Zawartość

• Do kroku
• Część 1 z 3: Podstawy analizy
• Część 2 z 3: Zrozumienie instrumentów pochodnych
• Część 3 z 3: Zrozum całki
• Porady

Analiza (zwana także rachunkiem różniczkowym) to gałąź matematyki skupiona na granicach, funkcjach, pochodnych, całkach i nieskończonych szeregach. Przedmiot ten obejmuje wiele matematyki i leży u podstaw wielu wzorów i równań stosowanych w fizyce i mechanice. Prawdopodobnie będziesz musiał mieć kilka lat matematyki w liceum, aby właściwie zrozumieć analizę, ale ten artykuł pomoże Ci nauczyć się rozpoznawać kluczowe pojęcia, a także lepiej zrozumieć teorię.

Do kroku

Część 1 z 3: Podstawy analizy

1. Analiza to nauka o tym, jak rzeczy się zmieniają. Analiza to dziedzina matematyki, która bada liczby i wykresy, zwykle zaczerpnięte z rzeczywistych danych, i wyjaśnia, jak się zmieniają. Chociaż na początku może się to wydawać mało przydatne, analiza jest jedną z najczęściej używanych gałęzi matematyki. Wyobraź sobie, że masz narzędzia, które powiedzą Ci, jak szybko Twoja firma rozwija się w danym momencie lub jak wyznaczyć kurs statku kosmicznego i jak szybko zużywa się jego paliwo. Analiza jest ważnym narzędziem w inżynierii, ekonomii, statystyce, chemii i fizyce i przyczyniła się do wielu wynalazków i odkryć.
2. Funkcje są relacjami między dwiema liczbami i są używane do mapowania relacji. Są to zasady dotyczące relacji między liczbami, a matematycy używają ich do tworzenia wykresów. W funkcji każde wejście ma dokładnie jeden wynik. Na przykład: w ${ Displaystyle y = 2x + 4,}$Pomyśl o koncepcji nieskończoności. Nieskończoność to ciągłe powtarzanie procesu. Nie jest to konkretne miejsce (nie można iść do nieskończoności), ale raczej zachowanie liczby lub równania, jeśli jest wykonywane na zawsze. Jest to ważne przy studiowaniu zmian: możesz chcieć wiedzieć, jak szybko porusza się Twój samochód w danym momencie, ale czy tak szybko porusza się Twój samochód w bieżącej sekundzie? Milisekunda? Nanosekunda? Możesz znaleźć nieskończenie mniejsze fragmenty czasu, aby być jeszcze bardziej precyzyjnym, i wtedy pojawia się analiza.
3. Zrozum pojęcie granic. Granica mówi ci, co się dzieje, gdy coś zbliża się do nieskończoności. Weź liczbę 1 i podziel ją przez 2. Ciągle dziel przez 2. 1 staje się 1/2, a następnie 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 itd. Za każdym razem, gdy liczba staje się coraz mniejsza, „bliżej” zera. Ale gdzie to się kończy? Ile razy trzeba podzielić 1 przez 2, żeby otrzymać zero? Zamiast odpowiadać na to pytanie, w analizie stawiasz jedno limit W tym przypadku limit wynosi.
   • Granice są najłatwiejsze do wizualizacji na wykresie - na przykład, czy są punkty, których wykres prawie dotyka, ale nigdy do końca?
   • Granice mogą być liczbowe, nieskończone lub nawet nieistniejące. Na przykład, z sekwencją dodawania 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... i trwa to w nieskończoność, ostateczna liczba staje się nieskończenie duża. Granica staje się wtedy nieskończona.
4. Zapoznaj się z podstawowymi pojęciami matematycznymi algebry, trygonometrii i podstaw matematyki. Analiza opiera się w dużej mierze na matematyce, której nauczyłeś się wcześniej. Znajomość wszystkich tematów znacznie ułatwia naukę i zrozumienie analizy. Oto kilka tematów, które warto odświeżyć:
   • Algebra. Musisz zrozumieć różne procesy i umieć rozwiązywać równania i układy równań z wieloma zmiennymi. Zapoznaj się z podstawami kolekcji. Poćwicz tworzenie wykresów.
   • Geometria. Geometria to nauka o kształtach. Powinieneś mieć podstawową wiedzę na temat trójkątów, prostokątów i okręgów oraz jak obliczać takie rzeczy, jak obwód i pole. Zrozum kąty, linie i współrzędne
   • Trygonometria. Trygonometria to dział matematyki zajmujący się właściwościami okręgów i trójkątów prostokątnych. Umiejętność korzystania z tożsamości trygonometrycznych, wykresów, funkcji i odwrotnych funkcji trygonometrycznych.
5. Kup kalkulator graficzny. Analiza nie jest łatwa do zrozumienia bez zobaczenia, co robisz. Kalkulatory graficzne przedstawiają funkcje w sposób wizualny, dzięki czemu można lepiej zrozumieć, z jakimi równaniami mamy do czynienia. Często limity są również wyświetlane na ekranie, a pochodne i funkcje są obliczane automatycznie.
   • Wiele smartfonów i tabletów oferuje obecnie niedrogie, ale skuteczne aplikacje do tworzenia wykresów, jeśli nie chcesz lub nie możesz kupić kalkulatora graficznego.

