Zawartość

• Kroki
• Metoda 1 z 3: Jak rozwiązać równanie sześcienne bez wyrazu stałego
• Metoda 2 z 3: Jak znaleźć całe korzenie za pomocą mnożników
• Metoda 3 z 3: Jak rozwiązać równanie za pomocą elementu dyskryminującego

W równaniu sześciennym najwyższym wykładnikiem jest 3, takie równanie ma 3 pierwiastki (rozwiązania) i ma postać ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$... Niektóre równania sześcienne nie są tak łatwe do rozwiązania, ale jeśli zastosujesz odpowiednią metodę (z dobrym przygotowaniem teoretycznym), możesz znaleźć pierwiastki nawet najbardziej złożonego równania sześciennego - w tym celu użyj wzoru na rozwiązanie równania kwadratowego, znajdź całe pierwiastki lub oblicz dyskryminator.

Kroki

Metoda 1 z 3: Jak rozwiązać równanie sześcienne bez wyrazu stałego

1. 1 Dowiedz się, czy w równaniu sześciennym jest wyraz wolny D{ styl wyświetlania d}. Równanie sześcienne ma postać ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$... Aby równanie było uważane za sześcienne, wystarczy, że tylko wyraz ${ styl wyświetlania x ^ {3}}$ (to znaczy, może nie być w ogóle innych członków).
   • Jeśli równanie ma wyraz wolny ${ styl wyświetlania d}$, użyj innej metody.
   • Jeśli w równaniu ${ styl wyświetlania a = 0}$, nie jest sześcienny.
2. 2 Wyjmij z nawiasów x{ styl wyświetlania x}. Ponieważ w równaniu nie ma wyrazu wolnego, każdy wyraz w równaniu zawiera zmienną ${ styl wyświetlania x}$... Oznacza to, że jeden ${ styl wyświetlania x}$ można wykluczyć z nawiasów, aby uprościć równanie. Zatem równanie zostanie napisane tak: ${ displaystyle x (ax ^ {2} + bx + c)}$.
   • Na przykład, biorąc pod uwagę równanie sześcienne ${ styl wyświetlania 3x ^ {3} -2x ^ {2} + 14x = 0}$
   • Na wynos ${ styl wyświetlania x}$ nawiasy i dostać ${ styl wyświetlania x (3x ^ {2} -2x + 14) = 0}$
3. 3 Współczynnik (iloczyn dwóch dwumianów) równania kwadratowego (jeśli to możliwe). Wiele równań kwadratowych postaci ${ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0}$ może być faktoryzowany. Takie równanie okaże się, jeśli wyjmiemy ${ styl wyświetlania x}$ poza nawiasami. W naszym przykładzie:
   • Wyjmij z nawiasów ${ styl wyświetlania x}$: ${ styl wyświetlania x (x ^ {2} + 5x-14) = 0}$
   • Rozkład równania kwadratowego na czynniki: ${ styl wyświetlania x (x + 7) (x-2) = 0}$
   • Zrównaj każdy pojemnik z ${ styl wyświetlania 0}$... Korzenie tego równania to ${ styl wyświetlania x = 0, x = -7, x = 2}$.
4. 4 Rozwiąż równanie kwadratowe za pomocą specjalnego wzoru. Zrób to, jeśli równania kwadratowego nie można podzielić na czynniki. Aby znaleźć dwa pierwiastki równania, wartości współczynników ${ styl wyświetlania a}$, ${ styl wyświetlania b}$, ${ styl wyświetlania c}$ zamiennik w formule ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$.
   • W naszym przykładzie zastąp wartości współczynników ${ styl wyświetlania a}$, ${ styl wyświetlania b}$, ${ styl wyświetlania c}$ (${ styl wyświetlania 3}$, ${ styl wyświetlania -2}$, ${ styl wyświetlania 14}$) do wzoru:

     ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$

     ${ displaystyle { frac {- (- 2) pm { sqrt {((-2) ^ {2} -4 (3) (14)}}} {2 (3)}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {4- (12) (14)}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {(4-168}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {-164}}} {6}}}$

   • Pierwszy korzeń:

