Oblicz środek ciężkości

Wideo: Jak obliczać środek ciężkości i momenty bezwładności figur płaskich?

Zawartość

Do kroku
Metoda 1 z 4: Określ wagę
Metoda 2 z 4: Określ punkt zerowy
Metoda 3 z 4: Określ środek ciężkości
Metoda 4 z 4: Sprawdź swoją odpowiedź
Porady
Ostrzeżenia

Środek ciężkości (środek masy) to środek rozkładu ciężaru obiektu - punkt, w którym grawitacja oddziałuje na ten obiekt. Jest to punkt, w którym obiekt jest w doskonałej równowadze, niezależnie od tego, jak obiekt się obracał lub obracał wokół tego punktu. Jeśli chcesz wiedzieć, jak obliczyć środek ciężkości obiektu, potrzebujesz wagi obiektu i wszystkich znajdujących się na nim obiektów. Następnie określasz punkt zerowy i przetwarzasz znane wielkości w równaniu, aby obliczyć środek ciężkości obiektu lub układu. Jeśli chcesz wiedzieć, jak obliczyć środek ciężkości, wykonaj poniższe czynności.

Do kroku

Metoda 1 z 4: Określ wagę

Oblicz wagę przedmiotu. Obliczając środek ciężkości, musisz najpierw ustalić wagę obiektu. Powiedzmy, że chcesz obliczyć wagę huśtawki o masie 30 kilogramów. Ponieważ jest to obiekt symetryczny, jego środek ciężkości będzie dokładnie pośrodku (gdy nikt na nim nie siedzi). Ale kiedy na huśtawce są ludzie o różnej masie, problem staje się nieco bardziej skomplikowany.
Oblicz dodatkowe ciężary. Aby określić środek ciężkości huśtawki z dwójką dzieci, należy określić indywidualną wagę każdego dziecka. Pierwsze dziecko waży 40 kg, a drugie 60 kg.

Metoda 2 z 4: Określ punkt zerowy

Wybierz punkt zerowy. Punkt zerowy to dowolny punkt początkowy po jednej stronie huśtawki. Możesz umieścić punkt zerowy po jednej stronie huśtawki lub po drugiej. Powiedzmy, że huśtawka ma 6 metrów długości. Umieśćmy punkt zerowy po lewej stronie huśtawki, blisko pierwszego dziecka.
Zmierz odległość od punktu zerowego do środka głównego obiektu, a także do dwóch dodatkowych obciążników. Powiedzmy, że każde dziecko jest oddalone o 1 metr od każdego końca huśtawki. Środek huśtawki to środek huśtawki, czyli 3 metry, ponieważ 6 metrów podzielone przez 2 równa się 3. Oto odległości od środka największego obiektu i dwa dodatkowe ciężary tworzą punkt zerowy:
- Środek huśtawki = 4 metry od punktu zerowego.
- Dziecko 1 = 1 metr od punktu zerowego
- Dziecko 2 = 5 metrów od punktu zerowego

Metoda 3 z 4: Określ środek ciężkości

Pomnóż odległość od każdego obiektu do punktu zerowego przez jego wagę, aby znaleźć moment. Daje to chwilę dla każdego obiektu. Oto jak pomnożyć odległość od każdego obiektu do punktu zerowego przez jego wagę:
- Huśtawka: 30 kg x 3 m = 90 m * kg.
- Dziecko 1 = 40 kg x 1 m = 40 m * kg.
- Dziecko 2 = 60 kg x 5 m = 300 m * kg.
Dodaj te trzy chwile do siebie. Wystarczy obliczyć: 90 m * kg + 40 m * kg + 300 m * kg = 430 m * kg. Całkowity moment wynosi 430 m * kg.
Dodaj wagi wszystkich obiektów. Określ sumę ciężarów huśtawki i dwojga dzieci. Zrób to w następujący sposób: 30 kilogramów + 40 kilogramów + 60 kilogramów = 130 kilogramów.
Podziel całkowity moment przez całkowitą wagę. To da ci odległość od punktu zerowego do środka ciężkości obiektu. To dzieląc cię przez 430 m * kg na 130 funtów.
- 430 m * kg ÷ 130 kilogramów = 3,31 m
- Środek ciężkości znajduje się 3,31 metra od punktu zerowego lub mierzony od punktu zerowego to 3,31 metra od końca lewej strony huśtawki, na której umieszczono punkt zerowy.

