Jak zrobić dowód matematyczny

Wideo: Jak przygotować się do Olimpiady Matematycznej?

Zawartość

Kroki
Metoda 1 z 3: Zrozum sformułowanie problemu
Metoda 2 z 3: Sformułuj dowód
Metoda 3 z 3: Zapisz dowody
Porady

Znalezienie dowodu matematycznego może być trudnym zadaniem, ale znajomość matematyki i napisanie dowodu pomoże ci. Niestety nie ma szybkich i łatwych metod na naukę rozwiązywania problemów matematycznych. Konieczne jest prawidłowe przestudiowanie tematu i zapamiętanie podstawowych twierdzeń i definicji, które przydadzą się przy dowodzeniu konkretnego postulatu matematycznego. Przestudiuj przykłady dowodów matematycznych i ćwicz się, aby poprawić swoje umiejętności.

Kroki

Metoda 1 z 3: Zrozum sformułowanie problemu

1 Określ, co chcesz znaleźć. Pierwszym krokiem jest ustalenie, co dokładnie należy udowodnić. Między innymi to określi ostatnie stwierdzenie w twoim dowodzie. Na tym etapie powinieneś również przyjąć pewne założenia, w ramach których będziesz pracować. Aby lepiej zrozumieć problem i zacząć go rozwiązywać, dowiedz się, co musisz udowodnić i dokonaj niezbędnych założeń.
2 Narysuj rysunek. Przy rozwiązywaniu problemów matematycznych czasami przydaje się zobrazowanie ich w formie obrazka lub diagramu. Jest to szczególnie ważne w przypadku problemów geometrycznych – rysunek pomaga zwizualizować stan i znacznie ułatwia poszukiwanie rozwiązania.
- Tworząc zdjęcie lub diagram, korzystaj z danych podanych w warunku. Zaznacz znane i nieznane wielkości na rysunku.
- Rysunek ułatwi ci odnalezienie dowodów.
3 Przestudiuj dowody podobnych twierdzeń. Jeśli nie możesz od razu znaleźć rozwiązania, znajdź podobne twierdzenia i zobacz, jak są udowodnione.
- Zauważ, że musisz podać powody dla każdego kroku dowodu. Zobacz, jak różne twierdzenia są sprawdzane w Internecie lub w podręcznikach do matematyki.
4 Zadawać pytania. W porządku, jeśli nie uda ci się od razu znaleźć dowodu.Jeśli nie masz pewności, zapytaj o to swojego nauczyciela lub kolegów z klasy. Być może twoi towarzysze mają te same pytania i możecie je wspólnie rozwiązać. Lepiej zadać kilka pytań, niż bezskutecznie szukać dowodów w kółko.
- Idź do nauczyciela po lekcjach i dowiedz się o niejasnych pytaniach.

