Zawartość

• Do kroku
• Metoda 1 z 2: długość boków trójkąta prostokątnego
• Metoda 2 z 2: Oblicz odległość między dwoma punktami na płaszczyźnie
• Porady

Twierdzenie Pitagorasa opisuje długość boków trójkąta prostokątnego w sposób tak elegancki i praktyczny, że jest nadal szeroko stosowany. Oznacza to, że dla dowolnego trójkąta prostokątnego suma kwadratów prostych boków jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej. Innymi słowy, dla trójkąta prostokątnego (trójkąta o bokach prostopadłych do siebie), o bokach o długości a i b oraz przeciwprostokątnej o długości c: a + b = c. Twierdzenie Pitagorasa jest jednym z filarów geometrii i ma wiele praktycznych zastosowań - używając tego twierdzenia, na przykład, bardzo łatwo jest znaleźć odległość między dwoma punktami na płaskiej płaszczyźnie.

Do kroku

Metoda 1 z 2: długość boków trójkąta prostokątnego

1. Sprawdź, czy masz do czynienia z trójkątem prostokątnym. Twierdzenie Pitagorasa może być używane tylko z trójkątami prostokątnymi, dlatego przed kontynuowaniem należy sprawdzić, czy trójkąt spełnia definicję trójkąta prostokątnego. Na szczęście decydujący jest tylko jeden czynnik - jeden z kątów trójkąta musi być kątem 90 stopni.
   • Wskazówka: kąty proste są często oznaczane małym kwadratowym nawiasem, aby wskazać, że jest to kąt 90 stopni. Sprawdź, czy w jednym z rogów Twojego trójkąta jest taki nawias.
2. Przypisz zmienne a, b i c do boków swojego trójkąta. W twierdzeniu Pitagorasa zmienne a i b odnoszą się do prawych boków trójkąta, a zmienna c do przeciwprostokątnej - długiego boku przeciwnego do kąta prostego. Zatem na początek przypisujesz zmienne a i b (kolejność nie ma znaczenia) prostym stronom, a c przypisujesz przeciwprostokątnej.
3. Określ, którą stronę trójkąta chcesz poznać. Twierdzenie Pitagorasa pozwala znaleźć długość każdego boku trójkąta, pod warunkiem, że znane są dwa boki. Określ, który z boków ma nieznaną długość - za, bi / lub do. Jeśli tylko jeden jest nieznany, możesz kontynuować.
   • Załóżmy, że wiemy, że przeciwprostokątna ma długość 5, a jeden z pozostałych boków ma długość 3. Długość pozostałego boku jest nieznana. Ponieważ znane są dwa boki, możemy przystąpić do obliczenia długości nieznanego boku! Wykorzystamy ten przykład ponownie później.
   • Jeśli długość dwa boków są nieznane, musisz określić długość co najmniej jeszcze jednego boku, aby móc skorzystać z twierdzenia Pitagorasa. Podstawowe funkcje trygonometryczne mogą ci w tym pomóc, pod warunkiem, że znasz jeden z pozostałych, nieprostych kątów trójkąta.
4. Oblicz, używając równania i osób, które znasz. Wprowadź wartości długości boków swojego trójkąta do równania a + b = c. Pamiętaj, że a i b to proste boki, a c to przeciwprostokątna.
   • W naszym przykładzie znamy długość jednego boku i przeciwprostokątnej (3 i 5), więc zapisujemy nasze równanie w ten sposób: 3² + b² = 5²
5. Oblicz kwadraty. Aby rozwiązać swoje równanie, zacznij od podniesienia do kwadratu każdej ze znanych stron. Jeśli uznasz to za łatwiejsze, możesz opuścić moc i dopiero później wyrównać ją.
   • W naszym przykładzie ustawiamy do kwadratu 3 i 5, aby uzyskać resp. 9 i 25 dostać. Możemy teraz przepisać równanie jako 9 + b² = 25.
6. Oddziel nieznaną zmienną po jednej stronie znaku równości. Jeśli to konieczne, użyj standardowych operacji algebraicznych, aby przenieść nieznane po jednej stronie znaku równości i kwadraty po drugiej. Jeśli próbujesz znaleźć przeciwprostokątną, c w twierdzeniu jest już po jednej stronie, więc możesz pominąć ten krok.
   • W naszym przykładzie równanie to teraz 9 + b² = 25. Aby wyodrębnić b & sup2, odejmujemy 9 od obu stron równania. To daje nam b² = 16.
7. Weź pierwiastek kwadratowy z obu stron równania. Powinieneś teraz mieć kwadrat (zmienną) po jednej stronie równania i liczbę po drugiej. Teraz wyciągnij pierwiastek kwadratowy z obu stron, aby znaleźć długość nieznanego.
   • W naszym przykładzie, b² = 16, równanie po zakorzenieniu kwadratu to b = 4. Możemy więc powiedzieć, że długość nieznanego boku naszego trójkąta jest równa 4.
8. Wykorzystaj w praktyce twierdzenie Pitagorasa. Powodem, dla którego twierdzenie Pitagorasa jest tak często używane, jest to, że można je zastosować do rozwiązywania wielu praktycznych problemów. Naucz się rozpoznawać trójkąty prostokątne w otaczającym Cię świecie - gdziekolwiek możesz rozpoznać trójkąt prostokątny na jednym lub kilku obiektach, twierdzenie Pitagorasa ma zastosowanie do znalezienia długości jednego z boków, pod warunkiem, że są dwa boki lub kąty. Bądź sławny.
   • Weźmy przykład z prawdziwego świata. Drabina opiera się o ścianę. Dno drabiny znajduje się 5 metrów od ściany. Drabina sięga 20 metrów od spodu ściany. Jak długa jest drabina?
     • „5 metrów to odległość do ściany” i „drabina ma 20 metrów wysokości”. Daje to wskazanie długości boków trójkąta. Ponieważ możemy założyć, że ściana i podłoże tworzą kąt prosty, a drabina jest ułożona ukośnie do ściany pod kątem, możemy potraktować ten układ jako trójkąt prostokątny, którego boki mają długość a = 5 i b = 20. Długość drabiny to przeciwprostokątna, nieznana zmienna c. Zastosujmy twierdzenie Pitagorasa:
       • a² + b² = c²
       • (5) ² + (20) ² = c²
       • 25 + 400 = c²
       • 425 = c²
       • sqrt (425) = c
       • c = 20,6. Długość drabiny to (przybliżona) 20,6 metra.

