Zawartość

• Kroki
• Rada
• Ostrzeżenie

Dwie ułamki nazywane są równoważnymi, jeśli mają tę samą wartość. Umiejętność konwersji ułamka na jego równoważne formy jest niezbędną umiejętnością matematyczną we wszystkim, od podstawowej algebry po zaawansowaną matematykę. W tym artykule przedstawimy kilka sposobów obliczania ułamków równoważnych, od podstawowego mnożenia i dzielenia do bardziej złożonych metod rozwiązywania równań z ułamkami równoważnymi.

Kroki

Metoda 1 z 5: Utwórz ułamki równoważne

1. 

   Pomnóż licznik i mianownik przez tę samą liczbę. Z definicji dwa różne, ale równoważne ułamki mają licznik, a mianownik są wielokrotnościami siebie. Innymi słowy, pomnożenie licznika i mianownika ułamka przez tę samą liczbę daje równoważny ułamek. Chociaż liczby na nowych ułamkach będą inne, będą miały te same wartości.
   • Na przykład, jeśli weźmiemy ułamek 4/8 i pomnożymy zarówno licznik, jak i mianownik przez 2, otrzymamy (4 × 2) / (8 × 2) = 8/16. Te dwie frakcje są równoważne.
   • (4 × 2) / (8 × 2) to dokładnie to samo, co 4/8 × 2/2. Pamiętaj, że mnożąc dwa ułamki, mnożymy poziomo, tj. Licznik przez licznik, a mianownik przez mianownik.
   • Zauważ, że 2/2 równa się 1 podczas dzielenia. Dlatego łatwo jest zrozumieć, dlaczego 4/8 i 8/16 są równe, ponieważ 4/8 × (2/2) nadal = 4/8. Podobnie 4/8 = 8/16.
   • Każda frakcja ma nieskończoną liczbę równoważnych ułamków. Możesz pomnożyć licznik i mianownik przez dowolną liczbę całkowitą, dużą lub małą, aby uzyskać równoważny ułamek.

2. 

   
   
   Podzielić licznik i mianownik przez tę samą liczbę. Podobnie jak mnożenie, dzielenie jest również używane do znalezienia nowego ułamka, który jest równoważny oryginalnemu ułamkowi. Po prostu podziel licznik i mianownik ułamka przez tę samą liczbę, aby uzyskać równoważny ułamek. Jednak otrzymany ułamek musi mieć zarówno licznik, jak i próbkę liczbami całkowitymi.
   • Na przykład spójrz wstecz na ułamek 4/8. Zamiast mnożyć, dzielimy licznik i mianownik przez 2, otrzymujemy (4 ÷ 2) / (8 ÷ 2) = 2/4. 2 i 4 są liczbami całkowitymi, więc ten równoważny ułamek jest poprawny.
   Reklama

Metoda 2 z 5: Użycie mnożenia podstawowego do określenia równoważności

1. 

   
   
   Znajdź liczbę, w której większy mianownik jest pomnożony przez mniejszy mianownik. Wiele problemów z ułamkami wiąże się z określeniem, czy dwa ułamki są równe, czy nie. Obliczając tę ​​liczbę, możesz zwrócić ułamki do tego samego terminu, aby określić równoważność.
   • Na przykład pobierz ułamki 4/8 i 8/16. Mniejszy mianownik to 8 i będziemy musieli pomnożyć tę liczbę przez 2, aby uzyskać większy mianownik równy 16. Tak więc liczba, której należy szukać w tym przypadku, to 2.
   • W przypadku bardziej złożonych liczb wystarczy podzielić duży mianownik przez mały mianownik. W powyższym przykładzie 16 podzielone przez 8, wynik to 2.
   • Ta liczba nie zawsze jest liczbą całkowitą. Na przykład, jeśli mianownikami są 2 i 7, to 7 podzielone przez 2 równa się 3,5.

2. 

