Przeanalizuj równania kwadratowe na czynniki - Wskazówki

Wideo: Rozkład liczby na czynniki pierwsze - Matematyka Szkoła Podstawowa i Gimnazjum

Zawartość

Kroki
Rada
Czego potrzebujesz

W matematyce, Analiza czynników polega na znalezieniu liczb lub wyrażeń z iloczynem podanej liczby lub równania. Analiza czynnikowa jest umiejętnością przydatną do rozwiązywania podstawowych problemów algebraicznych: umiejętność dobrego rozłożenia na czynniki jest prawie krytyczna podczas pracy. z równaniami algebraicznymi lub innymi formami wielomianów. Analiza czynnikowa może służyć do redukcji wyrażeń algebraicznych, co upraszcza problem. Dzięki niemu możesz nawet wyeliminować niektóre możliwe odpowiedzi znacznie szybciej niż rozwiązywanie ręcznie.

Kroki

Metoda 1 z 3: Przeanalizuj liczby i podstawowe wyrażenia algebraiczne na czynniki

Zrozum definicję analizy czynnikowej w odniesieniu do pojedynczych liczb. Chociaż koncepcyjnie proste, w praktyce stosowanie złożonych równań może być dość trudne. Dlatego najłatwiejszym podejściem koncepcyjnym analizy czynnikowej jest rozpoczęcie od pojedynczych liczb, a następnie przejście do prostych równań przed przystąpieniem do bardziej zaawansowanych aplikacji. Czynnik dla danej liczby to liczby z iloczynem tej samej liczby. Na przykład 1, 12, 2, 6, 3 i 4 to współczynniki 12, ponieważ 1 × 12, 2 × 6 i 3 × 4 są równe 12.
- Innymi słowy, czynniki danej liczby są liczbami podzielony według tej liczby.
- Czy potrafisz znaleźć pełny współczynnik 60? Liczba 60 jest używana do wielu różnych celów (minuty na godzinę, sekundy na minutę itd.), Ponieważ można ją podzielić przez wiele liczb.
  - Liczba 60 ma następujące czynniki: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 i 60.
Zrozum, że wyrażenia zawierające zmienne można również podzielić na czynniki. Oprócz liczb niezależnych można również rozkładać na czynniki zmienne ze współczynnikami arytmetycznymi. Aby to zrobić, wystarczy znaleźć czynniki współczynnika zmiennej. Umiejętność rozkładania na czynniki analizy jest bardzo przydatna w prostym przekształcaniu równań algebraicznych zawierających zmienne.
- Na przykład 12x można przepisać na wyniki 12 i x. Możliwe jest zapisanie 12x jako 3 (4x), 2 (6x) itd. I użycie dowolnego współczynnika, który najlepiej pasuje do zamierzonego zastosowania liczby 12.
  - Możesz nawet posunąć się do analizy 12x wiele razy. Innymi słowy, nie ma potrzeby zatrzymywania się na 3 (4x) lub 2 (6x) - możemy przeanalizować 4x i 6x, aby uzyskać odpowiednio 3 (2 (2x) 2 (3 (2x)). Ta formuła jest równoważna.
Zastosuj asocjacyjne własności mnożenia do faktoryzacji równań algebraicznych. Korzystając ze swojej wiedzy na temat analizowania zarówno liczb niezależnych, jak i współczynników na czynniki, możesz uprościć proste równania algebraiczne, znajdując wspólne czynniki liczb i zmiennych zawartych w równaniu. Często, aby równanie było jak najprostsze, postaramy się znaleźć największy wspólny dzielnik. Ta prosta transformacja jest możliwa dzięki asocjacyjnej naturze mnożenia - dla każdej liczby a, b i c mamy: a (b + c) = ab + ac.
- Rozważmy następujący przykładowy problem. Aby rozłożyć równanie algebraiczne 12x + 6 na współczynnik, najpierw znajdujemy największy wspólny dzielnik 12x i 6. 6 to największa liczba, przez którą dzieli się zarówno 12x, jak i 6, więc możemy przeliczyć pojedynczo. zredukuj równanie do 6 (2x + 1).
- To samo dotyczy równań, które mają ujemne znaki i ułamki. Na przykład x / 2 + 4 można po prostu przekonwertować na 1/2 (x + 8), a -7x + -21 można rozłożyć na -7 (x + 3).
Reklama