Część 2 z 3: Zrozumienie instrumentów pochodnych

1. Analiza służy do badania „zmiany w określonym momencie”. Wiedza o tym, dlaczego coś się zmienia w konkretnym momencie, jest podstawą analizy. Na przykład analiza daje nie tylko prędkość samochodu, ale także to, jak bardzo ta prędkość zmienia się w danym momencie. Jest to jedno z najprostszych zastosowań analizy, ale bardzo ważne. Wyobraź sobie, jak ważne są takie informacje przy określaniu prędkości potrzebnej do dotarcia statku kosmicznego na Księżyc!
   • Określenie zmiany w określonym momencie ma Rozróżniać. Różnicowanie jest pierwszą z dwóch głównych gałęzi analizy.
2. Użyj pochodnych, aby zrozumieć, jak rzeczy się zmieniają w danym czasie. „Pochodna” to miłe słowo na określenie czegoś, co często denerwuje uczniów. Jednak sama koncepcja nie jest trudna do zrozumienia - oznacza po prostu „jak szybko coś się zmienia”. Pochodne, z którymi najczęściej spotykasz się w życiu codziennym, mają związek z szybkością. Jednak zwykle nie nazywasz tego „pochodną prędkości”, ale po prostu „przyspieszeniem”.
   • Przyspieszenie jest pochodną - mówi ci, jak szybko coś przyspiesza lub zwalnia lub jak zmienia się jego prędkość.
3. Wiedz, że tempo zmian jest równe nachyleniu między dwoma punktami. To jedno z najważniejszych odkryć analizy. Szybkość zmian między dwoma punktami jest równa nachyleniu linii między tymi dwoma punktami. Wystarczy pomyśleć o prostej linii, takiej jak ta z równania ${ Displaystyle y = 3x.}$Wiedz, że możesz określić nachylenie zakrzywionych linii. Określenie nachylenia prostej jest stosunkowo łatwe: ile się zmienia ${ displaystyle y}$Jeśli chcesz dokładniej obliczyć zmianę, upewnij się, że punkty są bliżej siebie. Im bliżej wybierzesz te dwa punkty, tym dokładniejsza będzie Twoja odpowiedź. Załóżmy, że chcesz wiedzieć, jak bardzo samochód przyspiesza, gdy naciskasz pedał przyspieszenia. Nie chcesz mierzyć zmiany prędkości między Twoim domem a supermarketem, ale zmianę prędkości od momentu naciśnięcia pedału przyspieszenia. Im bliżej do tego ułamka sekundy przybliża się odczyt, tym dokładniejsze jest obliczenie zmiany.
   • Na przykład naukowcy badają, jak szybko wymierają niektóre gatunki, aby je uratować. Jednak zimą umiera więcej zwierząt niż latem, dlatego nie warto badać tempa zmian w ciągu roku - lepiej określić tempo zmian w mniejszym okresie, np. Od 1 lipca do 1 sierpnia.