     ${ displaystyle { frac {2 + { sqrt {-164}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 + 12,8i} {6}}}$

   • Drugi korzeń:

     ${ displaystyle { frac {2-12,8i} {6}}}$

5. 5 Użyj pierwiastka zerowego i pierwiastka kwadratowego jako rozwiązania równania sześciennego. Równania kwadratowe mają dwa pierwiastki, a sześcienne trzy. Znalazłeś już dwa rozwiązania - to są pierwiastki równania kwadratowego. Jeśli umieścisz „x” poza nawiasami, trzecim rozwiązaniem będzie: ${ styl wyświetlania 0}$.
   • Jeśli usuniesz „x” z nawiasów, otrzymasz ${ displaystyle x (ax ^ {2} + bx + c) = 0}$, czyli dwa czynniki: ${ styl wyświetlania x}$ i równanie kwadratowe w nawiasach. Jeśli którykolwiek z tych czynników jest ${ styl wyświetlania 0}$, całe równanie jest również równe ${ styl wyświetlania 0}$.
   • Zatem dwa pierwiastki równania kwadratowego są rozwiązaniami równania sześciennego. Trzecie rozwiązanie to ${ styl wyświetlania x = 0}$.

Metoda 2 z 3: Jak znaleźć całe korzenie za pomocą mnożników

1. 1 Upewnij się, że w równaniu sześciennym jest wolny termin D{ styl wyświetlania d}. Jeśli w równaniu postaci ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$ jest wolny członek ${ styl wyświetlania d}$ (co nie jest równe zeru), umieszczenie „x” poza nawiasami nie będzie działać. W takim przypadku użyj metody opisanej w tej sekcji.
   • Na przykład, biorąc pod uwagę równanie sześcienne ${ styl wyświetlania 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x = -6}$... Aby uzyskać zero po prawej stronie równania, dodaj ${ styl wyświetlania 6}$ po obu stronach równania.
   • Równanie się okaże ${ styl wyświetlania 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x + 6 = 0}$... NS ${ styl wyświetlania d = 6}$, nie można użyć metody opisanej w pierwszej sekcji.
2. 2 Zapisz współczynniki współczynnika a{ styl wyświetlania a} i wolny członek D{ styl wyświetlania d}. Oznacza to, że znajdź czynniki liczby w ${ styl wyświetlania x ^ {3}}$ i liczby przed znakiem równości. Przypomnijmy, że dzielnikami liczby są liczby, które po pomnożeniu dają tę liczbę.
   • Na przykład, aby uzyskać numer 6, musisz pomnożyć ${ styl wyświetlania 6 razy 1}$ oraz ${ styl wyświetlania 2 razy 3}$... Więc liczby 1, 2, 3, 6 są czynnikami liczby 6.
   • W naszym równaniu ${ styl wyświetlania a = 2}$ oraz ${ styl wyświetlania d = 6}$... Mnożniki 2 są 1 oraz 2... Mnożniki 6 są liczby? 1, 2, 3 oraz 6.
3. 3 Podziel każdy czynnik a{ styl wyświetlania a} dla każdego czynnika D{ styl wyświetlania d}. W rezultacie otrzymujesz wiele ułamków i kilka liczb całkowitych; pierwiastki równania sześciennego będą jedną z liczb całkowitych lub ujemną wartością jednej z liczb całkowitych.
   • W naszym przykładzie podziel czynniki ${ styl wyświetlania a}$ (1 oraz 2) przez czynniki ${ styl wyświetlania d}$ (1, 2, 3 oraz 6). Dostaniesz: ${ styl wyświetlania 1}$, ${ styl wyświetlania { frac {1} {2}}}$, ${ styl wyświetlania { frac {1} {3}}}$, ${ styl wyświetlania { frac {1} {6}}}$, ${ styl wyświetlania 2}$ oraz ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$... Teraz dodaj do tej listy ujemne wartości uzyskanych ułamków i liczb: ${ styl wyświetlania 1}$, ${ styl wyświetlania -1}$, ${ styl wyświetlania { frac {1} {2}}}$, ${ styl wyświetlania - { frac {1} {2}}}$, ${ styl wyświetlania { frac {1} {3}}}$, ${ styl wyświetlania - { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ styl wyświetlania - { frac {1} {6}}}$, ${ styl wyświetlania 2}$, ${ styl wyświetlania -2}$, ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$ oraz ${ styl wyświetlania - { frac {2} {3}}}$... Całe pierwiastki równania sześciennego to niektóre liczby z tej listy.
4. 4 Wstawiaj liczby całkowite do równania sześciennego. Jeśli równość jest prawdziwa, podstawiona liczba jest pierwiastkiem równania. Na przykład podstaw w równaniu ${ styl wyświetlania 1}$:
   • ${ displaystyle 2 (1) ^ {3} +9 (1) ^ {2} +13 (1) +6}$ = ${ styl wyświetlania 2 + 9 + 13 + 6}$ ≠ 0, czyli równość nie jest przestrzegana. W takim przypadku podłącz następny numer.
   • Zastąpić ${ styl wyświetlania -1}$: ${ styl wyświetlania (-2) +9 + (-13) +6}$ = 0. Zatem ${ styl wyświetlania -1}$ jest całym pierwiastkiem równania.
5. 5 Użyj metody dzielenia wielomianów przez Schemat Horneraaby szybciej znaleźć pierwiastki równania. Zrób to, jeśli nie chcesz ręcznie podstawiać liczb do równania. W schemacie Hornera liczby całkowite są dzielone przez wartości współczynników równania ${ styl wyświetlania a}$, ${ styl wyświetlania b}$, ${ styl wyświetlania c}$ oraz ${ styl wyświetlania d}$... Jeśli liczby są podzielne równomiernie (to znaczy, że reszta to ${ styl wyświetlania 0}$), liczba całkowita jest pierwiastkiem równania.
   • Schemat Hornera zasługuje na osobny artykuł, ale poniżej znajduje się przykład obliczenia jednego z pierwiastków naszego równania sześciennego za pomocą tego schematu:

     -1 | 2 9 13 6

     __| -2-7-6

     __| 2 7 6 0

   • Więc reszta to ${ styl wyświetlania 0}$, ale ${ styl wyświetlania -1}$ jest jednym z pierwiastków równania.

Metoda 3 z 3: Jak rozwiązać równanie za pomocą elementu dyskryminującego

1. 1 Zapisz wartości współczynników równania a{ styl wyświetlania a}, b{ styl wyświetlania b}, C{ styl wyświetlania c} oraz D{ styl wyświetlania d}. Zalecamy wcześniejsze zapisanie wartości wskazanych współczynników, aby nie pomylić się w przyszłości.
   • Na przykład, biorąc pod uwagę równanie ${ styl wyświetlania x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x-1}$... Zanotować ${ styl wyświetlania a = 1}$, ${ styl wyświetlania b = -3}$, ${ styl wyświetlania c = 3}$ oraz ${ styl wyświetlania d = -1}$... Przypomnij sobie, jeśli wcześniej ${ styl wyświetlania x}$ nie ma liczby, odpowiedni współczynnik nadal istnieje i jest równy ${ styl wyświetlania 1}$.
2. 2 Oblicz zerowy dyskryminator za pomocą specjalnego wzoru. Aby rozwiązać równanie sześcienne za pomocą dyskryminatora, musisz wykonać szereg trudnych obliczeń, ale jeśli wykonasz wszystkie kroki poprawnie, ta metoda stanie się niezbędna do rozwiązywania najbardziej złożonych równań sześciennych. Pierwsze obliczenia ${ styl wyświetlania Delta _ {0}}$ (dyskryminacja zerowa) jest pierwszą potrzebną nam wartością; w tym celu zastąp odpowiednie wartości we wzorze ${ styl wyświetlania Delta _ {0} = b ^ {2} -3ac}$.
   • Dyskryminator to liczba charakteryzująca pierwiastki wielomianu (na przykład dyskryminator równania kwadratowego jest obliczany za pomocą wzoru ${ displaystyle b ^ {2} -4ac}$).
   • W naszym równaniu:

     ${ displaystyle b ^ {2} -3ac}$

     ${ styl wyświetlania (-3) ^ {2} -3 (1) (3)}$

     ${ styl wyświetlania 9-3 (1) (3)}$

     ${ Displaystyle 9-9 = 0 = Delta _ {0}}$

3. 3 Oblicz pierwszy wyróżnik za pomocą wzoru Δ1=2b3−9abC+27a2D{ styl wyświetlania Delta _ {1} = 2b ^ {3} -9abc + 27a ^ {2} d}. Pierwszy wyróżnik ${ styl wyświetlania Delta _ {1}}$ - to druga ważna wartość; aby to obliczyć, podłącz odpowiednie wartości do określonej formuły.
   • W naszym równaniu:

     ${ displaystyle 2 (-3) ^ {3} -9 (1) (- 3) (3) +27 (1) ^ {2} (- 1)}$

     ${ displaystyle 2 (-27) -9 (-9) +27 (-1)}$

     ${ styl wyświetlania -54 + 81-27}$

     ${ Displaystyle 81-81 = 0 = Delta _ {1}}$

4. 4 Oblicz:${ displaystyle Delta = ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div -27a ^ {2}}$... Oznacza to, że znajdź dyskryminator równania sześciennego na podstawie uzyskanych wartości ${ styl wyświetlania Delta _ {0}}$ oraz ${ styl wyświetlania Delta _ {1}}$... Jeśli wyróżnik równania sześciennego jest dodatni, równanie ma trzy pierwiastki; jeśli dyskryminator wynosi zero, równanie ma jeden lub dwa pierwiastki; jeśli dyskryminator jest ujemny, równanie ma jeden pierwiastek.
   • Równanie sześcienne ma zawsze co najmniej jeden pierwiastek, ponieważ wykres tego równania przecina oś X przynajmniej w jednym punkcie.
   • W naszym równaniu ${ styl wyświetlania Delta _ {0}}$ oraz ${ styl wyświetlania Delta _ {1}}$ są równe ${ styl wyświetlania 0}$, dzięki czemu możesz łatwo obliczyć ${ styl wyświetlania Delta}$:

     ${ styl wyświetlania ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div (-27a ^ {2})}$

     ${ styl wyświetlania ((0) ^ {2} -4 (0) ^ {3}) div (-27 (1) ^ {2})}$

     ${ styl wyświetlania 0-0 dział 27}$

     ${ styl wyświetlania 0 = Delta}$... Zatem nasze równanie ma jeden lub dwa pierwiastki.

5. 5 Oblicz:${ displaystyle C = ^ {3} { sqrt { left ({ sqrt { Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}}} + Delta _ {1 } prawo) dział 2}}}$. ${ styl wyświetlania C}$ - jest to ostatnia ważna ilość, jaka została znaleziona; pomoże ci obliczyć pierwiastki równania. Zastąp wartości podanym wzorem ${ styl wyświetlania Delta _ {1}}$ oraz ${ styl wyświetlania Delta _ {0}}$.
   • W naszym równaniu:

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) + Delta _ {1}}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0 ^ {2} -4 (0) ^ {3}) + (0)}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0-0) +0}} div 2}}}$

     ${ styl wyświetlania 0 = C}$

6. 6 Znajdź trzy pierwiastki równania. Zrób to za pomocą formuły ${ displaystyle - (b + u ^ {n} C + Delta _ {0} div (u ^ {n} C)) div 3a}$, gdzie ${ displaystyle u = (- 1 + { sqrt {-3}}) div 2}$, ale n jest równe 1, 2 lub 3... Wstaw do tego wzoru odpowiednie wartości - w rezultacie otrzymasz trzy pierwiastki z równania.
   • Oblicz wartość korzystając ze wzoru w n = 1, 2 lub 3a następnie sprawdź odpowiedź. Jeśli podczas sprawdzania odpowiedzi otrzymasz 0, ta wartość jest pierwiastkiem równania.
   • W naszym przykładzie zastąp 1 w ${ styl wyświetlania x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x-1}$ i dostać 0, tj 1 jest jednym z pierwiastków równania.