Metoda 2 z 3: Analiza równań kwadratowych na czynniki

Upewnij się, że równanie ma postać kwadratową (ax + bx + c = 0). Równanie kwadratowe ma postać ax + bx + c = 0, gdzie a, b i c są stałymi, a a jest niezerowe (zwróć uwagę, że a może równa się 1 lub -1). Jeśli równanie z jedną zmienną (x) zawiera jeden lub więcej wyrazów, które zawierają kwadrat x, często można użyć podstawowej algebry, aby przekształcić jedną stronę znaku równości na 0 i pozwolić ax, i tak dalej. z drugiej strony.
- Na przykład równanie algebraiczne 5x + 7x - 9 = 4x + x - 18 można zredukować do x + 6x + 9 = 0, co jest formą kwadratową.
- Równania, w których x ma wyższy wykładnik, na przykład x, x i tak dalej. nie może być kwadratowa. Są kwadratowe, czwartorzędowe, ... chyba że równanie można zredukować, eliminując wyrażenia zawierające potęgi 3 lub więcej x.
W przypadku równań kwadratowych, gdy a = 1, rozkładamy na (x + d) (x + e), gdzie d × e = c i d + e = b. Jeżeli równanie kwadratowe ma postać x + bx + c = 0 (czyli innymi słowy, jeśli współczynnik x = 1), to istnieje możliwość (ale nie jesteście pewni), że możemy użyć stosunkowo szybkiego obliczenia. łatwo jest wziąć pod uwagę to równanie. Znajdź dwie liczby równe c i suma jest równa b. Po znalezieniu di e zamień je na następujące wyrażenie: (x + d) (x + e). Po pomnożeniu razem te dwa elementy dają nam powyższe równanie kwadratowe - innymi słowy, są czynnikami równania.
- Weźmy na przykład równanie kwadratowe x + 5x + 6 = 0. 3 i 2 mają iloczyn 6 i jednocześnie mają w sumie 5. Dlatego możemy po prostu zamienić równanie na (x + 3) ( x + 2).
- Ta podstawowa szybka poprawka będzie nieco inna, gdy samo równanie będzie trochę inne:
  - Jeśli równanie kwadratowe ma postać x-bx + c, twoja odpowiedź będzie miała postać: (x - _) (x - _).
  - Jeśli ma postać x + bx + c, twoja odpowiedź będzie wyglądać tak: (x + _) (x + _).
  - Jeśli jest w x-bx-c, twoja odpowiedź będzie miała postać (x + _) (x - _).
- Uwaga: spacje mogą być ułamkami zwykłymi lub dziesiętnymi. Na przykład równanie x + (21/2) x + 5 = 0 rozkłada się na (x + 10) (x + 1/2).
Jeśli to możliwe, przeprowadź analizę czynnikową poprzez testowanie. Wierz lub nie, dzięki nieskomplikowanemu równaniu kwadratowemu jedną z akceptowanych metod faktoryzacji jest po prostu przyjrzenie się problemowi, a następnie rozważenie wszystkich możliwych odpowiedzi, aż zostanie znaleziony wynik. poprawna odpowiedź. Znana jest również jako metoda testowa.Jeśli równanie ma postać ax + bx + c i a> 1, twoja analiza czynnikowa będzie miała postać (dx +/- _) (ex +/- _), gdzie d i e są stałymi druga nie jest równa a. d lub e (lub oba) może wynosi 1, chociaż niekoniecznie tak będzie. Jeśli oba są równe 1, w zasadzie użyłbyś szybkiej pracy pokazanej powyżej.
- Rozważ następujący przykładowy problem. Na pierwszy rzut oka 3x - 8x + 4 wygląda dość onieśmielająco. Jednak gdy zdasz sobie sprawę, że 3 ma tylko dwa czynniki (3 i 1), problem staje się łatwiejszy, ponieważ wiemy, że odpowiedź musi mieć postać (3x +/- _) (x +/- _). W tym przypadku zastąpienie -2 obiema spacjami daje poprawną odpowiedź. -2 × 3x = -6x i -2 × x = -2x. -6x i -2x łącznie równe -8x. -2 × -2 = 4, więc widać, że elementy przeanalizowane w nawiasach dają nam początkowe równanie.
Rozwiąż problem, wypełniając kwadrat. W niektórych przypadkach równania kwadratowe można mnożyć szybko i łatwo przy użyciu specjalnej tożsamości algebraicznej. Dowolne równanie kwadratowe w postaci x + 2xh + h = (x + h). Dlatego, jeśli w równaniu b jest dwukrotnością pierwiastka kwadratowego z c, równanie można rozłożyć na (x + (sqrt (c))).
- Na przykład równanie x + 6x + 9 będzie działać dla tej postaci. 3 równa się 9, a 3 × 2 równa się 6. Wiemy więc, że forma faktoryzacji tego równania to (x + 3) (x + 3) lub (x + 3).
Rozwiąż równania kwadratowe z czynnikami. Tak czy inaczej, po rozłożeniu na czynniki wyrażenia kwadratowego można znaleźć możliwą odpowiedź na wartość x, podając każdemu czynnikowi zero i rozwiązując go. Ponieważ szukasz wartości x takiej, że równanie wynosi zero, każde x, które powoduje, że współczynnik wynosi zero, będzie możliwym rozwiązaniem tego równania.
- Wróć do równania x + 5x + 6 = 0. To jest rozłożone na (x + 3) (x + 2) = 0. Gdy jeden czynnik wynosi zero, całe równanie staje się zerowe. Możliwe rozwiązania x to liczby, dzięki którym (x + 3) i (x + 2) są równe odpowiednio 0, -3 i -2.
Sprawdź swoje odpowiedzi - niektóre mogą być egzotyczne! Kiedy znajdziesz możliwe rozwiązania x, zastąp je oryginalnym równaniem, aby określić, czy są poprawne, czy nie. Czasami odpowiedź znajduje to nie ma problemu powoduje, że oryginalne równanie ma wartość zero po zastąpieniu. Nazywamy te rozwiązania Egzotyczny i wyeliminuj ich.
- Zamieńmy -2 i -3 na x + 5x + 6 = 0. Po pierwsze, -2:
  - (-2) + 5(-2) + 6 = 0
  - 4 + -10 + 6 = 0
  - 0 = 0. Tak, więc -2 jest poprawnym rozwiązaniem równania.
- Teraz spróbujmy z -3:
  - (-3) + 5(-3) + 6 = 0
  - 9 + -15 + 6 = 0
  - 0 = 0. Jest to również prawdą i dlatego -3 jest również poprawnym rozwiązaniem równania.
Reklama

