Zawartość

• Do kroku
• Część 1 z 4: Sporządzanie macierzy
• Część 2 z 4: Nauka operacji rozwiązywania systemu z macierzą
• Część 3 z 4: Połącz kroki, aby rozwiązać galaktykę
• Część 4 z 4: Sprawdzanie rozwiązania
• Porady

Macierz to bardzo przydatny sposób przedstawiania liczb w formacie blokowym, którego można następnie użyć do rozwiązania układu równań liniowych. Jeśli masz tylko dwie zmienne, prawdopodobnie użyjesz innej metody. Przeczytaj o tym w części Rozwiązywanie układu równań, aby zapoznać się z przykładami innych metod. Ale jeśli masz trzy lub więcej zmiennych, tablica jest idealna. Używając wielokrotnych kombinacji mnożenia i dodawania, możesz systematycznie dochodzić do rozwiązania.

Do kroku

Część 1 z 4: Sporządzanie macierzy

1. Sprawdź, czy masz wystarczające dane. Aby uzyskać unikalne rozwiązanie dla każdej zmiennej w układzie liniowym za pomocą macierzy, musisz mieć tyle równań, ile wynosi liczba zmiennych, które próbujesz rozwiązać. Na przykład: przy zmiennych x, yiz potrzebujesz trzech równań. Jeśli masz cztery zmienne, potrzebujesz czterech równań.
   • Jeśli masz mniej równań niż liczba zmiennych, poznasz pewne granice zmiennych (np. X = 3y i y = 2z), ale nie możesz uzyskać dokładnego rozwiązania. W tym artykule będziemy pracować tylko nad unikalnym rozwiązaniem.
2. Napisz swoje równania w standardowej formie. Zanim umieścisz dane z równań w postaci macierzowej, najpierw napisz każde równanie w standardowej formie. Standardową postacią równania liniowego jest Ax + By + Cz = D, gdzie wielkie litery to współczynniki (liczby), a ostatnia liczba (w tym przykładzie D) znajduje się na prawo od znaku równości.
   • Jeśli masz więcej zmiennych, po prostu kontynuuj linię tak długo, jak potrzebujesz. Na przykład, jeśli próbujesz rozwiązać system z sześcioma zmiennymi, Twój domyślny kształt będzie wyglądał następująco: Au + Bv + Cw + Dx + Ey + Fz = G. W tym artykule skupimy się na systemach z tylko trzema zmiennymi. Rozwiązanie większej galaktyki jest dokładnie takie samo, ale zajmuje więcej czasu i więcej kroków.
   • Zauważ, że w standardowej formie operacje między terminami są zawsze dodatkiem. Jeśli w Twoim równaniu występuje odejmowanie, zamiast dodawania, będziesz musiał później nad tym popracować, ustawiając współczynnik na ujemny. Aby było to łatwiejsze do zapamiętania, możesz przepisać równanie i dodać operację, aby współczynnik stał się ujemny. Na przykład możesz przepisać równanie 3x-2y + 4z = 1 na 3x + (- 2y) + 4z = 1.
3. Umieść liczby z układu równań w macierzy. Macierz to zbiór liczb ułożonych w rodzaj tabeli, za pomocą których będziemy pracować nad rozwiązaniem układu. Zasadniczo zawiera te same dane, co same równania, ale w prostszym formacie. Aby macierz twoich równań była w standardowej formie, po prostu skopiuj współczynniki i wynik każdego równania do jednego wiersza i ułóż te wiersze jeden na drugim.
   • Załóżmy, że masz układ składający się z trzech równań 3x + y-z = 9, 2x-2y + z = -3 i x + y + z = 7. Górny wiersz twojej macierzy będzie zawierał liczby 3, 1, -1, 9, ponieważ są to współczynniki i rozwiązanie pierwszego równania. Zauważ, że zakłada się, że każda zmienna, która nie ma współczynnika, ma współczynnik 1. Drugi wiersz macierzy to 2, -2, 1, -3, a trzeci wiersz to 1, 1, 1, 7.
   • Upewnij się, że współczynniki x w pierwszej kolumnie zostały wyrównane, współczynniki y w drugiej, współczynniki z w trzeciej, a warunki rozwiązania w czwartej. Po zakończeniu pracy z macierzą te kolumny będą ważne podczas pisania rozwiązania.
4. Narysuj duży kwadratowy nawias wokół całej macierzy. Zgodnie z konwencją macierz jest oznaczona parą nawiasów kwadratowych [] wokół całego bloku liczb. Nawiasy w żaden sposób nie wpływają na rozwiązanie, ale wskazują, że pracujesz z macierzami. Macierz może składać się z dowolnej liczby wierszy i kolumn. W tym artykule użyjemy nawiasów wokół terminów w wierszu, aby wskazać, że należą one do siebie.
5. Użycie wspólnej symboliki. Podczas pracy z macierzami często odwołuje się do wierszy skrótem R, a do kolumn skrótem C. Wraz z tymi literami można używać liczb, aby wskazać konkretny wiersz lub kolumnę. Na przykład, aby wskazać wiersz 1 macierzy, możesz napisać R1. Wiersz 2 staje się wtedy R2.
   • Możesz wskazać dowolną konkretną pozycję w macierzy, używając kombinacji R i C. Na przykład, aby wskazać termin w drugim wierszu, trzeciej kolumnie, możesz nazwać go R2C3.