Metoda 2 z 3: Sformułuj dowód

1 Sformułuj dowód matematyczny. Dowód matematyczny to sekwencja zdań poparta twierdzeniami i definicjami, która dowodzi matematycznego postulatu. Dowody to jedyny sposób na ustalenie, czy zdanie jest matematycznie poprawne.
- Umiejętność zapisywania dowodów matematycznych świadczy o głębokim zrozumieniu problemu i opanowaniu niezbędnych narzędzi (lematy, twierdzenia i definicje).
- Rygorystyczny dowód może pomóc w świeżym spojrzeniu na matematykę i wyczuciu jej fascynacji. Po prostu spróbuj udowodnić stwierdzenie, aby zorientować się w metodach matematycznych.
2 Rozważ swoją publiczność. Zanim zaczniesz nagrywać materiał dowodowy, powinieneś zastanowić się, dla kogo są one przeznaczone i wziąć pod uwagę poziom wiedzy tych osób. Jeśli zapiszesz dowody do dalszej publikacji w czasopiśmie naukowym, będzie to różniło się od tego, kiedy wykonujesz zadanie szkolne.
- Znajomość grupy docelowej pozwoli ci spisać dowody, jednocześnie szkoląc czytelników, aby je rozumieli.
3 Określ rodzaj dowodu. Istnieje kilka rodzajów dowodów matematycznych, a wybór konkretnej formy zależy od grupy docelowej i rozwiązywanego problemu. Jeśli nie masz pewności, który gatunek wybrać, skontaktuj się z nauczycielem. W szkole średniej wymagany jest dowód w dwóch kolumnach.
- Pisząc dowody w dwóch kolumnach, jedna rejestruje początkowe dane i oświadczenia, a druga - odpowiednie dowody tych oświadczeń. Ta forma zapisu jest często używana przy rozwiązywaniu problemów geometrycznych.
- W mniej formalny sposób pisania dowodów stosuje się konstrukcje poprawne gramatycznie i mniej symboli. Na wyższych poziomach jest to notacja, której należy używać.
4 Naszkicuj dowód w dwóch kolumnach. Ta forma pomaga uporządkować myśli i konsekwentnie rozwiązać problem. Podziel stronę na pół pionową linią, a po lewej stronie napisz swoje oryginalne dane i wynikające z nich stwierdzenia. Zapisz odpowiednie definicje i twierdzenia po prawej stronie każdego stwierdzenia.
- Na przykład:
- narożniki A i B sąsiadują - podano;
- kąt ABC jest spłaszczony — definiuje spłaszczony narożnik;
- kąt ABC wynosi 180 ° - definiując linię prostą;
- kąt A + kąt B = kąt ABC - zasada dodawania kątów;
- kąt A + kąt B = 180 ° - podstawienie;
- kąt A jest komplementarny do kąta B - definicja dodatkowych kątów;
- co było do okazania
5 Zapisz dwukolumnowy dowód jako dowód nieformalny. Jako podstawę użyj dwukolumnowego wpisu i napisz dowód w krótszej formie, z mniejszą liczbą symboli i skrótów.
- Na przykład: załóżmy, że rogi A i B przylegają do siebie. Zgodnie z hipotezą kąty te wzajemnie się uzupełniają. Kiedy sąsiadują, kąt A i kąt B tworzą linię prostą. Jeśli boki narożnika tworzą linię prostą, kąt wynosi 180 °. Dodaj kąty A i B, aby utworzyć linię prostą ABC. Zatem suma kątów A i B wynosi 180 °, to znaczy kąty te są komplementarne. co było do okazania

