Zawartość

• Kroki
• Metoda 1 z 4: Jednomian w mianowniku
• Metoda 2 z 4: Dwumian w mianowniku
• Metoda 3 z 4: Wyrażenie odwrotne
• Metoda 4 z 4: mianownik pierwiastka sześciennego

W matematyce nie ma zwyczaju pozostawiania pierwiastka lub liczby niewymiernej w mianowniku ułamka. Jeśli mianownik jest pierwiastkiem, pomnóż ułamek przez jakiś termin lub wyrażenie, aby pozbyć się pierwiastka. Nowoczesne kalkulatory pozwalają na pracę z pierwiastkami w mianowniku, ale program edukacyjny wymaga, aby uczniowie potrafili pozbyć się irracjonalności w mianowniku.

Kroki

Metoda 1 z 4: Jednomian w mianowniku

1. 1 Dowiedz się ułamka. Ułamek jest napisany poprawnie, jeśli w mianowniku nie ma pierwiastka. Jeśli mianownik ma kwadrat lub dowolny inny pierwiastek, należy pomnożyć licznik i mianownik przez jednomian, aby pozbyć się pierwiastka. Pamiętaj, że licznik może zawierać pierwiastek - jest to normalne.
   • ${ displaystyle { frac {7 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}}}$
   • Mianownik tutaj ma pierwiastek ${ styl wyświetlania { sqrt {7}}}$.
2. 2 Pomnóż licznik i mianownik przez pierwiastek mianownika. Jeśli mianownik zawiera jednomian, dość łatwo jest zracjonalizować taki ułamek. Pomnóż licznik i mianownik przez ten sam jednomian (czyli mnożysz ułamek przez 1).
   • ${ displaystyle { frac {7 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}} cdot { frac { sqrt {7}} { sqrt {7}}}}$
   • Jeśli wprowadzasz wyrażenie dla rozwiązania na kalkulatorze, pamiętaj o umieszczeniu nawiasów wokół każdej części, aby je oddzielić.
3. 3 Uprość ułamek (jeśli to możliwe). W naszym przykładzie można go skrócić, dzieląc licznik i mianownik przez 7.
   • ${ displaystyle { frac {7 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}} cdot { frac { sqrt {7}} { sqrt {7}}} = { frac {7 { sqrt {21}}} {14}} = { frac { sqrt {21}} {2}}}$

Metoda 2 z 4: Dwumian w mianowniku

1. 1 Dowiedz się ułamka. Jeśli jego mianownik zawiera sumę lub różnicę dwóch jednomianów, z których jeden zawiera pierwiastek, nie można pomnożyć ułamka przez taki dwumian, aby pozbyć się irracjonalności.
   • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}}}$
   • Aby to zrozumieć, zapisz ułamek ${ displaystyle { frac {1} {a + b}}}$gdzie jednomian ${ styl wyświetlania a}$ lub ${ styl wyświetlania b}$ zawiera korzeń. W tym przypadku: ${ styl wyświetlania (a + b) (a + b) = a ^ {2} + 2ab + b ^ {2}}$... Tak więc jednomian ${ styl wyświetlania 2ab}$ nadal będzie zawierał korzeń (jeśli ${ styl wyświetlania a}$ lub ${ styl wyświetlania b}$ zawiera korzeń).
   • Spójrzmy na nasz przykład.
     • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}} cdot { frac {2 + { sqrt {2}}} {2 + { sqrt {2}}}} = { frac {4 (2 + { sqrt {2}})} {4 + 4 { sqrt {2}} + 2}}}$
   • Widzisz, że nie możesz pozbyć się jednomianu w mianowniku ${ displaystyle 4 { sqrt {2}}}$.
2. 2 Pomnóż licznik i mianownik przez sprzężenie dwumianu dwumianu w mianowniku. Dwumian sprzężony to dwumian z tym samym jednomianem, ale z przeciwnym znakiem między nimi. Na przykład binom ${ styl wyświetlania 2 + { sqrt {2}}}$ sprzężony z dwumianem ${ displaystyle 2 - { sqrt {2}}.}$
   • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}} cdot { frac {2 - { sqrt {2}}} {2 - { sqrt {2}}}}}$
   • Zrozum znaczenie tej metody. Rozważ ponownie ułamek ${ displaystyle { frac {1} {a + b}}}$... Pomnóż licznik i mianownik przez sprzężenie dwumianu do dwumianu w mianowniku: ${ displaystyle (a + b) (a-b) = a ^ {2} -b ^ {2}}$... Tak więc nie ma jednomianów zawierających korzenie. Od jednomianów ${ styl wyświetlania a}$ oraz ${ styl wyświetlania b}$ są do kwadratu, korzenie zostaną wyeliminowane.
3. 3 Uprość ułamek (jeśli to możliwe). Jeśli w liczniku i mianowniku występuje wspólny czynnik, anuluj go. W naszym przypadku 4 - 2 = 2, co można wykorzystać do zmniejszenia ułamka.
   • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}} cdot { frac {2 - { sqrt {2}}} {2 - { sqrt {2}}}} = { frac {4 (2 - { sqrt {2}})} {4-2}} = 4-2 { sqrt {2}}}$