Część 2 z 4: Nauka operacji rozwiązywania systemu z macierzą

1. Zrozumieć kształt macierzy rozwiązania. Zanim zaczniesz rozwiązywać układ równań, musisz zrozumieć, co zamierzasz zrobić z macierzą. W tym momencie masz macierz, która wygląda tak:
   • 3 1 -1 9
   • 2 -2 1 -3
   • 1 1 1 7
   • Pracujesz z wieloma podstawowymi operacjami, aby utworzyć „macierz rozwiązań”. Macierz rozwiązania będzie wyglądać następująco:
   • 1 0 0 x
   • 0 1 0 lat
   • 0 0 1 z
   • Zwróć uwagę, że macierz składa się z jedynek na ukośnej linii z zerami we wszystkich innych przestrzeniach z wyjątkiem czwartej kolumny. Liczby w czwartej kolumnie są rozwiązaniem dla zmiennych x, y i z.
2. Użyj mnożenia przez skalar. Pierwszym narzędziem do rozwiązania układu za pomocą macierzy jest mnożenie przez skalar. Jest to po prostu termin, który oznacza, że ​​mnożymy elementy w wierszu macierzy przez stałą liczbę (nie zmienną). Używając mnożenia przez skalar, pamiętaj, że musisz pomnożyć każdy wyraz w całym wierszu przez wybraną liczbę. Jeśli zapomnisz pierwszego terminu i po prostu pomnożysz, otrzymasz złe rozwiązanie. Nie musisz jednak mnożyć całej macierzy w tym samym czasie. W mnożeniu przez skalar pracujesz tylko na jednym wierszu naraz.
   • Często używa się ułamków w mnożeniu przez skalar, ponieważ często chcesz uzyskać przekątny rząd jedynek. Przyzwyczaj się do pracy z ułamkami. Będzie też łatwiej (w przypadku większości kroków rozwiązywania macierzy) móc zapisać ułamki w niewłaściwej formie, a następnie przekonwertować je z powrotem na liczby mieszane, aby uzyskać ostateczne rozwiązanie. Dlatego łatwiej jest pracować z liczbą 1 2/3, jeśli napiszesz ją jako 5/3.
   • Na przykład pierwszy wiersz (R1) naszego przykładowego problemu zaczyna się od wyrazów [3,1, -1,9]. Macierz rozwiązania musi zawierać 1 na pierwszej pozycji pierwszego wiersza. Aby „zmienić” 3 na 1, możemy pomnożyć cały wiersz przez 1/3. Tworzy to nowy R1 ​​równy [1,1 / 3, -1 / 3,3].
   • Pamiętaj, aby zostawić wszelkie negatywne znaki tam, gdzie należą.
3. Użyj dodawania lub odejmowania wierszy. Drugim narzędziem, którego możesz użyć, jest dodanie lub odjęcie dwóch wierszy macierzy. Aby utworzyć warunki 0 w macierzy rozwiązań, musisz dodać lub odjąć liczby, aby uzyskać 0. Na przykład, jeśli R1 ma macierz [1,4,3,2], a R2 to [1,3,5,8], to można odjąć pierwszy wiersz od drugiego i utworzyć nowy wiersz [0, -1, 2,6], ponieważ 1-1 = 0 (pierwsza kolumna), 3-4 = -1 (druga kolumna), 5-3 = 2 (trzecia kolumna) i 8-2 = 6 (czwarta kolumna). Podczas dodawania lub odejmowania wierszy przepisz nowy wynik zamiast wiersza, od którego zacząłeś. W tym przypadku wyodrębnilibyśmy wiersz 2 i wstawilibyśmy nowy wiersz [0, -1,2,6].
   • Możesz użyć skrótu i ​​zadeklarować tę akcję jako R2-R1 = [0, -1,2,6].
   • Pamiętaj, że dodawanie i odejmowanie są po prostu przeciwnymi formami tej samej operacji. Pomyśl o tym jak o dodaniu dwóch liczb lub odjęciu czegoś przeciwnego. Na przykład, jeśli zaczniesz od prostego równania 3-3 = 0, możesz o tym myśleć jako o problemie dodawania 3 + (- 3) = 0. Wynik jest taki sam. Wydaje się to proste, ale czasami łatwiej jest rozważyć problem w takiej czy innej formie. Po prostu miej oko na swoje negatywne objawy.
