Zawartość

• Do kroku
• Porady

Jako wykres zobacz równanie kwadratowe ax + bx + c , również który jest zapisany jako a (x - h) + kwygląda jak gładka krzywa w kształcie litery U. Nazywamy to parabola. Tworzenie wykresu równania kwadratowego wymaga znalezienia wierzchołka, kierunku i często punktów przecięcia z osią X i Y. W przypadku stosunkowo prostego równania kwadratowego może być również wystarczające wprowadzenie szeregu wartości dla x, aby wskazać te punkty w układzie współrzędnych, po czym można narysować parabolę. Przejdź do kroku 1, aby rozpocząć.

Do kroku

1. Określ, jakie masz równanie drugiego stopnia. Można go zapisać na dwa sposoby: notację standardową i notację wierzchołków (inny sposób zapisania wzoru na pierwiastek kwadratowy). Możesz użyć obu, aby utworzyć wykres równania kwadratowego, ale proces jest nieco inny w każdym przypadku. W większości przypadków napotkasz standardowy kształt, ale z pewnością nie zaszkodzi nauczenie się używania obu kształtów. Dwie formy równania kwadratowego to:
   • Standardowy kształt. Równanie kwadratowe jest zapisane jako: f (x) = ax + bx + c, gdzie a, b i c są liczbami rzeczywistymi, a a nie jest równe zeru.
     • Dwa przykłady standardowych równań kwadratowych: f (x) = x + 2x + 1 if (x) = 9x + 10x -8.
   • Kształt wierzchołka. Równanie kwadratowe jest zapisane jako: f (x) = a (x - h) + k, gdzie a, h i k są liczbami rzeczywistymi, a a nie jest równe zeru. Ten kształt nazywany jest wierzchołkiem, ponieważ h i k odnoszą się bezpośrednio do wierzchołka paraboli w punkcie (h, k).
     • Dwa przykłady równań w postaci wierzchołków to f (x) = 9 (x - 4) + 18 i -3 (x - 5) + 1
   • Aby sporządzić wykres tych równań, najpierw określamy górę (h, k) wykresu. W standardowym równaniu znajdziesz to poprzez: h = -b / 2a i k = f (h), podczas gdy jest to już podane w postaci wierzchołków, ponieważ h i k występują w równaniu.
2. Określ swoje zmienne. Aby rozwiązać równanie kwadratowe, zwykle konieczne jest określenie zmiennych a, b i c (lub a, h i k). Regularne ćwiczenie da ci równanie drugiego stopnia w standardowej formie, ale może również wystąpić notacja wierzchołków.
   • Na przykład: standardowa funkcja f (x) = 2x + 16x + 39. Tutaj mamy a = 2, b = 16 i c = 39.
   • W notacji wierzchołków: f (x) = 4 (x - 5) + 12. Tutaj mamy a = 4, h = 5, oraz k = 12.
3. Oblicz h. W notacji wierzchołków wartość h jest już podana, ale w notacji standardowej wartość ta nie została jeszcze obliczona. Pamiętaj, że przy standardowym równaniu zachodzi: h = -b / 2a.
   • Przykład 1. (f (x) = 2x + 16x + 39), h = -b / 2a = -16/2 (2). Rozwiązując to widzimy, że h = -4.
   • Przykład 2. (f (x) = 4 (x - 5) + 12), od razu widzimy, że h = 5.
4. Oblicz k. Podobnie jak w przypadku h, k jest już znane z równań w postaci wierzchołków. W przypadku równań w notacji standardowej pamiętaj, że k = f (h). Innymi słowy, można znaleźć k, zastępując dowolną zmienną x wartością h.
   • Widzieliśmy na przykład 1, że h = -4. Aby znaleźć k, rozwiązujemy to równanie, wypełniając tę ​​wartość h w równaniu, dla zmiennej x:
     • k = 2 (-4) + 16 (-4) + 39.
     • k = 2 (16) - 64 + 39.
     • k = 32 - 64 + 39 = 7
   • Z przykładu 2 wiemy, że wartość k jest równa 12, bez konieczności wykonywania jakichkolwiek obliczeń.
5. Narysuj górę lub dół wykresu. Wierzchołek lub dolina twojej paraboli to punkt (h, k) - h oznacza współrzędną x, ak oznacza współrzędną y. Wierzchołek to środek twojej paraboli - najwyższy lub najniższy punkt, wierzchołek lub dolina wykresu w postaci litery „U” lub odwrotnie.Możliwość określenia szczytu paraboli jest istotną częścią rysowania prawidłowego wykresu - często określenie wierzchołka paraboli jest częścią problemu matematycznego w szkole.