Metoda 3 z 4: Wyrażenie odwrotne

1. 1 Zbadaj problem. Jeśli potrzebujesz znaleźć wyrażenie będące odwrotnością danego, które zawiera pierwiastek, będziesz musiał zracjonalizować wynikowy ułamek (i dopiero potem go uprościć). W takim przypadku użyj metody opisanej w pierwszym lub drugim rozdziale (w zależności od zadania).
   • ${ styl wyświetlania 2 - { sqrt {3}}}$
2. 2 Zapisz przeciwne wyrażenie. Aby to zrobić, podziel 1 przez podane wyrażenie; jeśli podano ułamek, zamień licznik i mianownik. Pamiętaj, że każde wyrażenie to ułamek z 1 w mianowniku.
   • ${ displaystyle { frac {1} {2 - { sqrt {3}}}}}$
3. 3 Pomnóż licznik i mianownik przez jakieś wyrażenie, aby pozbyć się pierwiastka. Mnożąc licznik i mianownik przez to samo wyrażenie, mnożysz ułamek przez 1, czyli wartość ułamka się nie zmienia. W naszym przykładzie otrzymaliśmy dwumian, więc pomnóż licznik i mianownik przez dwumian sprzężony.
   • ${ displaystyle { frac {1} {2 - { sqrt {3}}}} cdot { frac {2 + { sqrt {3}}} {2 + { sqrt {3}}}}}$
4. 4 Uprość ułamek (jeśli to możliwe). W naszym przykładzie 4 - 3 = 1, więc wyrażenie w mianowniku ułamka można całkowicie anulować.
   • ${ displaystyle { frac {1} {2 - { sqrt {3}}}} cdot { frac {2 + { sqrt {3}}} {2 + { sqrt {3}}}} = { frac {2 + { sqrt {3}}} {4-3}} = 2 + { sqrt {3}}}$
   • Odpowiedzią jest dwumian sprzężony z tym dwumianem. To tylko zbieg okoliczności.

Metoda 4 z 4: mianownik pierwiastka sześciennego

1. 1 Dowiedz się ułamka. Problem może zawierać pierwiastki sześcienne, chociaż zdarza się to dość rzadko. Opisana metoda ma zastosowanie do korzeni dowolnego stopnia.
   • ${ displaystyle { frac {3} { sqrt [{3}] {3}}}}$
2. 2 Przepisz korzeń jako potęgę. Tutaj nie można pomnożyć licznika i mianownika przez jakiś jednomian lub wyrażenie, ponieważ racjonalizację przeprowadza się w nieco inny sposób.
   • ${ displaystyle { frac {3} {3 ^ {1/3}}}}$
3. 3 Pomnóż licznik i mianownik ułamka przez pewną potęgę, aby wykładnik w mianowniku wynosił 1. W naszym przykładzie pomnóż ułamek przez ${ displaystyle { frac {3 ^ {2/3}} {3 ^ {2/3}}}}$... Pamiętaj, że po mnożeniu stopni ich wskaźniki sumują się: ${ displaystyle a ^ {b} a ^ {c} = a ^ {b + c}.}$
   • ${ displaystyle { frac {3} {3 ^ {1/3}}} cdot { frac {3 ^ {2/3}} {3 ^ {2/3}}}}$
   • Ta metoda ma zastosowanie do dowolnych pierwiastków stopnia n. Jeśli podano ułamek ${ displaystyle { frac {1} {a ^ {1 / n}}}}$, pomnóż licznik i mianownik przez ${ displaystyle a ^ {1 - { frac {1} {n}}}}$... Zatem wykładnik w mianowniku wynosi 1.
4. 4 Uprość ułamek (jeśli to możliwe).
   • ${ displaystyle { frac {3} {3 ^ {1/3}}} cdot { frac {3 ^ {2/3}} {3 ^ {2/3}}} = 3 ^ {2/3 }}$
   • Jeśli to konieczne, zapisz korzeń w odpowiedzi. W naszym przykładzie podziel wykładnik na dwa czynniki: ${ styl wyświetlania 1/3}$ oraz ${ styl wyświetlania 2}$.
     • ${ displaystyle 3 ^ {2/3} = (3 ^ {2}) ^ {1/3} = { sqrt [{3}] {9}}}$