Zawartość

• Kroki
• Rada

Równanie kwadratowe jest wielomianem jednej zmiennej, gdzie 2 jest najwyższym wykładnikiem tej zmiennej. Istnieją trzy główne sposoby rozwiązywania równań kwadratowych: 1) podziel równanie na czynniki, jeśli to możliwe, 2) użyj wzoru kwadratowego lub 3) uzupełnij kwadrat. Wykonaj poniższe czynności, aby nauczyć się biegle posługiwać się tymi trzema metodami.

Kroki

Metoda 1 z 3: Analiza równań na czynniki

1. 

   Dodaj wszystkie te same terminy i przenieś je na jedną stronę równania. Pierwszym krokiem w analizie czynnikowej jest odłożenie wszystkich jej warunków na bok, tak aby były pozytywne. Aby połączyć terminy, dodaj lub odejmij wszystkie terminy, wszelkie zawierające je terminy i stałe (terminy są liczbami całkowitymi), zamień je na jedną stronę i nie zostawiaj niczego po drugiej stronie. Następnie możesz napisać „0” po drugiej stronie znaku równości. Oto jak to zrobić:

2. 

   
   
   Przeanalizuj wyrażenie pod kątem współczynnika. Aby rozłożyć na czynniki wyrażenie, należy użyć współczynników wyrażenia zawierającego (3) i współczynników stałej (-4), aby je pomnożyć, a następnie dodać do wyrażenia środkowego (-11). . Oto jak to zrobić:
   • Ponieważ istnieje tylko jeden możliwy zestaw współczynników i możesz go przepisać w nawiasach w następujący sposób:
   • Następnie użyj redukcji, aby połączyć współczynniki 4, aby znaleźć kombinację, która daje -11x po pomnożeniu. Możesz użyć 4 i 1 lub 2 i 2, ponieważ oba mają iloczyn 4. Pamiętaj tylko, że czynnik musi być ujemny, ponieważ nasz wyraz wynosi -4.
   • Metodą testową sprawdzimy kombinację czynników. Kiedy wykonujemy mnożenie, otrzymujemy. Dodaj warunki i mamy dokładnie średni okres, do którego dążymy. Więc właśnie rozłożyliśmy na czynniki funkcję kwadratową.
   • Jako przykład tego testu przyjrzyjmy się błędnej (niepoprawnej) kombinacji: =. Łącząc te warunki, uzyskamy. Chociaż prawdą jest, że -2 i 2 mają iloczyny równe -4, wyrażenie pomiędzy nie jest poprawne, ponieważ tego nie potrzebujemy.

3. 

   
   
   Niech każde wyrażenie w nawiasach będzie równe zero jako indywidualne równania. Stamtąd znajdź dwie wartości, które sprawią, że ogólne równanie będzie równe zero = 0. Teraz, po rozłożeniu równania na czynniki, wystarczy ująć wyrażenie w nawiasach z zerem. Czemu? Dzieje się tak, ponieważ dla produktu zerowego mamy „zasadę, prawo lub własność”, że współczynnik musi wynosić zero. Dlatego przynajmniej jedna wartość w nawiasach musi wynosić zero; czyli (3x + 1) lub (x - 4) musi wynosić zero. Więc mamy albo.

4. 

   
   
   Rozwiąż każde z tych równań „zerowych” niezależnie. Równania kwadratowe mają dwa możliwe rozwiązania. Znajdź każde możliwe rozwiązanie dla zmiennej x, oddzielając zmienną i zapisując jej dwa rozwiązania jako wynik końcowy. Oto jak:
   • Rozwiąż 3x + 1 = 0
     • Odejmij dwie strony: 3x = -1 .....
     • Podziel dwie strony: 3x / 3 = -1/3 .....
     • Zwiń: x = -1/3 .....
   • Rozwiąż x - 4 = 0
     • Odejmij dwie strony: x = 4 .....
   • Napisz własne możliwe rozwiązania: x = (-1/3, 4) ..... to znaczy x = -1/3 lub x = 4 są poprawne.