Metoda 2 z 2: Oblicz odległość między dwoma punktami na płaszczyźnie

1. Zdefiniuj dwa punkty na płaszczyźnie. Twierdzenie Pitagorasa można bardzo łatwo wykorzystać do obliczenia odległości w linii prostej między dwoma punktami na płaszczyźnie. Wszystko, czego potrzebujesz, to współrzędne x i y dowolnych dwóch punktów. Zwykle te współrzędne są zapisywane jako (x, y).
   • Aby znaleźć odległość między tymi dwoma punktami, traktujemy każdy z punktów jako jeden z wierzchołków trójkąta prostokątnego, który nie należy do kąta prostego. To sprawia, że ​​bardzo łatwo jest znaleźć długość a i b, po czym można obliczyć c (przeciwprostokątną i odległość między dwoma punktami).
2. Narysuj dwa punkty na wykresie. W płaszczyźnie X-Y dla każdego punktu (x, y) x jest punktem na poziomej osi x, a y jest punktem na pionowej osi y. Możesz znaleźć odległość między nimi bez rysowania ich na wykresie, ale da ci to wizualne odniesienie, którego możesz użyć do sprawdzenia, czy twoja odpowiedź ma sens.
3. Określ długość prostych boków swojego trójkąta. Rozważając dwa punkty jako kąty trójkąta sąsiadującego z przeciwprostokątną, możesz obliczyć długość boków a i b. Możesz to zrobić za pomocą wykresu lub używając formuł | x₁ - x₂| po stronie poziomej i | y₁ - y₂| dla strony pionowej, gdzie (x₁, y₁) jest pierwszym punktem, a (x₂, y₂) drugi punkt.
   • Załóżmy, że mamy punkty (6,1) i (3,5). Długość poziomego boku naszego trójkąta wynosi:
     • | x₁ - x₂|
     • |3 - 6|
     • | -3 | = 3
   • Długość boku pionowego to:
     • | y₁ - y₂|
     • |1 - 5|
     • | -4 | = 4
   • Możemy więc powiedzieć, że długość boków naszego trójkąta prostokątnego jest równa a = 3 i b = 4.
4. Użyj twierdzenia Pitagorasa, aby znaleźć przeciwprostokątną. Odległość między dwoma punktami to długość przeciwprostokątnej trójkąta. Użyj twierdzenia Pitagorasa, aby znaleźć przeciwprostokątną trójkąta o bokach a, b i c.
   • W naszym przykładzie znamy punkty (3,5) i (6,1), a długości boków wynoszą a = 3 i b = 4, więc przeciwprostokątną wyznaczamy następująco:

     • (3) ² + (4) ² = c²

       c = sqrt (9 + 16)

       c = sqrt (25)

       c = 5. Odległość między (3,5) a (6,1) wynosi 5.

Porady

• Jeśli trójkąt nie jest trójkątem prostokątnym, nie możesz po prostu użyć twierdzenia Pitagorasa.
• Przeciwprostokątna jest zawsze:
  • linia naprzeciw prostego kąta
  • najdłuższy bok prawego trójkąta
  • zmienna do w twierdzeniu Pitagorasa
• sqrt (x) oznacza „pierwiastek kwadratowy z x”.
• Nie zapomnij zawsze sprawdzać odpowiedzi. Jeśli odpowiedź wydaje się nieprawidłowa, sprawdź obliczenia lub zacznij od nowa.
• Jeśli znasz tylko jedną stronę trójkąta, ale także jeden z pozostałych kątów (wtedy kąt prosty), najpierw oblicz drugą stronę, korzystając z tego, co wiesz o trygonometrii (sin, cos, tan) lub proporcjach 30-60-90 / 45-45-90.
• Kolejna kontrola - najdłuższy bok znajduje się naprzeciwko największego kąta, a najkrótszy bok jest naprzeciwko najmniejszego kąta.