Metoda 3 z 3: Przeanalizuj inne typy równań na czynniki

Jeśli równanie ma postać a-b, rozłóż je na (a + b) (a-b). Równanie dwóch zmiennych jest analizowane inaczej niż podstawowe równanie kwadratowe. Każde równanie a-b, w którym a i b są niezerowe, zostanie rozłożone na (a + b) (a-b).
- Na przykład równanie 9x - 4y = (3x + 2y) (3x - 2y).
Jeśli równanie ma postać a + 2ab + b, rozłóż je na (a + b). Zwróć uwagę, że jeśli trójmian ma postać a-2ab + b, forma faktoryzacji będzie się nieznacznie różnić: (a-b).
- Równania 4x + 8xy + 4y można przepisać jako 4x + (2 × 2 × 2) xy + 4y. Teraz widzimy, że ma on poprawną formę i możemy śmiało powiedzieć, że forma faktoryzacji tego równania to (2x + 2y).
Jeśli równanie ma postać a-b, rozłóż je na (a-b) (a + ab + b). Na koniec należy powiedzieć, że równania trójskładnikowe, a nawet równania wyższego rzędu można podzielić na czynniki. Jednak proces analizy szybko stanie się niezwykle złożony.
- Na przykład 8x - 27y rozkłada się na (2x - 3y) (4x + ((2x) (3y)) + 9y)
Reklama

Rada

a-b można podzielić na czynniki, a a + b nie.
Pamiętaj, jak uwzględniać stałe - to może pomóc.
Zwróć uwagę na ułamki w procesie faktoryzacji, postępuj z nimi poprawnie i odpowiednio.
Z trójzębem x + bx + (b / 2) jego faktoryzacja wyniosłaby (x + (b / 2)) (możesz natknąć się na taką sytuację podczas wypełniania kwadratu).
Pamiętaj, że a0 = 0 (właściwość pomnożona przez zero).