4. Połącz dodawanie wierszy i mnożenie przez skalar w jednym kroku. Nie możesz oczekiwać, że warunki będą zawsze pasować, więc możesz użyć prostego dodawania lub odejmowania, aby utworzyć zera w swojej macierzy. Częściej będziesz musiał dodać (lub odjąć) wielokrotność z innego wiersza. Aby to zrobić, najpierw wykonujesz mnożenie przez skalar, a następnie dodajesz ten wynik do wiersza docelowego, który próbujesz zmienić.
   • Przypuszczać; że istnieje rząd 1 z [1,1,2,6] i rząd 2 z [2,3,1,1]. Chcesz, aby w pierwszej kolumnie R2 znajdował się termin 0. Oznacza to, że chcesz zmienić 2 na 0. Aby to zrobić, musisz odjąć 2. Możesz otrzymać 2, mnożąc wiersz 1 przez mnożenie przez skalar 2, a następnie odejmując pierwszy wiersz od drugiego. W skrócie można to zapisać jako R2-2 * R1. Najpierw pomnóż R1 przez 2, aby otrzymać [2,2,4,12]. Następnie odejmij to od R2, aby otrzymać [(2-2), (3-2), (1-4), (1-12)]. Uprość to, a twój nowy R2 będzie [0,1, -3, -11].
5. Skopiuj wiersze, które pozostają niezmienione podczas pracy. Podczas pracy nad macierzą będziesz zmieniać po jednym wierszu naraz, albo przez mnożenie przez skalar, dodawanie wierszy, odejmowanie wierszy lub kombinację kroków. Kiedy zmieniasz jeden wiersz, pamiętaj, aby skopiować pozostałe wiersze macierzy w ich oryginalnej formie.
   • Typowy błąd występuje podczas wykonywania połączonego kroku mnożenia i dodawania w jednym ruchu. Na przykład, powiedzmy, że musisz dwukrotnie odjąć R1 od R2. Kiedy pomnożymy R1 przez 2, aby wykonać ten krok, pamiętaj, że R1 nie zmienia się w macierzy. Mnożenie odbywa się tylko po to, aby zmienić R2. Najpierw skopiuj R1 w jego oryginalnej formie, a następnie wprowadź zmianę na R2.
6. Pierwsza praca od góry do dołu. Aby rozwiązać system, pracujesz według bardzo zorganizowanego schematu, zasadniczo „rozwiązując” po jednym członie macierzy na raz. Sekwencja dla tablicy z trzema zmiennymi będzie wyglądać następująco:
   • 1. Zrób 1 w pierwszym wierszu, pierwszej kolumnie (W1K1).
   • 2. Zrób 0 w drugim wierszu, pierwszej kolumnie (R2C1).
   • 3. Zrób 1 w drugim rzędzie w drugiej kolumnie (R2C2).
   • 4. Zrób 0 w trzecim wierszu, pierwszej kolumnie (R3C1).
   • 5. Zrób 0 w trzecim wierszu, drugiej kolumnie (R3C2).
   • 6. Zrób 1 w trzecim rzędzie, trzeciej kolumnie (R3C3).
7. Wracaj od dołu do góry. W tym momencie, jeśli wykonałeś kroki poprawnie, jesteś w połowie rozwiązania. Musisz mieć ukośną linię jedynek, a pod nią 0. W tym momencie liczby w czwartej kolumnie nie mają znaczenia. Teraz wracamy na górę następująco:
   • Utwórz 0 w drugim wierszu, trzeciej kolumnie (R2C3).
   • Utwórz 0 w pierwszym wierszu, trzeciej kolumnie (W1K3).
   • Utwórz 0 w pierwszym wierszu, drugiej kolumnie (W1K2).
8. Sprawdź, czy utworzyłeś macierz rozwiązań. Jeśli twoja praca jest poprawna, utworzyłeś macierz rozwiązania z 1-ami w linii ukośnej R1C1, R2C2, R3C3 i 0 w pozostałych pozycjach pierwszych trzech kolumn. Liczby w czwartej kolumnie to rozwiązania dla twojego systemu liniowego.