5. 

   Sprawdź x = -1/3 cala (3x + 1) (x - 4) = 0:
   
   Zamiast wyrażenia mamy (3 + 1)( – 4) ?=? 0..... Zwiń: (-1 + 1) (- 4 1/3)? =? 0 ..... Wykonaj mnożenie, otrzymujemy (0) (- 4 1/3) = 0 ..... 0 = 0 ..... Racja, x = -1/3 jest rozwiązaniem równanie.

6. 

   Sprawdź x = 4 cale (3x + 1) (x - 4) = 0:
   
   Zamiast wyrażenia mamy (3 + 1)( – 4) ?=? 0 ..... Zwiń, otrzymujemy: (13) (4 - 4)? =? 0 ..... Wykonaj mnożenie: (13) (0) = 0 ..... 0 = 0 ..... Racja, x = 4 jest rozwiązaniem równania.
   • Zatem oba te możliwe rozwiązania zostały „przetestowane” indywidualnie i można potwierdzić, że oba rozwiązują problem i są dwoma oddzielnymi prawdziwymi rozwiązaniami.
   Reklama

Metoda 2 z 3: Użyj wzoru kwadratowego

1. 

   Dodaj wszystkie te same terminy i przenieś je na jedną stronę równania. Przenosi wszystkie wyrazy na jedną stronę znaku równości, tak aby termin zawierał znak dodatni. Przepisz wyrazy w porządku malejącym, co oznacza, że ​​termin pojawia się jako pierwszy, po nim następuje i na końcu stała. Oto jak:
   • 4x - 5x - 13 = x -5
   • 4x - x - 5x - 13 +5 = 0
   • 3x - 5x - 8 = 0

2. 

   Zapisz swój wzór kwadratowy. To jest:

3. 

   Określ wartości a, b i c w równaniu kwadratowym. Na zewnątrz za jest współczynnikiem x, b jest współczynnikiem x i do jest stała. Z równaniem 3x -5x - 8 = 0, a = 3, b = -5, ic = -8. Zapisz na papierze.

4. 

   Podłącz wartości a, b i c do równania. Teraz, gdy znasz już wartości trzech powyższych zmiennych, możesz umieścić je w równaniu w następujący sposób:
   • {-b +/- √ (b - 4ac)} / 2
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - 4(3)(-8))}/2(3) =
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3)

5. 

   Wykonaj obliczenia. Po zastąpieniu liczb wykonaj resztę obliczeń, aby zredukować znaki dodatnie lub ujemne, pomnożyć lub podnieść do kwadratu pozostałe wyrazy. Oto jak:
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3) =
   • {5 +/-√(25 + 96)}/6
   • {5 +/-√(121)}/6

6. 

   Zwiń pierwiastek kwadratowy. Jeśli pod radykalnym znakiem znajduje się idealny kwadrat, otrzymasz liczbę całkowitą. Jeśli nie jest to idealny kwadrat, zredukuj go do najprostszej radykalnej formy. Jeśli to jest negatywne, i na pewno powinno być ujemnerozwiązanie będzie dość skomplikowane. W tym przykładzie √ (121) = 11. Moglibyśmy napisać: x = (5 +/- 11) / 6.

7. 

   Znajdź rozwiązania pozytywne i negatywne. Jeśli usunąłeś pierwiastek kwadratowy, możesz kontynuować, aż znajdziesz dodatnie i ujemne rozwiązania x. Teraz, gdy masz (5 +/- 11) / 6, możesz wpisać dwie opcje:
   • (5 + 11)/6
   • (5 - 11)/6

8. 

   Znajdź pozytywne i negatywne rozwiązania. Musimy tylko wykonać obliczenia:
   • (5 + 11)/6 = 16/6
   • (5-11)/6 = -6/6

9. 