   
   
   Licznik i mianownik ułamka są wyrażone w dolnym członie z liczbą określoną w powyższym kroku. Z definicji istnieją dwie różne, ale równoważne frakcje Licznik i mianownik są wielokrotnościami siebie. Innymi słowy, pomnożenie licznika i mianownika ułamka przez tę samą liczbę daje równoważny ułamek. Chociaż liczby w tym nowym ułamku będą inne, ich wartości są takie same.
   • Na przykład, jeśli weźmiemy ułamek 4/8 z kroku pierwszego i pomnożymy zarówno licznik, jak i próbkę przez podaną wcześniej liczbę 2, otrzymamy (4 × 2) / (8 × 2) = 8/16. To dowodzi, że te dwie frakcje są równoważne.
   Reklama

Metoda 3 z 5: Wykorzystanie podziału podstawowego do określenia równoważności

1. 

   Podziel każdy ułamek na ułamek dziesiętny. W przypadku prostych ułamków bez zmiennych wystarczy przedstawić każdy ułamek jako ułamek dziesiętny, aby określić równoważność. Ponieważ każdy ułamek jest zasadniczo dzieleniem, jest to najprostszy sposób określenia równoważności.
   • Na przykład weź ułamek 4/8 powyżej. Ułamek 4/8 równa się 4 podzielone przez 8, 4/8 = 0,5. Możesz podzielić ten ułamek w ten sposób, 8/16 = 0,5. Niezależnie od formatu ułamków są one równoważne, jeśli dwie liczby są równe wyrażone w postaci dziesiętnej.
   • Pamiętaj, że reprezentacja dziesiętna może dać wiele cyfr przed stwierdzeniem, że nie są one równoważne. Podstawowym przykładem jest 1/3 = 0,333… a 3/10 = 0,3. Tylko więcej niż jedna cyfra, okazuje się, że te dwa ułamki nie są równoważne.

2. 

   Podzielić licznik i mianownik ułamka przez tę samą liczbę, aby uzyskać równoważny ułamek. W przypadku bardziej złożonych frakcji ta metoda podziału wymaga dodatkowych kroków. Podobnie jak w przypadku mnożenia, możesz podzielić licznik i mianownik ułamka przez tę samą liczbę, aby uzyskać równoważny ułamek. Jednak otrzymany ułamek musi mieć zarówno licznik, jak i próbkę liczbami całkowitymi.
   • Przykład frakcji 4/8. Zamiast się rozmnażać, jesteśmy dzielić Zarówno licznik, jak i mianownik dają 2, otrzymujemy (4 ÷ 2) / (8 ÷ 2) = 2/4. 2 i 4 to liczby całkowite, więc ten równoważny ułamek jest poprawny.

3. 

   
   
   Zmniejsz ułamek do jego minimalnej formy. Większość ułamków jest zwykle wyrażana w postaci minimalnej i można je przywrócić do ich minimalnej postaci, dzieląc przez największy wspólny współczynnik licznika i próbki. Ten krok działa w tej samej logice, co reprezentowanie równoważnych ułamków poprzez przekształcanie ich w ten sam mianownik, ale ta metoda wymaga zredukowania każdej części do jej minimalnej postaci.
   • Kiedy ułamek ma swoją minimalną formę, licznik i jego mianownik są tak małe, jak to tylko możliwe. Nie możesz podzielić ich przez żadną liczbę całkowitą, aby otrzymać mniejszą liczbę. Aby przekształcić ułamek w jego minimalną postać, dzielimy licznik i mianownik przez Największy wspólny dzielnik.
   • Największym wspólnym dzielnikiem licznika i mianownika jest maksymalna liczba, przez którą można podzielić. A więc w przykładzie 4/8, ponieważ 4 jest największą liczbą, przez którą można podzielić zarówno 4, jak i 8, podzielimy licznik i mianownik tego ułamka przez 4, aby uzyskać uproszczoną formę. (4 ÷ 4) / (8 ÷ 4) = 1/2. W innym przykładzie 8/16 GCF wynosi 8, wynik również wynosi 1/2.
   Reklama

Metoda 4 z 5: Używanie mnożenia krzyżowego do rozwiązywania problemów ze zmiennymi

1. 

   
   
   Połóż dwie równe części. Używamy mnożenia krzyżowego do zadań, w przypadku których wiemy, że ułamki są równoważne, ale jedna z liczb została zastąpiona zmienną (zwykle x), którą musimy rozwiązać, aby znaleźć. W takich przypadkach mnożenie krzyżowe jest szybką metodą.