Część 3 z 4: Połącz kroki, aby rozwiązać galaktykę

1. Zacznij od przykładowego układu równań liniowych. Aby przećwiczyć te kroki, zacznijmy od systemu, którego używaliśmy wcześniej: 3x + y-z = 9, 2x-2y + z = -3 i x + y + z = 7. Jeśli zapiszesz to w macierzy, masz R1 = [3,1, -1,9], R2 = [2, -2,1, -3] i R3 = [1,1,1,7].
2. Utwórz 1 na pierwszej pozycji R1C1. Zauważ, że w tym miejscu R1 zaczyna się od 3. Musisz zmienić to na 1. Możesz to zrobić mnożąc przez skalar mnożąc wszystkie cztery wyrazy R1 przez 1/3. W skrócie możesz zapisać jako R1 * 1/3. Daje to nowy wynik dla R1, jeśli R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3]. Skopiuj R2 i R2, niezmienione, gdy R2 = [2, -2,1, -3] i R3 = [1,1,1,7].
   • Zwróć uwagę, że mnożenie i dzielenie są tylko wzajemnymi funkcjami odwrotnymi. Można powiedzieć, że mnożymy przez 1/3 lub dzielimy przez 3, bez zmiany wyniku.
3. Utwórz 0 w drugim wierszu, pierwszej kolumnie (R2C1). W tym momencie R2 = [2, -2,1, -3]. Aby zbliżyć się do macierzy rozwiązania, musisz zmienić pierwszy wyraz z 2 na 0. Możesz to zrobić odejmując podwójną wartość R1, ponieważ R1 zaczyna się od 1. W skrócie, operacja R2-2 * R1. Pamiętaj, nie zmieniasz R1, po prostu z nim pracuj. Więc najpierw skopiuj R1, jeśli R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3]. Następnie, jeśli podwoisz każdy wyraz R1, otrzymasz 2 * R1 = [2,2 / 3, -2 / 3,6]. Na koniec odejmij ten wynik od oryginalnego R2, aby uzyskać nowy R2. Po wyrazie roboczym to odejmowanie to (2-2), (-2-2 / 3), (1 - (- 2/3)), (-3-6). Upraszczamy je do nowego R2 = [0, -8 / 3,5 / 3, -9]. Zwróć uwagę, że pierwszy wyraz to 0 (bez względu na cel).
   • Zapisz wiersz 3 (który się nie zmienił) jako R3 = [1,1,1,7].
   • Zachowaj ostrożność podczas odejmowania liczb ujemnych, aby upewnić się, że znaki pozostaną prawidłowe.
   • Teraz najpierw zostawmy ułamki w ich niewłaściwej formie. Ułatwia to późniejsze kroki rozwiązania. Możesz uprościć ułamki w ostatnim kroku problemu.
4. Utwórz 1 w drugim wierszu, drugiej kolumnie (R2C2). Aby dalej tworzyć ukośną linię 1, musisz zamienić drugi wyraz -8/3 na 1. Zrób to, mnożąc cały wiersz przez odwrotność tej liczby (-3/8). Symbolicznie ten krok to R2 * (- 3/8). Wynikowy drugi rząd to R2 = [0,1, -5 / 8,27 / 8].
   • Zwróć uwagę, że jeśli lewa połowa wiersza zacznie przypominać rozwiązanie z 0 i 1, prawa połowa może zacząć wyglądać brzydko, z niewłaściwymi ułamkami. Po prostu zostaw je takimi, jakimi są na razie.
   • Nie zapomnij o dalszym kopiowaniu nietkniętych wierszy, więc R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3] i R3 = [1,1,1,7].
5. Utwórz 0 w trzecim wierszu, pierwszej kolumnie (R3C1). Twoje skupienie przenosi się teraz do trzeciego rzędu, R3 = [1,1,1,7]. Aby uzyskać 0 na pierwszej pozycji, musisz odjąć 1 od 1 aktualnie na tej pozycji. Jeśli spojrzysz w górę, na pierwszej pozycji R1 znajduje się 1. Więc wystarczy odjąć R1 od R3, aby uzyskać wymagany wynik. Termin roboczy dla terminu to (1-1), (1-1 / 3), (1 - (- 1/3)), (7-3). Te cztery miniproblemy można następnie uprościć do nowego R3 = [0,2 / 3,4 / 3,4].
   • Kontynuuj kopiowanie wzdłuż R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3] i R2 = [0,1, -5 / 8,27 / 8]. Pamiętaj, że zmieniasz tylko jeden wiersz na raz.
6. Zrób 0 w trzecim wierszu, drugiej kolumnie (R3C2). Ta wartość wynosi obecnie 2/3, ale należy ją przekonwertować na 0. Na pierwszy rzut oka wygląda na to, że można odjąć wartości R1 dwukrotnie, ponieważ odpowiednia kolumna R1 zawiera 1/3. Jeśli jednak podwoisz i odejmiesz wszystkie wartości R1, 0 w pierwszej kolumnie R3 zmieni się, czego nie chcesz. Byłby to krok wstecz w twoim rozwiązaniu. Musisz więc pracować z jakąś kombinacją R2. Odejmowanie 2/3 od R2 tworzy 0 w drugiej kolumnie, bez zmiany pierwszej kolumny. W skrócie jest to R3-2 / 3 * R2. Poszczególne terminy to (0-0), (2 / 3-2 / 3), (4/3 - (- 5/3 * 2/3)), (4-27 / 8 * 2/3) . Uproszczenie daje zatem R3 = [0,0,42 / 24,42 / 24].