4. Użyj nieskończenie krótkich linii, aby określić „chwilową szybkość zmian” lub znajdź pochodną. W tym miejscu analiza często jest nieco zagmatwana, ale w rzeczywistości jest to wynikiem dwóch prostych faktów. Przede wszystkim wiesz, że nachylenie prostej jest równe szybkości, z jaką ta linia się zmienia. Po drugie, wiesz, że im bliżej siebie znajdują się punkty linii, tym dokładniejszy będzie odczyt. Ale jak znaleźć tempo zmian w danym punkcie, jeśli nachylenie jest relacją między dwoma punktami? Odpowiedź: Wybierasz dwa punkty, które są nieskończenie blisko siebie.
   • Rozważ przykład, w którym dzielisz 1 przez 2, uzyskując w ten sposób 1/2, 1/4, 1/8 itd. Więc w końcu zbliżasz się do zera, a odpowiedź brzmi „prawie zero”. Punkty są tak blisko siebie, że są „prawie równe sobie”. Taka jest natura instrumentów pochodnych.
5. Dowiedz się, jak określić różne pochodne. Istnieje mnóstwo różnych technik znajdowania pochodnej w zależności od równania, ale większość z nich ma sens, jeśli nauczyłeś się podstaw pochodnych powyżej. Wszystkie pochodne są sposobem na wyznaczenie nachylenia „nieskończenie małej” prostej. Teraz, gdy wiesz więcej na temat teorii pochodnych, znaczna część pracy polega na znalezieniu odpowiedzi.
6. Znajdź wyprowadzone równania, aby przewidzieć tempo zmian w dowolnym momencie. Przydatne jest używanie pochodnych do określania tempa zmian w dowolnym momencie, ale piękno analizy polega na tym, że można utworzyć nowy model dla dowolnej funkcji. Pochodna ${ Displaystyle y = x ^ {2},}$Jeśli trudno ci to zrozumieć, spróbuj przypomnieć sobie przykłady instrumentów pochodnych z życia. Najprostszy przykład jest oparty na szybkości, która obejmuje wiele różnych pochodnych, z którymi spotykamy się na co dzień. Nie zapomnij: pochodna jest miarą tego, jak szybko coś się zmienia. Pomyśl o prostym eksperymencie. Rzucasz kulkę na stół i za każdym razem mierzysz, jak daleko się porusza i jak szybko. Teraz wyobraź sobie, że tocząca się kulka podąża za linią na wykresie - używasz pochodnych do pomiaru chwilowych zmian w dowolnym momencie na tej linii.
   • Jak szybko porusza się kulka? Z jaką prędkością zmienia się pozycja (lub pochodna) poruszającej się kulki? Nazywamy tę pochodną „prędkością”.
   • Tocz kulkę po zboczu i obserwuj, jak zmienia się prędkość. Jaka jest szybkość zmian lub pochodna prędkości kulki? Ta pochodna jest tym, co nazywamy „przyspieszeniem”.
   • Przetaczaj marmur po falistym torze, takim jak kolejka górska. W jakim stopniu kulka nabiera prędkości, gdy się toczy, a do jakiego stopnia kulka zwalnia pod górę? Jak szybko posuwa się marmur, kiedy znajduje się w połowie pierwszego wzniesienia? Jest to chwilowe tempo zmian lub pochodna tej kulki w tym konkretnym punkcie.