   Zawalić się. Aby skrócić odpowiedzi, wystarczy podzielić licznik i model przez ich największy wspólny dzielnik. Podziel licznik i mianownik pierwszego ułamka przez 2, a mianownik i mianownik drugiego ułamka przez 6 i otrzymałeś x.
   • 16/6 = 8/3
   • -6/6 = -1
   • x = (-1, 8/3)
   Reklama

Metoda 3 z 3: Uzupełnij kwadrat

1. 

   Przenieś wszystkie wyrazy na jedną stronę równania. Upewnij się, że za lub x ma znak dodatni. Oto jak:
   • 2x - 9 = 12x =
   • 2x - 12x - 9 = 0
     • W tym równaniu za równe 2, b równa się -12 i do równa -9.

2. 

   Przeniósł się na do lub stała po drugiej stronie. Stałe to terminy numeryczne, które nie zawierają zmiennych. Przenieśmy to na prawą stronę równania:
   • 2x - 12x - 9 = 0
   • 2x - 12x = 9

3. 

   Podziel obie strony przez współczynniki za lub współczynnik x. Jeśli x nie ma przed sobą terminu, to jego współczynnik wynosi 1 i możesz pominąć ten krok. W naszym przypadku musiałbyś podzielić wszystkie wyrazy w równaniu przez 2, w ten sposób:
   • 2x / 2 - 12x / 2 = 9/2 =
   • x - 6x = 9/2

4. 

   Dzielić b o dwa, wyrównaj go i dodaj wynik po obu stronach. W tym przykładzie b równa się -6. Wykonujemy następujące czynności:
   • -6/2 = -3 =
   • (-3) = 9 =
   • x - 6x + 9 = 9/2 + 9

5. 

   Zwiń dwie strony. Aby wziąć pod uwagę lewą stronę, mamy (x-3) (x-3) lub (x-3). Dodaj prawą stronę, aby uzyskać 9/2 + 9 lub 9/2 + 18/2 i uzyskaj 2/27.

6. 

   Znajdź pierwiastek kwadratowy z obu stron. Pierwiastek kwadratowy z (x-3) to (x-3). Możesz wyrazić pierwiastek kwadratowy z 27/2 jako ± √ (27/2). Zatem x - 3 = ± √ (27/2).

7. 

   Zwiń radykalny znak i znajdź x. Aby zmniejszyć ± √ (27/2), znajdujemy kwadrat w granicach 27, 2 lub jego współczynnik. Idealny kwadrat 9 to 27, ponieważ 9x3 = 27. Aby usunąć 9 ze znaku rodnika, wyciągamy go i piszemy 3, jego pierwiastek kwadratowy, oprócz znaku rodnika. Pozostały współczynnik 3 w liczniku nie może zostać wyprowadzony, więc pozostaje poniżej znaku rodnika. Jednocześnie zostawiamy 2 w próbce frakcji. Następnie przenieś stałą 3 po lewej stronie równania w prawo i zapisz dwa rozwiązania:
   • x = 3 + (√6) / 2
   • x = 3 - (√6) / 2)
   Reklama

Rada

• Jak widać, radykalny znak nie znika całkowicie. Dlatego wyrazy w liczniku nie mogą się kumulować (ponieważ nie są wyrazy tej samej właściwości). Dlatego podział na plus lub minus jest bez znaczenia. Zamiast tego możemy podzielić wszystkie wspólne czynniki, ale WŁAŚNIE kiedy stała I Współczynniki dowolnego rodnika również zawierają ten czynnik.
• Jeśli znak radykalny nie jest idealnym kwadratem, kilka ostatnich kroków można wykonać nieco inaczej. Jak na przykład:
• Jeśli „b” jest liczbą parzystą, wzór będzie wyglądał tak: {- (b / 2) +/- √ (b / 2) -ac} / a.