7. Utwórz 1 w trzecim wierszu, trzeciej kolumnie (R3C3). Jest to zwykłe pomnożenie przez odwrotność liczby, którą mówi. Bieżąca wartość to 42/24, więc możesz pomnożyć przez 24/42, aby uzyskać żądaną wartość 1. Zauważ, że oba pierwsze wyrazy są równe 0, więc każde mnożenie pozostaje równe 0. Nowa wartość R3 = [0,0,1,1].
   • Zauważ, że ułamki, które wydawały się dość skomplikowane w poprzednim kroku, już zaczynają się rozwiązywać.
   • Kontynuuj z R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3] i R2 = [0,1, -5 / 8,27 / 8].
   • Zauważ, że w tym momencie masz przekątną 1 dla swojej macierzy rozwiązania. Aby znaleźć rozwiązanie, wystarczy przekonwertować trzy elementy macierzy na 0.
8. Utwórz 0 w drugim rzędzie, trzeciej kolumnie. R2 wynosi obecnie [0,1, -5 / 8,27 / 8], z wartością -5/8 w trzeciej kolumnie. Musisz przekształcić to na 0. Oznacza to, że musisz wykonać jakąś operację na R3, która polega na dodaniu 5/8. Ponieważ odpowiadająca trzecia kolumna R3 to 1, należy pomnożyć wszystkie wartości R3 przez 5/8 i dodać wynik do R2. W skrócie jest to R2 + 5/8 * R3. Termin na termin to R2 = (0 + 0), (1 + 0), (-5 / 8 + 5/8), (27/8 + 5/8). Można to uprościć do R2 = [0,1,0,4].
   • Następnie skopiuj R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3] i R3 = [0,0,1,1].
9. Utwórz 0 w pierwszym wierszu, trzeciej kolumnie (W1K3). W pierwszym rzędzie jest obecnie R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3]. Musisz przekonwertować -1/3 w trzeciej kolumnie na 0, używając jakiejś kombinacji R3. Nie chcesz używać R2, ponieważ 1 w drugiej kolumnie R2 zmieniłby R1 w niewłaściwy sposób. Więc mnożysz R3 * 1/3 i dodajesz wynik do R1. Notacja to R1 + 1/3 * R3. Termin na określenie terminu daje w wyniku R1 = (1 + 0), (1/3 + 0), (-1 / 3 + 1/3), (3 + 1/3). Możesz uprościć to do nowego R1 = [1,1 / 3,0,10 / 3].
   • Skopiuj niezmienione R2 = [0,1,0,4] i R3 = [0,0,1,1].
10. Wpisz 0 w pierwszym wierszu, drugiej kolumnie (W1K2). Jeśli wszystko zostanie wykonane poprawnie, powinien to być ostatni krok. Musisz przeliczyć 1/3 w drugiej kolumnie na 0. Możesz to uzyskać mnożąc i odejmując R2 * 1/3. Krótko mówiąc, jest to R1-1 / 3 * R2. Wynik to R1 = (1-0), (1 / 3-1 / 3), (0-0), (10 / 3-4 / 3). Uproszczenie daje zatem R1 = [1,0,0,2].
11. Wyszukaj macierz rozwiązań. W tym momencie, gdyby wszystko poszło dobrze, miałbyś trzy wiersze R1 = [1,0,0,2], R2 = [0,1,0,4] i R3 = [0,0,1,1] winien jest mieć. Zauważ, że jeśli zapiszesz to w formie macierzy blokowej z wierszami jeden nad drugim, masz przekątne 1 z 0 dalej, a twoje rozwiązania znajdują się w czwartej kolumnie. Macierz rozwiązania powinna wyglądać następująco:
    • 1 0 0 2
    • 0 1 0 4
    • 0 0 1 1
12. Zrozumienie rozwiązania. Po przekształceniu równań liniowych w macierz należy umieścić współczynniki x w pierwszej kolumnie, współczynniki y w drugiej kolumnie, współczynniki z w trzeciej kolumnie. Jeśli chcesz ponownie zapisać macierz do równań, te trzy wiersze macierzy oznaczają w rzeczywistości trzy równania 1x + 0y + 0z = 2, 0x + 1y + 0z = 4 i 0x + 0y + 1z = 1. Ponieważ możemy skreślić 0 składników i nie musimy zapisywać 1 współczynników, te trzy równania upraszczają rozwiązanie, x = 2, y = 4 i z = 1. To jest rozwiązanie twojego układu równań liniowych.