Część 3 z 3: Zrozum całki

1. Wiedz, że możesz użyć analizy, aby znaleźć złożone obszary i objętości. Dzięki analizie możesz mierzyć złożone kształty, które w innym przypadku są trudne do zmierzenia. Weźmy na przykład problem polegający na tym, że chcesz wiedzieć, ile wody zawiera długie jezioro o nieregularnym kształcie - nie da się zmierzyć każdego litra wody osobno ani użyć linijki do zmierzenia kształtu jeziora. Dzięki analizie możesz zbadać, jak zmieniają się brzegi jeziora, a następnie wykorzystać te informacje, aby dowiedzieć się, ile zawiera wody.
   • Wykonywanie modeli geometrycznych i badanie objętości zintegrować. Rachunek całkowy to druga ważna gałąź analizy.
2. Wiedz, że integracja to obszar poniżej wykresu. Całkowanie służy do pomiaru przestrzeni poniżej linii, co pozwala określić obszar o dziwnych lub nieregularnych kształtach. Weźmy równanie ${ Displaystyle y = 4-x ^ {2},}$Wiedz, że musisz wybrać obszar do integracji. Nie można po prostu zintegrować całej funkcji. Na przykład, ${ displaystyle y = x}$Pomyśl, jak obliczyć pole prostokąta. Załóżmy, że nad wykresem znajduje się płaska linia, na przykład ${ Displaystyle y = 4.}$Wiedz, że w rachunku całkowym wiele małych prostokątów jest dodawanych do siebie, aby znaleźć pole powierzchni. Kiedy ogromnie powiększysz krzywą, wydaje się, że jest to linia prosta. Widzisz to każdego dnia - nie możesz dostrzec krzywizny ziemi, ponieważ jesteś tak blisko powierzchni ziemi. Całkowanie tworzy nieskończoną liczbę małych prostokątów pod krzywą, które są tak małe, że są w zasadzie płaskie, co pozwala je policzyć. Wszystkie te prostokąty zsumowane tworzą pole powierzchni pod krzywą.
   • Załóżmy, że pod wykresem dodajesz wiele małych segmentów i to jest szerokość każdego segmentu prawie wynosi zero.
3. Umieć poprawnie odczytywać i zapisywać całki. Całki składają się z 4 części. Typowa całka wygląda następująco:
   
   ${ Displaystyle int f (x) mathrm {d} x}$ Dowiedz się więcej o znajdowaniu całek. Integracja ma wiele form i musisz nauczyć się wielu różnych formuł, aby zintegrować każdą funkcję. Jednak wszystkie one kierują się zasadami przedstawionymi powyżej: integracja jest sumą nieskończonej liczby rzeczy.
   • Integracja przez podstawienie.
   • Oblicz całki nieoznaczone.
   • Integracja przez udostępnianie.
4. Wiedz, że integracja jest odwrotnością różnicowania i na odwrót. Jest to praktyczna zasada analizy, która jest tak ważna, że ​​nadano jej własną nazwę: główne twierdzenie obliczania całkowego.Ponieważ integracja i różnicowanie są tak ściśle powiązane, połączenie tych dwóch może być wykorzystane do określenia tempa zmian, przyspieszenia, prędkości, lokalizacji, ruchu itp., Niezależnie od posiadanych informacji.
   • Na przykład pamiętaj, że pochodną prędkości jest przyspieszenie, więc możesz użyć prędkości, aby znaleźć przyspieszenie. Ale jeśli znasz tylko przyspieszenie czegoś (na przykład obiektów spadających pod wpływem grawitacji), możesz zintegrować, aby odzyskać prędkość!
5. Wiedz, że dzięki integracji możesz także kontrolować głośność obiektów 3D. Obracanie płaskiego kształtu to jeden ze sposobów tworzenia brył 3D. Wyobraź sobie monetę obracającą się na stole - zwróć uwagę, jak moneta wydaje się przybierać kształt kuli podczas obracania się. Ta koncepcja umożliwia określenie objętości zgodnie z procesem znanym jako „objętość przez rotację”.
   • Pozwala to określić objętość dowolnej bryły, o ile masz funkcję, która ją reprezentuje. Na przykład możesz utworzyć funkcję, która śledzi dno jeziora, a następnie użyć jej do określenia objętości jeziora lub ilości zawartej w nim wody.

Porady

• Praktyka czyni mistrza, więc wykonuj ćwiczenia praktyczne w swoim podręczniku - nawet te, których nauczyciel nie dał - i sprawdzaj odpowiedzi, aby lepiej zrozumieć pojęcia.
• Jeśli nie możesz znaleźć rozwiązania, zapytaj swojego nauczyciela.