2. 

   
   
   Weź dwie równoważne frakcje i skrzyżuj je za pomocą „X”. Innymi słowy, mnożymy licznik jednego ułamka przez mianownik drugiego i odwrotnie, a następnie stawiamy te dwa wyniki jako równe i rozwiązujemy problem.
   • Weź dwa przykłady, 4/8 i 8/16. Te dwie frakcje nie zawierają zmiennych, ale możemy udowodnić, że są równoważne. Mnożąc krzyżowo, otrzymujemy 4 x 16 = 8 x 8 lub 64 = 64, co jest oczywiście poprawne. Jeśli te dwie liczby nie są takie same, ułamki nie są równoważne.

3. 

   Umieść zmienne. Ponieważ mnożenie przez krzyż jest najłatwiejszym sposobem określenia równoważnych ułamków, gdy musisz rozwiązać problem znajdowania zmiennych, dodaj zmienne.
   • Na przykład rozważmy następujące równanie 2 / x = 10/13. Aby pomnożyć krzyżowo, mnożymy 2 przez 13 i 10 przez x, a następnie ustawiamy te dwa wyniki jako równe:
     • 2 × 13 = 26
     • 10 × x = 10x
     • 10x = 26. Prostymi metodami algebraicznymi możemy znaleźć zmienną x = 26/10 = 2.6, to pierwsze dwa równoważne ułamki to 2 / 2,6 = 10/13.

4. 

   Użyj mnożenia krzyżowego dla równań z wieloma zmiennymi lub wyrażeniami zmiennych. Jedną z najfajniejszych rzeczy w mnożeniu krzyżowym jest to, że niezależnie od tego, czy masz dwa proste ułamki (jak powyżej), czy bardziej złożone, rozwiązanie jest dokładnie takie samo. Na przykład, jeśli obie frakcje zawierają zmienne, po prostu usuń je na ostatnim etapie procesu rozwiązywania problemu. Podobnie, jeśli liczniki i mianowniki ułamków zawierają wyrażenia zmienne (takie jak x + 1), po prostu pomnóż krzyżowo i rozwiąż w zwykły sposób.
   • Na przykład rozważmy następujące równanie ((x + 3) / 2) = ((x + 1) / 4). Jak wyżej, rozwiązujemy, mnożąc krzyżowo dwa ułamki:
     • (x + 3) × 4 = 4x + 12
     • (x + 1) × 2 = 2x + 2
     • 2x + 2 = 4x + 12, odejmij boki za 2x
     • 2 = 2x + 12, aby oddzielić zmienną, odejmujemy boki do 12
     • -10 = 2x i podziel boki przez 2, aby znaleźć x
     • -5 = x
   Reklama

Metoda 5 z 5: Używanie rozwiązania kwadratowego do rozwiązywania równań zmiennych

1. 

   Krzyż pomnóż dwa ułamki. W przypadku problemów z równoważnością, które wymagają zastosowania rozwiązań kwadratowych, nadal zaczynamy od mnożenia krzyżowego. Jednak każde mnożenie krzyżowe polega na pomnożeniu terminu zawierającego zmienną przez termin zawierający inną zmienną może dać wyrażenie, którego nie można łatwo rozwiązać metodą algebraiczną. W takich przypadkach będziesz musiał użyć technik takich jak faktoryzacja i / lub formuły kwadratowe.
   • Na przykład rozważmy następujące równanie ((x +1) / 3) = (4 / (2x - 2)). Krok 1, krzyżujemy mnożymy:
     • (x + 1) × (2x - 2) = 2x + 2x -2x - 2 = 2x - 2
     • 4 × 3 = 12
     • 2x - 2 = 12.

2. 

   Wyraź równanie jako równanie kwadratowe. Musimy teraz przedstawić równanie w formie kwadratowej (ax + bx + c = 0), gdzie ustawiamy równanie na 0. W tym przypadku obie strony odejmujemy przez 12, aby otrzymać 2x. - 14 = 0.
   • Niektóre wartości mogą wynosić zero. Chociaż 2x - 14 = 0 jest najprostszą formą równania, to w rzeczywistości jego kwadrat to 2x + 0x + (-14) = 0. Pomaga to Popraw postać równania kwadratowego, nawet jeśli niektóre wartości wynoszą 0.

