Zawartość

• Do kroku
• Metoda 1 z 3: Określ obszar za pomocą boków i apotemu
• Metoda 2 z 3: Określenie powierzchni na podstawie długości boku
• Metoda 3 z 3: Korzystanie ze wzoru
• Porady

Pięciokąt to wielokąt z pięcioma prostymi bokami. Prawie wszystkie problemy, które napotkasz na lekcjach matematyki, będą dotyczyły regularnych pięciokątów o pięciu równych bokach. Są dwa popularne sposoby obliczania powierzchni, w zależności od ilości posiadanych informacji.

Do kroku

Metoda 1 z 3: Określ obszar za pomocą boków i apotemu

1. Zacznij od długości boku i apotemy. Ta metoda działa dla regularnych pięciokątów z pięcioma równymi bokami. Oprócz długości boku potrzebny jest „apotem” pięciokąta. Apothem jest linią biegnącą od środka pięciokąta do boku, który przecina bok prostopadle (tj. Pod kątem 90 °).
   • Nie myl apotemu z promieniem wielokąta, ponieważ przecina on kąt (wierzchołek) zamiast punktu w środku boku. Jeśli znasz tylko długość jednego boku i promień, przejdź do następnej metody.
   • Jako przykładu używamy pięciokąta z bokiem 3 i apothem 2.
2. Podziel pięciokąt na pięć trójkątów. Narysuj pięć linii od środka pięciokąta, z których każda prowadzi do wierzchołka (rogu). Masz teraz pięć trójkątów.
3. Oblicz pole trójkąta. Każdy trójkąt ma jeden baza równy boku pięciokąta. Ma też jeden wysokość co jest równoznaczne z apotemem. (Pamiętaj, wysokość trójkąta to długość boku prostopadłego do podstawy i biegnącego do wierzchołka). Aby obliczyć pole trójkąta, użyj ½ x podstawa x wysokość.
   • W naszym przykładzie pole trójkąta to = ½ x 3 x 2 =3.
4. Pomnóż przez pięć, aby uzyskać całkowitą powierzchnię pięciokąta. Podzieliliśmy pięciokąt na pięć równych trójkątów. Aby obliczyć całkowitą powierzchnię, pomnóż powierzchnię trójkąta przez pięć.
   • W naszym przykładzie A (suma pięciokąta) = 5 x A (trójkąt) = 5 x 3 =15.

Metoda 2 z 3: Określenie powierzchni na podstawie długości boku

1. Zacznij od długości jednej strony. Ta metoda działa tylko w przypadku regularnych pięciokątów, które mają pięć boków równej długości.
   • W tym przykładzie użyjemy pięciokąta o długości 7 z każdej strony.
2. Podziel pięciokąt na pięć trójkątów. Narysuj linię od środka pięciokąta do wierzchołka. Powtórz to dla każdego wierzchołka. Masz teraz pięć trójkątów, każdy tego samego rozmiaru.
3. Podziel trójkąt na pół. Narysuj linię od środka pięciokąta do podstawy trójkąta. Linia ta powinna przecinać podstawę pod kątem prostym (90º), co dzieli trójkąt na dwa równe, mniejsze trójkąty.
4. Oznacz jeden z mniejszych trójkątów. Możemy już oznaczyć bok i kąt mniejszego trójkąta:
   • Plik baza trójkąta jest ½ razy bokiem pięciokąta. W naszym przykładzie jest to ½ x 7 = 3,5 jednostki.
   • Plik kąt w środku pięciokąta jest zawsze 36º. (Zakładając 360º dla pełnego koła, można to podzielić na 10 mniejszych trójkątów. 360 ÷ 10 = 36, czyli kąt takiego trójkąta wynosi 36º).
5. Oblicz wysokość trójkąta. Plik wysokość bok tego trójkąta jest prostopadły do ​​boku pięciokąta prowadzącego do środka. Używamy prostej trygonometrii do określenia długości tego boku:
   • W prawym trójkącie tangens pod kątem równym długości przeciwległego boku podzielonej przez długość sąsiedniego boku.
   • Bok przeciwny do kąta 36 ° jest podstawą trójkąta (połowa boku pięciokąta). Sąsiedni bok kąta 36 ° to wysokość trójkąta.
   • tan (36º) = naprzeciwko / obok
   • W naszym przykładzie tan (36º) = 3,5 / wysokość
   • wysokość x opalenizna (36º) = 3,5
   • wzrost = 3,5 / opalenizna (36º)
   • wysokość = (w przybliżeniu) 4,8 .
6. Oblicz obszar trójkąta. Pole trójkąta jest równe ½ podstawy x jego wysokość. (A = ½bh.) Teraz, gdy znasz wysokość, wprowadź te wartości, aby określić wysokość swojego małego trójkąta.
   • W naszym przykładzie pole jednego z małych trójkątów = ½bh = ½ (3,5) (4,8) = 8,4.
7. Pomnóż, aby znaleźć obszar pięciokąta. Jeden z tych mniejszych trójkątów zajmuje 1/10 powierzchni pięciokąta. Aby uzyskać całkowitą powierzchnię, pomnóż powierzchnię mniejszego trójkąta przez 10.
   • W naszym przykładzie pole całego pięciokąta wynosi = 8,4 x 10 =84.