Część 4 z 4: Sprawdzanie rozwiązania

1. Uwzględnij rozwiązania w każdej zmiennej w każdym równaniu. Zawsze dobrze jest sprawdzić, czy Twoje rozwiązanie jest rzeczywiście poprawne. Robisz to, testując swoje wyniki w oryginalnych równaniach.
   • Pierwotne równania dla tego problemu brzmiały: 3x + y-z = 9, 2x-2y + z = -3 i x + y + z = 7. Po zastąpieniu zmiennych ich znalezionymi wartościami otrzymamy 3 * 2 + 4-1 = 9, 2 * 2-2 * 4 + 1 = -3 i 2 + 4 + 1 = 7.
2. Uprość każde porównanie. Wykonaj operacje w każdym równaniu zgodnie z podstawowymi zasadami operacji. Pierwsze równanie upraszcza się do 6 + 4-1 = 9 lub 9 = 9. Drugie równanie można uprościć do 4-8 + 1 = -3 lub -3 = -3. Ostatnie równanie to po prostu 7 = 7.
   • Ponieważ każde równanie upraszcza się do prawdziwego zdania matematycznego, Twoje rozwiązania są poprawne. Jeśli którekolwiek z rozwiązań jest niepoprawne, sprawdź ponownie swoją pracę i poszukaj błędów. Przy usuwaniu znaków minus po drodze lub myleniu mnożenia i dodawania ułamków występują pewne typowe błędy.
3. Wypisz swoje ostateczne rozwiązania. Dla tego zadanego problemu ostatecznym rozwiązaniem jest x = 2, y = 4 iz = 1.

Porady

• Jeśli twój system równań jest bardzo złożony i zawiera wiele zmiennych, możesz użyć kalkulatora graficznego zamiast wykonywać pracę ręcznie. Aby uzyskać informacje na ten temat, możesz również zapoznać się z wikiHow.