Znajdź odwrotność macierzy 3x3 - Wskazówki

Zawartość

Kroki
Rada
Ostrzeżenie

Odwrócenie jest często używane w rachunku różniczkowym, aby uprościć problematyczne problemy na inne sposoby. Na przykład łatwiej jest pomnożyć przez odwrotność ułamka niż bezpośrednio podzielić go przez tę liczbę. To jest odwrotność. Podobnie, ponieważ nie ma znaków ułamka dla macierzy, będziesz musiał pomnożyć jej odwrotną macierz. Obliczanie macierzy odwrotnej macierzy 3x3 może być bardzo żmudne, ale warto się nad tym zastanowić. W tym celu możesz również skorzystać z zaawansowanego kalkulatora graficznego.

Kroki

Metoda 1 z 3: Utwórz dodatkową macierz, aby znaleźć macierz odwrotną

Sprawdź wyznacznik macierzy. Pierwszy krok: znajdź wyznacznik macierzy. Jeśli wyznacznik wynosi 0, to jest zrobione: ta macierz jest nieodwracalna. Wyznacznik macierzy M można symbolizować jako det (M).
- Aby znaleźć odwrotność macierzy 3x3, należy najpierw obliczyć jej wyznacznik.
- Aby sprawdzić, jak znaleźć wyznacznik macierzy, zapoznaj się z artykułem Znajdowanie wyznaczników macierzy 3x3.
Oryginalna transpozycja macierzy. Transpozycja oznacza odzwierciedlenie matrycy w poprzek głównej przekątnej, czyli innymi słowy, zamianę elementu (i, j) i elementu (j, i). Podczas transpozycji elementów macierzy główna przekątna (biegnąca od lewego górnego rogu do prawego dolnego rogu) pozostaje stała.
- Innym sposobem zrozumienia transpozycji jest przepisanie macierzy tak, aby pierwszy wiersz stał się pierwszą kolumną, środkowy rząd stał się środkową kolumną, a trzeci wiersz stał się trzecią kolumną. Zwróć uwagę na kolorowe elementy na powyższej ilustracji i zwróć uwagę na nowe położenie liczb.
Znajdź wyznacznik każdej podmacierzy 2x2. Wszystkie elementy nowej macierzy przemieszczeń 3x3 są połączone z odpowiednią macierzą podrzędną 2x2. Aby znaleźć macierz podrzędną każdego elementu, najpierw zaznacz wiersz i kolumnę pierwszego elementu. Wszystkie 5 elementów zostanie podświetlonych. Pozostałe cztery elementy tworzą podmacierz.
- W powyższym przykładzie, jeśli chcesz znaleźć macierz podrzędną elementu w drugim wierszu, pierwszej kolumnie, podświetlasz pięć części słów w drugim wierszu i pierwszej kolumnie. Pozostałe cztery elementy to odpowiednia podmacierz.
- Znajdź wyznacznik każdej podmacierzy, mnożąc po przekątnej i odejmując od siebie dwa iloczyny, jak pokazano na powyższym rysunku.
- Przeczytaj więcej, aby dowiedzieć się więcej o podmacierzach i ich zastosowaniach.
Utwórz macierz algebraicznych podsekcji. Umieść wynik uzyskany w poprzednim kroku w nowej macierzy złożonej z algebraicznych podsekcji, umieszczając każdy wyznacznik podmacierzy w odpowiedniej pozycji w oryginalnej macierzy. Zatem wyznacznik obliczony z elementu (1,1) oryginalnej macierzy zostanie umieszczony na pozycji (1,1). Następnie będziesz musiał zmienić znak wymiany tej nowej macierzy zgodnie z tabelą odniesienia pokazaną na powyższej ilustracji.
- Podczas określania znaku zachowuje się znak pierwszej cząsteczki wiodącej. Znak drugiego elementu jest odwrócony. Znak trzeciego elementu zostaje zachowany. Kontynuuj w ten sposób przez resztę macierzy. Zauważ, że znak (+) lub (-) na wykresie referencyjnym nie oznacza, że do końca element będzie nosił znaki dodatnie lub ujemne. Pokazują tylko, że elementy pozostaną nienaruszone (+) lub zmienione za pomocą (-).
- Zapoznaj się z podstawami macierzy, aby dowiedzieć się więcej o dodatkach algebraicznych.
- Ostateczny wynik, jaki otrzymujemy w tym kroku, to komplementarna macierz oryginalnej macierzy. Czasami jest również nazywany macierzą sprzężoną i jest oznaczony jako Adj (M).
Podzielić wszystkie elementy macierzy dopełnienia przez wyznacznik. Użyj wyznacznika macierzy M, którą obliczyłeś w pierwszym kroku (aby sprawdzić, czy macierz jest odwracalna). Teraz podziel każdy element macierzy przez tę wartość. Umieść iloraz każdego podziału w pozycji pierwotnego elementu, a otrzymamy macierz odwrotną do pierwotnej macierzy.
- Przykładowa macierz przedstawiona na ilustracji ma wyznacznik 1. Dlatego też dzieląc wszystkie elementy macierzy komplementarnej przez wyznacznik, otrzymujemy siebie (nie zawsze będziesz miał tyle szczęścia). .
- Zamiast dzielić, niektóre dokumenty demonstrują ten krok jako pomnożenie każdego elementu M przez 1 / det (M). Matematycznie są równoważne.
Reklama