   • W przykładzie 1 górna część wykresu to (-4,7). Narysuj punkt na wykresie i upewnij się, że poprawnie nazwałeś współrzędne.
   • W przykładzie 2 górna część to (5.12). Czyli od punktu (0,0) idziesz o 5 miejsc w prawo, a następnie o 12 w górę.
6. W razie potrzeby narysuj oś symetrii paraboli. Oś symetrii paraboli to linia, która przecina figurę w środku, dzieląc ją dokładnie na pół. Jedna strona wykresu jest odzwierciedlona wzdłuż tej linii po drugiej stronie wykresu. W równaniach kwadratowych ax + bx + c lub a (x - h) + k, oś ta jest linią równoległą do osi y przechodzącej przez wierzchołek paraboli.
   • W przypadku przykładu 1 osią symetrii jest prosta równoległa do osi y przechodząca przez punkt (-4,7). Chociaż nie jest to część samej paraboli, lekkie podkreślenie tej wskazówki może pokazać, jak symetryczna jest krzywa paraboli.
7. Określ kierunek paraboli. Po ustaleniu, czym jest wierzchołek paraboli, należy wiedzieć, czy mamy do czynienia z parabolą górską czy dolinną, tj. Czy otwór znajduje się na dole, czy na górze. Na szczęście jest to bardzo łatwe. Jeśli „a” jest dodatnie, masz do czynienia z parabolą doliny; jeśli „a” jest ujemne, jest to parabola górska (z otworem na dole)
   • W przykładzie 1 mamy do czynienia z funkcją (f (x) = 2x + 16x + 39), więc jest to parabola dolinowa, ponieważ a = 2 (dodatnia).
   • W przykładzie 2 mamy do czynienia z funkcją f (x) = 4 (x - 5) + 12) i jest to również parabola doliny, ponieważ a = 4 (dodatnia).
8. W razie potrzeby określ punkty przecięcia paraboli. Często, gdy zadanie matematyczne jest proszone o podanie punktów przecięcia paraboli z osią x (są to „zero”, za lub dwa punkty, w których parabola przecina lub uderza w oś x). Nawet jeśli nie jest to wymagane, punkty te są bardzo ważne, aby móc narysować dokładny wykres. Ale nie wszystkie parabole przecinają się z osią X. Jeśli masz do czynienia z parabolą doliny, a punkt doliny znajduje się powyżej osi x lub, w przypadku paraboli górskiej, tuż poniżej osi x, po prostu nie ma punktów przecięcia. Jeśli tak, użyj jednej z następujących metod:
   • Ustal, że f (x) = 0 i rozwiąż równanie. Ta metoda może działać w przypadku prostych równań kwadratowych, zwłaszcza w postaci wierzchołków, ale okaże się, że staje się to coraz trudniejsze, gdy funkcje stają się bardziej złożone. Poniżej znajduje się kilka przykładów.
     • f (x) = 4 (x - 12)
     • 0 = 4 (x - 12) - 4
     • 4 = 4 (x - 12)
     • 1 = (x - 12)
     • SqRt (1) = (x - 12)
     • +/- 1 = x -12. x = 11 i 13 to punkty przecięcia z osią x paraboli.
   • Uwzględnij równanie. Niektóre równania w postaci ax + bx + c można łatwo przepisać jako (dx + e) ​​(fx + g), gdzie dx × fx = ax, (dx × g + fx × e) = bx i e × g = c. W tym przypadku przecięcia x są wartościami x, gdzie każdy wyraz w nawiasach staje się równy 0. Na przykład:
     • x + 2x + 1
     • = (x + 1) (x + 1)
     • W tym przypadku punkt przecięcia wynosi -1, ponieważ po wprowadzeniu obu współczynników daje to zero.
   • Użyj wzoru abc. Jeśli nie jest łatwo obliczyć przecięcia lub rozłożyć równanie na czynniki, użyj „formuły abc” specjalnie do tego celu. Załóżmy równanie w postaci ax + bx + c. Następnie wprowadź wartości a, b i c we wzorze x = (-b +/- SqRt (b - 4ac)) / 2a. Zauważ, że często daje to dwie odpowiedzi na x, co jest w porządku - oznacza to po prostu, że twoja parabola ma dwa przecięcia z osią x. Oto przykład:
     • Wpisz -5x + 1x + 10 w równaniu w następujący sposób:
     • x = (-1 +/- SqRt (1 - 4 (-5) (10))) / 2 (-5)
     • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200)) / - 10
     • x = (-1 +/- SqRt (201)) / - 10