Metoda 3 z 3: Korzystanie ze wzoru

1. Użyj konspektu i apotemy. Apothem to linia biegnąca od środka pięciokąta, która przecina jeden bok pod kątem prostym. Jeśli podana jest długość, możesz użyć tej prostej formuły.
   • Powierzchnia pięciokąta foremnego =tata / 2, gdzie p= obwód i za= apothem.
   • Jeśli nie znasz obwodu, oblicz go na podstawie długości boku: p = 5s, gdzie s to długość boku.
2. Użyj długości boku. Jeśli znasz tylko długość boków, użyj następującego wzoru:
   • Powierzchnia pięciokąta foremnego = (5s ) / (4tany (36º)), gdzie s= długość jednego boku.
   • tan (36º) = √ (5-2√5). Jeśli Twój kalkulator nie ma funkcji opalania, użyj wzoru na obszar: Powierzchnia = (5s) / (4√(5-2√5)).
3. Wybierz formułę, która używa tylko promienia. Możesz nawet znaleźć obszar, jeśli znasz tylko jego promień. Użyj następującego wzoru:
   • Powierzchnia pięciokąta foremnego = (5/2)rsin (72º), gdzie r promień wynosi.

Porady

• Nieregularne pięciokąty lub pięciokąty o nierównych bokach są trudniejsze do zbadania. Najlepszym podejściem jest zwykle podzielenie pięciokąta na trójkąty i dodanie obszarów wszystkich trójkątów. Konieczne może być również narysowanie większego kształtu wokół pięciokąta, obliczenie jego powierzchni, a następnie odjęcie powierzchni dodatkowej przestrzeni.
• Jeśli to możliwe, użyj zarówno metody geometrycznej, jak i wzoru i porównaj wyniki, aby sprawdzić odpowiedź. Odpowiedzi mogą być nieco inne, jeśli wypełnisz formułę całkowicie od razu (ponieważ brakuje etapów, które kończysz), ale powinny one być bardzo blisko siebie.
• W podanych tutaj przykładach zastosowano wartości zaokrąglone, aby ułatwić obliczenia. Jeśli masz prawdziwy wielokąt o podanych długościach boków, uzyskasz nieco inne wyniki dla innych długości i powierzchni.
• Wzory pochodzą z metod geometrycznych, podobnych do opisanych tutaj. Spróbuj sam wymyślić, jak je wydedukować. Wzór na promień jest trudniejszy do wyprowadzenia niż inne (wskazówka: potrzebujesz tożsamości z podwójnym kątem).