Metoda 2 z 3: Zmniejsz wiersz liniowy, aby znaleźć macierz odwrotną

Dodaj macierz jednostek do oryginalnej macierzy. Napisz macierz bazową M, narysuj pionową linię po prawej stronie tej macierzy, a następnie zapisz macierz jednostek po prawej stronie tej linii. W tym momencie mamy macierz z trzema wierszami i sześcioma kolumnami.
- Pamiętaj, że macierz tożsamości jest specjalną macierzą, w której wszystkie elementy znajdują się na głównej przekątnej, biegnącej od lewego górnego rogu do prawego dolnego rogu, równej 1, a wszystkie elementy na pozostałych pozycjach są równe zeru.
Wykonaj liniową redukcję rzędów. Celem jest tutaj utworzenie macierzy jednostek w lewej części nowo rozwiniętej macierzy. Wykonując kroki redukcji wierszy po lewej stronie, musisz wykonać odpowiednią część po prawej - część, która jest twoją macierzą jednostek.
- Pamiętaj, że redukcja wierszy jest wykonywana jako kombinacja mnożenia przez skalar i dodawania lub odejmowania wierszy w celu wyodrębnienia poszczególnych elementów macierzy.
Kontynuuj, aż utworzy się macierz jednostek. Kontynuuj redukcję liniową, aż pojawi się macierz tożsamości (elementy na przekątnej są równe 1, pozostałe elementy są równe 0) w lewej części rozwiniętej macierzy. Po osiągnięciu tego kroku prawa część pionowego dzielnika jest odwrotną macierzą oryginalnej macierzy.
Przepisz macierz odwrotną. Powiel elementy znajdujące się obecnie w prawej części pionowego dzielnika, a to jest twoja macierz odwrotna. Reklama