     • x = (-1 +/- 14,18) / - 10
     • x = (13,18 / -10) i (-15,18 / -10). Punkty przecięcia paraboli z osią x wynoszą w przybliżeniu x = -1,318 i 1,518
     • Jak w przykładzie 1 z równaniem 2x + 16x + 39, będzie to wyglądać tak:
     • x = (-16 +/- SqRt (16 - 4 (2) (39))) / 2 (2)
     • x = (-16 +/- SqRt (256 - 312)) / 4
     • x = (-16 +/- SqRt (-56) / - 10
     • Ponieważ nie jest możliwe znalezienie pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej, wiemy, że nie ma punktów przecięcia z osią x dla tej konkretnej paraboli.
9. W razie potrzeby określ przecięcie paraboli z osią y. Często nie jest to konieczne, ale czasami wymagane jest znalezienie tego skrzyżowania, na przykład w przypadku problemu matematycznego. Jest to dość proste - ustaw wartość x na 0 i rozwiąż równanie dla f (x) lub y, co daje wartość y punktu, w którym parabola przecina się z osią y. Różnica w stosunku do punktów przecięcia na osi X polega na tym, że na osi Y zawsze znajduje się tylko jeden punkt przecięcia. Uwaga - w przypadku równań standardowych punkt przecięcia z osią y jest w punkcie y = c.
   • Na przykład wiemy, że nasze równanie kwadratowe 2x + 16x + 39 ma przecięcie y = 39, ale możemy to również znaleźć w następujący sposób:
     • f (x) = 2x + 16x + 39
     • f (x) = 2 (0) + 16 (0) + 39
     • f (x) = 39. Przecięcie paraboli z osią y: y = 39. Jak wskazano powyżej, możemy łatwo odczytać punkt przecięcia, ponieważ y = c.
   • Równanie 4 (x - 5) + 12 ma przecięcie z osią y, które można znaleźć w następujący sposób:
     • f (x) = 4 (x - 5) + 12
     • f (x) = 4 (0 - 5) + 12
     • f (x) = 4 (-5) + 12
     • f (x) = 4 (25) + 12
     • f (x) = 112. Przecięcie z osią y: y = 112.
10. Jeśli uważasz, że jest to konieczne, najpierw narysuj dodatkowe punkty, a następnie cały wykres. Powinieneś teraz mieć szczyt lub dolinę, kierunek, punkty przecięcia z osią X i prawdopodobnie z osią Y twojego równania. Od tego momentu możesz spróbować narysować parabolę za pomocą tych punktów lub możesz spróbować znaleźć więcej punktów, aby wykres był dokładniejszy. Najłatwiejszym sposobem jest po prostu wprowadzenie liczby wartości x, co zwróci liczbę wartości y. Często będziesz proszony (przez nauczyciela) o obliczenie liczby punktów, zanim będziesz mógł rozpocząć rysowanie paraboli.
    • Przyjrzyjmy się jeszcze raz równaniu x + 2x + 1. Wiemy już, że jedyne przecięcie z osią x to (-1,0). Ponieważ w tym miejscu dotyka on tylko osi x, możemy wywnioskować, że wierzchołek wykresu jest równy temu punktowi. Jak dotąd mamy tylko jeden punkt tej paraboli - za mało, aby narysować wykres. Znajdźmy jeszcze kilka punktów, aby upewnić się, że mamy więcej wartości.
      • Spróbujmy znaleźć wartości y, które odpowiadają następującym wartościom x: 0, 1, -2 i -3.
      • x = 0: f (x) = (0) + 2 (0) + 1 = 1. Następnie punkt (0,1).
      • x = 1: f (x) = (1) + 2 (1) + 1 = 4. Następnie punkt (1,4).
      • x = -2: f (x) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1. Następnie punkt (-2,1).
      • x = -3: f (x) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4. Następnie punkt (-3,4).
      • Umieść te punkty na wykresie i narysuj parabolę. Zwróć uwagę, że parabola jest całkowicie symetryczna - jeśli znasz punkty po jednej stronie wykresu, zwykle możesz zaoszczędzić sobie dużo pracy, używając tych punktów do znalezienia punktów po drugiej stronie osi symetrii.

Porady

• W razie potrzeby zaokrąglij liczby lub użyj ułamków. Może to pomóc w prawidłowym wyświetleniu wykresu.
• Zauważ, że jeśli dla funkcji f (x) = ax + bx + c, b lub c są równe zero, te wyrazy znikną. Na przykład 12x + 0x + 6 staje się równe 12x + 6, ponieważ 0x jest równe 0.