Metoda 4 z 4: Sprawdź swoją odpowiedź

Znajdź środek ciężkości na diagramie. Jeśli znaleziony środek ciężkości znajduje się poza układem obiektów, oznacza to, że znalazłeś złą odpowiedź. Być może obliczyłeś odległość z więcej niż jednego punktu. Spróbuj ponownie tylko z jednym punktem zerowym.
- Na przykład: w przypadku osób siedzących na huśtawce środek ciężkości musi znajdować się gdzieś na huśtawce, a nie po lewej lub prawej stronie huśtawki. Nie musi to dotyczyć osoby.
- Dotyczy to również problemów w dwóch wymiarach. Narysuj kwadrat wystarczająco duży, aby zmieścić wszystkie obiekty w twoim problemie. Środek ciężkości musi znajdować się wewnątrz tego kwadratu.
Sprawdź obliczenia, jeśli Twoja odpowiedź jest za mała. Jeśli jako punkt zerowy wybrałeś jeden koniec układu, mała odpowiedź umieszcza środek ciężkości tuż obok jednego końca. To może być prawidłowa odpowiedź, ale często wskazuje, że coś poszło nie tak. Czy masz wagę i odległość między sobą w obliczeniach pomnożone? To jest właściwy sposób na znalezienie tej chwili. Jeśli przypadkowo sumowane, prawdopodobnie otrzymasz znacznie mniejszą odpowiedź.
Sprawdź obliczenia, jeśli znalazłeś więcej niż jeden środek ciężkości. Każdy system ma tylko jeden środek ciężkości. Jeśli jest ich więcej, być może pominięto krok, w którym trzeba było dodać wszystkie momenty do siebie. To jest środek ciężkości całkowity moment podzielony przez całkowity waga. Nie musisz każdy moment do podzielenia każdy waga, która podaje tylko położenie każdego obiektu.
Sprawdź punkt zerowy, jeśli twoja odpowiedź jest liczbą całkowitą obok niego. Odpowiedź w naszym przykładzie to 3,31 m. Załóżmy, że otrzymałeś 2,31 m, 4,31 m lub inną liczbę kończącą się na `` .31 ''. Dzieje się tak prawdopodobnie dlatego, że mamy lewy koniec huśtawki. Jako punkt zerowy, podczas gdy wybierasz prawy koniec lub inny punkt w odległości liczby całkowitej od naszego punktu zerowego. Twoja odpowiedź jest prawidłowa, niezależnie od wybranego punktu zerowego! Musisz tylko o tym pamiętać punkt zerowy zawsze oznacza x = 0. Oto przykład:
- Sposób, w jaki to rozwiązaliśmy, punkt zerowy znajduje się po lewej stronie huśtawki. Nasza odpowiedź to 3,31 m, więc nasz środek masy znajduje się 3,31 m od punktu zerowego po lewej stronie.
- Jeśli wybierzesz nowy punkt zerowy, wybierz 1 m od lewej, otrzymasz 2,31 m od środka masy jako odpowiedź. Środek masy wynosi 2,31 m od nowego punktu zerowegolub 1 m od lewej. Środek masy wynosi 2,31 + 1 = 3,31 m z leweji przy tej samej odpowiedzi, którą obliczyliśmy powyżej.
- (Uwaga: mierząc odległość, pamiętaj o odległościach lewo od punktu zerowego są ujemne, a odległości dobrze pozytywny.)
Upewnij się, że wszystkie pomiary są liniami prostymi. Załóżmy, że widzisz inny przykład z „dziećmi na huśtawce”, ale jedno dziecko jest znacznie wyższe od drugiego lub chłopiec wisi pod huśtawką zamiast na niej siedzieć. Zignoruj różnicę i wykonaj wszystkie pomiary wzdłuż prostej huśtawki. Pomiar odległości w rogu da odpowiedzi, które są bliskie, ale nieco inne.
- W przypadku ćwiczeń na huśtawce liczy się tylko to, gdzie środek ciężkości znajduje się od lewej do prawej wzdłuż linii huśtawki. Później możesz nauczyć się bardziej zaawansowanych sposobów obliczania środka ciężkości w dwóch wymiarach.

Porady

Aby określić odległość, na jaką musi się poruszać osoba, aby zrównoważyć huśtawkę na podporze, użyj następującego wzoru: (przemieszczona waga) / (waga całkowita)=(odległość, na jaką przesunięto środek ciężkości) / (odległość, na jaką ciężar został przeniesiony ). Ten wzór można przepisać, aby pokazać, że odległość, na jaką należy przesunąć ciężar (osobę), jest równa odległości między środkiem ciężkości a punktem podparcia pomnożonym przez ciężar osoby podzielonej przez masę całkowitą. Więc to musi być pierwsze dziecko -1,31 m * 40 kilogramów / 130 kilogramów =-0,40 m ruchu (do końca huśtawki). Albo drugie dziecko powinno się odwrócić -1,08 m * 130 kilogramów / 60 kilogramów =Ruch -2,84 m. (w kierunku środka huśtawki).
Aby znaleźć środek ciężkości dwuwymiarowego obiektu, użyj wzoru Xcg = ∑xW / ∑W, aby znaleźć środek ciężkości wzdłuż osi x, a Ycg = ∑yW / ∑W, aby znaleźć środek ciężkości wzdłuż y oś do znalezienia. Punkt, w którym się przecinają, to środek ciężkości.
Definicja środka ciężkości ogólnego rozkładu masy to (∫ r dW / ∫ dW), gdzie dW jest równe pochodnej wagi, r jest wektorem położenia, a całki należy interpretować jako całki Stieltjesa po Całe ciało. Można je jednak wyrazić jako bardziej konwencjonalne całki objętości Riemanna lub Lebesgue'a dla rozkładów z funkcją gęstości prawdopodobieństwa. Począwszy od tej definicji, wszystkie właściwości CG, w tym te użyte w tym artykule, można wyprowadzić z właściwości całek Stieltjesa.