Metoda 3 z 3: Znajdź macierz odwrotną za pomocą kalkulatora kieszonkowego

Wybierz kalkulator, który potrafi rozwiązywać macierze. Prosty kalkulator z czterema funkcjami nie będzie w stanie bezpośrednio znaleźć macierzy odwrotnej. Jednak ze względu na powtarzalność matematyczną zaawansowany kalkulator graficzny, taki jak Texas Instruments TI-83 lub TI-86, może znacznie zmniejszyć Twoją pracę.
Wprowadź macierz do kalkulatora. Najpierw wprowadź funkcję Matrix kalkulatora, naciskając klawisz Matrix, jeśli jest dostępna w Twoim urządzeniu. Na maszynie Texas Instruments będziesz musiał nacisnąć 2 Matrix.
Wybierz podmenu Edytuj. Aby uzyskać dostęp do tego podmenu, może być konieczne użycie przycisków strzałek lub wybranie odpowiednich klawiszy funkcyjnych znajdujących się w górnym rzędzie klawiatury komputera, w zależności od jego konstrukcji.
Wybierz nazwę dla swojej macierzy. Większość kalkulatorów kieszonkowych jest wyposażona w od 3 do 10 macierzy, nazwanych liter od A do J. Zwykle zacznijmy od. Naciśnij klawisz Enter, aby potwierdzić wybór nazwy.
Wprowadź rozmiar matrycy. Ten artykuł skupia się na macierzach 3x3. Jednak kalkulatory kieszonkowe mogą obsługiwać większe matryce. Wprowadź liczbę wierszy, naciśnij klawisz Enter, a następnie wpisz numer kolumny i naciśnij klawisz Enter.
Wprowadź każdy element macierzy. Matryca zostanie wyświetlona na ekranie komputera. Jeśli wcześniej pracowałeś z funkcją macierzy, na ekranie pojawi się matryca, z którą pracowałeś wcześniej. Kursor zaznaczy pierwszy element macierzy. Wprowadź wartość macierzy, którą chcesz rozwiązać, i naciśnij klawisz Enter. Kursor automatycznie przesunie się do następnego elementu, nadpisując wszelkie poprzednie wartości.
- Jeśli chcesz wprowadzić liczby ujemne, użyj przycisku ujemnego (-) kalkulatora, a nie klawisza minus. Funkcja matrycy nie odczyta poprawnie.
- W razie potrzeby możesz użyć klawiszy strzałek na kalkulatorze, aby poruszać się po macierzy.
Wyjdź z funkcji macierzy. Po wprowadzeniu całej wartości matrycy naciśnij klawisz Quit - Exit (lub 2 Quit, jeśli to konieczne). Dzięki temu wychodzisz z funkcji Matrix i wracasz do głównego ekranu kalkulatora.
Użyj klawisza odwrotnego, aby znaleźć macierz odwrotną. Najpierw ponownie otwórz funkcję Matrix i użyj przycisku Names, aby wybrać nazwę macierzy, którą nadałeś swojej macierzy (być może). Następnie naciśnij klawisz odwrotności kalkulatora. W zależności od urządzenia może być konieczne użycie przycisku 2. Zostanie wyświetlony ekran wyświetlacza. Naciśnij Enter, a na ekranie pojawi się odwrotna macierz.
- Nie używaj przycisku ^ na komputerze, próbując wprowadzić A ^ -1 pojedynczymi kliknięciami. Komputery nie zrozumieją tej matematyki.
- Jeśli po naciśnięciu klawisza odwrotnego pojawi się komunikat o błędzie, jest bardziej prawdopodobne, że macierz nadrzędna nie jest odwracalna. Może powinieneś wrócić i sprawdzić jakość, aby ustalić, czy to jest przyczyną błędu.
Zamień macierz odwrotną na poprawną odpowiedź. Pierwszy wynik zwrócony przez komputer jest wyświetlany w postaci dziesiętnej. W większości przypadków to niekoniecznie jest „poprawna” odpowiedź. W razie potrzeby należy zamienić tę odpowiedź dziesiętną na ułamek (przy odrobinie szczęścia wszystkie wyniki są liczbami całkowitymi. Jest to jednak bardzo rzadkie).
- Może Twój kalkulator ma funkcję, która automatycznie zamienia ułamki dziesiętne na ułamki zwykłe. Na przykład, używając TI-86, możesz przejść do funkcji Math, wybrać Misc, a następnie Frac i nacisnąć Enter. Ułamki dziesiętne będą automatycznie przedstawiane jako ułamki zwykłe.
Większość kalkulatorów graficznych ma nawiasy kwadratowe (w przypadku TI-84 to 2nd + x i 2nd + -), które pozwalają na wprowadzenie macierzy bez użycia funkcji macierzy. Uwaga: kalkulator może nie sformatować macierzy, dopóki nie zostanie użyty klawisz enter / równy (co oznacza, że wszystko będzie w tym samym wierszu i niezbyt ładne). Reklama

Rada

Możesz wykonać te kroki, aby znaleźć odwrotność macierzy, która zawiera nie tylko liczby, ale także zmienne, niewiadome, a nawet wyrażenia algebraiczne.
Zapisz wszystkie kroki, ponieważ znalezienie odwrotności macierzy 3x3 po prostu wykonując obliczenia matematyczne jest niezwykle trudne.
Istnieją programy kalkulacyjne, które pomagają znaleźć macierze odwrotne, do macierzy 30x30 włącznie.
Niezależnie od zastosowanej metody, sprawdź dokładność wyniku mnożąc M przez M.Potwierdzisz, że M * M = M * M = I.Gdzie I to macierz jednostek , składa się z elementów 1 umieszczonych wzdłuż głównej przekątnej i zer w innych miejscach. Jeśli nie uzyskasz takich wyników, musiałeś gdzieś się pomylić.

Ostrzeżenie

Nie wszystkie macierze 3x3 mają macierze odwrotne. Jeśli wyznacznik jest równy 0, ta macierz jest nieodwracalna (we wzorze dzielimy przez det (M). Dzielenie przez zero jest operacją nieznaną).