3. 

   Rozwiąż równanie, wstawiając znane współczynniki do wzoru rozwiązania. Wzór kwadratowy (x = (-b +/- √ (b - 4ac)) / 2a) pomoże nam rozwiązać problem znalezienia x w tym miejscu. Nie bój się, ponieważ formuła wydaje się długa. Po prostu weź wartości z równania kwadratowego w kroku drugim i zamień je na odpowiednie pozycje przed rozwiązaniem.
   • x = (-b +/- √ (b - 4ac)) / 2a. W równaniu 2x - 14 = 0, a = 2, b = 0 i c = -14.
   • x = (-0 +/- √ (0 - 4 (2) (- 14))) / 2 (2)
   • x = (+/- √ (0 - -112)) / 2 (2)
   • x = (+/- √ (112)) / 2 (2)
   • x = (+/- 10,58 / 4)
   • x = +/- 2.64

4. 

   Sprawdź swoje odpowiedzi, podłączając x z powrotem do swojego równania kwadratowego. Zastępując znalezione x z powrotem w równaniu kwadratowym z kroku drugiego, możesz łatwo określić, czy twoja odpowiedź jest prawdziwa, czy fałszywa. W tym przykładzie w oryginalnym równaniu kwadratowym zastąpisz zarówno 2,64, jak i -2,64. Reklama

Rada

• Zamiana ułamków na ułamki o równej wartości jest w rzeczywistości formą pomnożenia ich przez 1. Podczas zamiany 1/2 na 2/4, w rzeczywistości mnożymy licznik i mianownik przez 2 lub mnożymy. 1/2 z 2/2, co równa się 1.
• W razie potrzeby zamień liczbę mieszaną na ułamek nieregularny, aby ułatwić konwersję. Oczywiście nie każdy napotkany ułamek jest tak łatwy do konwersji, jak nasz przykład 4/8 powyżej. Na przykład liczby mieszane (na przykład 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3 itd.) Mogą sprawić, że przejście będzie nieco bardziej skomplikowane. Jeśli chcesz zamienić liczbę mieszaną na ułamek równoważny, możesz to zrobić na dwa sposoby: przekonwertować liczbę mieszaną na ułamek nieregularny, a następnie przekonwertować jak zwykle, lub zachowaj liczbę mieszaną i potraktuj ją jako odpowiedź.
  • Aby przekonwertować ułamek nieregularny, pomnóż część całkowitą liczby mieszanej przez mianownik ułamka, a następnie dodaj ją do licznika. Na przykład 1 2/3 = ((1 × 3) + 2) / 3 = 5/3. Następnie, jeśli chcesz, możesz przekonwertować na równoważne ułamki w razie potrzeby. Na przykład 5/3 × 2/2 = 10/6, co nadal jest równe 1 2/3.
  • Nie musimy jednak konwertować na ułamek nieregularny jak powyżej. Zignoruj ​​część całkowitą, zamień tylko część ułamkową, a następnie dodaj część całkowitą z powrotem do przekonwertowanej części ułamkowej. Na przykład dla 3 4/16 spojrzymy tylko na 4/16. 4/16 & dziel; 4/4 = 1/4. Dodając z powrotem część całkowitą, mamy nową liczbę mieszaną 3 1/4.

Ostrzeżenie

• Mnożenie i dzielenie służy do tworzenia równoważnych ułamków, ponieważ mnożenie i dzielenie przez formę ułamkową liczby 1 (2/2, 3/3 itd.) Z definicji nie ma wpływu na wartości ułamkowe. oryginalny. Dodawanie i odejmowanie tego nie robią.
• Chociaż mnożymy mianownik i mianownik podczas mnożenia ułamków, nie można dodawać ani odejmować mianownika podczas dodawania lub odejmowania ułamków.
  • W powyższym przykładzie widzimy, że 4/8 ÷ 4/4 = 1/2. Jeśli zamiast tego ja plus za 4/4 odpowiedź będzie zupełnie inna. 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 dobrze 3/2brak odpowiedzi równa się 4/8.