak dwumian jest sześcianem. Są szanse, że nauczyłeś się tego w szkole (i prawdopodobnie wkrótce zapomniałeś, jak większość ludzi). Zmienne ${ styl wyświetlania A}$ oraz ${ styl wyświetlania B}$ zaznacz kilka pojedynczych cyfr. Następnie dwucyfrową liczbę można zapisać jako dwumian ${ styl wyświetlania (10A + B)}$.
   • Tutaj członek ${ styl wyświetlacza 10A}$ reprezentuje miejsce dziesiątek, czyli jeśli ${ styl wyświetlania A}$ Czy to dowolna liczba jednocyfrowa ${ styl wyświetlacza 10A}$ - to już odpowiedni dwucyfrowy numer. Na przykład, jeśli ${ styl wyświetlania A}$ = 2 i ${ styl wyświetlania B}$ = 6, to ${ styl wyświetlania (10A + B)}$ = 26, czyli masz dwucyfrową liczbę 26.
2. 2 Sześcian dwumianowy. Zrób to, aby zrozumieć proces wyodrębniania katalogu głównego kostki opisany w pierwszej sekcji. Oblicz ${ styl wyświetlania (10A + B) ^ {3}}$ = ${ styl wyświetlania (10A + B) * (10A + B) * (10A + B)}$ = ${ displaystyle 1000A ^ {3} + 300A ^ {2} B + 30AB ^ {2} + B ^ {3}}$ (tutaj pominęliśmy kilka etapów budowy sześcianu, aby nie zaśmiecać artykułu obliczeniami).
   • Szczegółowe wyjaśnienie można znaleźć tutaj.
3. 3 Zrozum algorytm długiego dzielenia. Zauważ, że opisana tutaj metoda pierwiastka sześciennego jest bardzo podobna do długiego dzielenia. Dzieląc w kolumnie, musisz znaleźć liczbę (iloraz), po pomnożeniu przez dzielnik otrzymujesz dywidendę. W opisywanej metodzie jako iloraz stosuje się wynik wyodrębnienia pierwiastka sześcianu (jest zapisany nad znakiem pierwiastka). Oznacza to, że wynik wyodrębnienia pierwiastka sześciennego można przedstawić jako dwumian (10A + B). Dokładne wartości A i B nie są na tym etapie ważne: pamiętaj tylko, że wynik można zapisać jako dwumian.
4. 4 Spójrz na zakres dwumianowy. Jest to suma czterech jednomianów, dzięki której można zrozumieć zasadę działania algorytmu wyodrębniania pierwiastka sześciennego. Należy pamiętać, że mnożnik dla każdego kroku wyodrębniania pierwiastka jest równy sumie czterech warunków, które należy obliczyć i dodać.
   • Współczynnik dla pierwszego terminu wynosi 1000. Aby obliczyć pierwszą cyfrę odpowiedzi, najpierw znajdź sześcian liczby całkowitej, która jest najbliższa, ale mniejsza niż pewna liczba (czyli pierwsza grupa trzech cyfr). Definiuje to człon 1000A^3 szeregu dwumianowego.
   • Mnożnikiem drugiego członu ciągu dwumianowego jest liczba 300 (${ styl wyświetlania 3 * 10 ^ {2}}$ = 300). Przypomnijmy, że na każdym etapie wyodrębniania pierwiastka sześcianu odpowiednia cyfra (cyfry) odpowiedzi została pomnożona przez 300.
   • Drugi wyraz na każdym etapie ekstrakcji korzenia jest określony przez trzeci wyraz szeregu dwumianowego, który jest równy 30AB^2.
   • Trzeci wyraz na każdym etapie ekstrakcji korzeni jest określony przez czwarty wyraz szeregu dwumianowego, który jest równy B^3.
5. 5 Zwróć uwagę na wzrost dokładności odpowiedzi. Im więcej etapów ekstrakcji korzenia przejdziesz, tym dokładniejsza będzie odpowiedź. Na przykład w tym artykule musiałeś wyodrębnić pierwiastek sześcienny z 10. Na pierwszym etapie odpowiedź to 2, ponieważ ${ styl wyświetlania 2 ^ {3}}$ = 8, czyli blisko, ale mniej niż 10. Na drugim etapie odpowiedź to 2,1, ponieważ ${ styl wyświetlania 2,1 ^ {3} = 9,261}$, co jest znacznie bliższe 10. Na trzecim etapie odpowiedź to 2,15, ponieważ ${ styl wyświetlania 2,15 ^ {3} = 9,94}$... Możesz kontynuować obliczenia, używając grup składających się z trzech cyfr, aby poprawić dokładność odpowiedzi.

Porady

• Ćwicz, aby opanować opisane metody. Im więcej ćwiczysz, tym szybciej przejdziesz przez obliczenia.

Ostrzeżenia

• Bardzo łatwo o pomyłkę w procesie obliczeniowym. Więc koniecznie sprawdź odpowiedź.

Czego potrzebujesz

• Długopis lub ołówek
• Papier
• Linijka
• gumka do mazania