Metoda 3 z 3: Zapisz dowody

1 Naucz się języka dowodów. Do pisania dowodów matematycznych używa się standardowych stwierdzeń i zwrotów. Musisz nauczyć się tych zwrotów i wiedzieć, jak z nich korzystać.
- Wyrażenie „Jeśli A, to B” oznacza, że jeśli zdanie A jest prawdziwe, to zdanie B również musi być prawdziwe.
- „A wtedy i tylko wtedy, gdy B” oznacza, że stwierdzenia A i B są jednocześnie prawdziwe lub fałszywe. Ta konstrukcja jest równoważna dwóm równoczesnym stwierdzeniom: „Jeżeli A, to B” i „Jeżeli A zawiedzie, to B nie ma zastosowania”.
- „A tylko wtedy, gdy B” jest równoważne „Jeżeli B, to A”, więc ta konstrukcja nie jest powszechna. Niemniej jednak trzeba o tym pamiętać.
- Podczas rejestrowania dowodów spróbuj użyć „my” zamiast zaimka osobowego „ja”.
2 Zapisz wszystkie oryginalne dane. Podczas kompilacji dowodu pierwszą rzeczą do zrobienia jest zdefiniowanie i wypisanie wszystkiego, co jest podane w zadaniu. W takim przypadku będziesz miał przed oczami wszystkie wstępne dane, na podstawie których konieczne jest uzyskanie decyzji. Przeczytaj uważnie opis problemu i zapisz wszystko, co jest w nim podane.
- Na przykład: udowodnij, że dwa sąsiednie kąty (kąt A i kąt B) uzupełniają się.
- Biorąc pod uwagę: sąsiednie narożniki A i B.
- Udowodnij: kąt A jest komplementarny do kąta B.
3 Zdefiniuj wszystkie zmienne. Oprócz rejestrowania oryginalnych danych przydatne jest również wypisanie pozostałych zmiennych. Aby ułatwić czytelnikowi, zapisz zmienne na samym początku dowodu. Jeśli nie zdefiniowano żadnych zmiennych, czytelnik może się pomylić i nie zrozumieć twojego dowodu.
- Podczas sprawdzania nie używaj wcześniej niezdefiniowanych zmiennych.
- Na przykład: w rozważanym powyżej zadaniu zmiennymi są wartości kątów A i B.
4 Spróbuj znaleźć dowód w odwrotnej kolejności. Wiele problemów łatwiej rozwiązać w odwrotnej kolejności. Zacznij od tego, co musisz udowodnić i zastanów się, jak połączyć wnioski ze stanem początkowym.
- Przeczytaj ponownie początkowe i końcowe kroki i sprawdź, czy są do siebie podobne. Robiąc to, użyj warunków początkowych, definicji i podobnych dowodów z innych problemów.
- Zadawaj sobie pytania i idź naprzód. Aby udowodnić poszczególne stwierdzenia, zadaj sobie pytanie: „Dlaczego tak jest?” - i: "Czy może być źle?"
- Pamiętaj, aby kolejno zapisywać poszczególne kroki, aż do uzyskania końcowego wyniku.
- Na przykład: jeśli kąty A i B są komplementarne, ich suma powinna wynosić 180 °. Zgodnie z definicją sąsiednich kątów, kąty A i B tworzą linię prostą ABC. Ponieważ linia tworzy kąt 180 °, kąty A i B sumują się do 180 °.
5 Ułóż poszczególne kroki dowodu tak, aby był spójny i logiczny. Zacznij od początku i kieruj się ku tezie, którą można udowodnić. Chociaż czasami pomocne jest rozpoczęcie poszukiwań dowodów na końcu, musisz zachować właściwą kolejność podczas ich pisania. Poszczególne tezy powinny następować jedna po drugiej, aby dowód był logiczny i nie budził wątpliwości.
- Najpierw rozważ przyjęte założenia.
- Potwierdź złożone stwierdzenia prostymi i jednoznacznymi krokami, aby czytelnik nie miał wątpliwości co do ich poprawności.
- Czasami trzeba przepisać dowód więcej niż raz. Kontynuuj grupowanie stwierdzeń i ich dowodów, aż dojdziesz do najbardziej logicznej struktury.
- Na przykład: zacznijmy od początku.
  - Kąty A i B przylegają do siebie.
  - Boki narożnika ABC tworzą linię prostą.
  - Kąt ABC wynosi 180 °.
  - Kąt A + Kąt B = Kąt ABC.
  - Kąt A + Kąt B = Kąt 180 °.
  - Kąt A jest komplementarny do kąta B.
6 Nie używaj w dowodzie strzałek i skrótów. W szkicu można stosować różne skróty i symbole, ale nie należy ich umieszczać w ostatecznej wersji, ponieważ może to zmylić czytelników. Zamiast tego używaj słów takich jak „dlatego” i „wtedy”.
- Jako wyjątki dopuszcza się zrozumiałe skróty, np. „tj. e. " (to znaczy), jednak używaj ich odpowiednio.
7 Poprzyj każdą tezę twierdzeniem, prawem lub definicją. Dowód musi być bezbłędny. Nie możesz składać bezpodstawnych oświadczeń. Zobacz, jak tworzone są dowody dla problemów podobnych do Twojego.
- Spróbuj zastosować znalezione dowody w przypadkach, w których nie powinny być prawdziwe i sprawdź, czy tak jest. Jeśli dowód jest ważny w takich przypadkach, sprawdź, gdzie popełniłeś błąd.
- Dowody problemów geometrycznych są często zapisywane w dwóch kolumnach. Asercje są napisane po prawej stronie, a ich dowody podane są po lewej stronie. Jednocześnie w publikacjach sporządzane są dowody matematyczne w postaci akapitów z odpowiednią gramatykę.
8 Zakończ dowody frazą „zgodnie z wymogami do udowodnienia”. Na końcu dowodu musi znajdować się dowodliwa teza. Po nim należy napisać „co było wymagane do udowodnienia” (w skrócie „h. Itd.” lub symbol w postaci wypełnionego kwadratu) – oznacza to, że dowód jest kompletny.
- Po łacinie wyrażenie „co było wymagane do udowodnienia” odpowiada skrótowi Q.E.D. (quod erat demonstrandum, czyli „co należało pokazać”).
- Jeśli masz wątpliwości co do poprawności dowodu, po prostu napisz kilka zdań o tym, do jakiego wniosku doszedłeś i dlaczego jest to ważne.