Równania kwadratowe na czynniki

Wideo: How to Factor Quadratic Equations - Nerdstudy

Zawartość

Do kroku
Początek
Metoda 1 z 6: próba i błąd
Metoda 2 z 6: Rozkład
Metoda 3 z 6: Potrójna gra
Metoda 4 z 6: Różnica między dwoma kwadratami
Metoda 5 z 6: Wzór ABC
Metoda 6 z 6: Korzystanie z kalkulatora
Porady
Ostrzeżenia
Potrzeby

Wielomian zawiera zmienną (x) do określonej potęgi i kilka wyrazów i / lub stałych. Aby rozłożyć wielomian na czynniki, będziesz musiał podzielić wyrażenie na mniejsze wyrażenia, które są mnożone razem. Wymaga to pewnego poziomu matematyki i dlatego może być trudne do zrozumienia, jeśli nie jesteś jeszcze tak daleko.

Do kroku

Początek

Równanie. Standardowy format równania kwadratowego to:

ax + bx + c = 0
Zacznij od ułożenia wyrażeń w swoim równaniu od najwyższej do najniższej potęgi. Na przykład weź:

6 + 6x + 13x = 0
Zamierzamy zmienić kolejność tego wyrażenia, aby praca z nim stała się łatwiejsza - po prostu przenosząc terminy:

6x + 13x + 6 = 0
Znajdź czynniki, korzystając z jednej z poniższych metod. Faktoring wielomianu spowoduje powstanie dwóch mniejszych wyrażeń, które można pomnożyć razem, aby uzyskać oryginalny wielomian:

6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
W tym przykładzie (2x +3) i (3x + 2) to czynniki z oryginalnego wyrażenia, 6x + 13x + 6.
Sprawdź swoją pracę! Pomnóż znalezione współczynniki. Połącz te same warunki i gotowe. Zacząć od:

(2x + 3) (3x + 2)
Przetestujmy to, mnożąc wyrazy za pomocą EBBL (pierwszy - zewnętrzny - wewnętrzny - ostatni), co daje nam:

6x + 4x + 9x + 6
Teraz dodajemy razem 4x i 9x, ponieważ są to równe warunki. Wiemy, że czynniki są poprawne, ponieważ otrzymujemy równanie, od którego zaczęliśmy:

6x + 13x + 6

Metoda 1 z 6: próba i błąd

Jeśli masz dość prosty wielomian, możesz od razu zobaczyć, jakie są jego czynniki. Na przykład po pewnej praktyce wielu matematyków jest w stanie zobaczyć wyrażenie 4x + 4x + 1 ma współczynniki (2x + 1) i (2x + 1) po prostu dlatego, że widzieli to tyle razy. (Oczywiście nie będzie to takie proste w przypadku bardziej skomplikowanych wielomianów.) W tym przykładzie weźmy mniej standardowe wyrażenie:

3x + 2x - 8

Zapisz czynniki za termin i do semestr. Użyj formatu ax + bx + c = 0, rozpoznaj za i do warunki i zanotuj, jakie istnieją czynniki. Dla 3x + 2x - 8 oznacza to:

a = 3 i ma 1 parę czynników: 1 * 3
c = -8, a to ma 4 pary czynników: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 i -1 * 8.
Zapisz dwie pary nawiasów z pustą przestrzenią. Tutaj wpisujesz stałe każdego wyrażenia:

(x) (x)
Wypełnij przestrzeń przed znakami x kilkoma możliwymi czynnikami za wartość. Dla za w naszym przykładzie 3x, jest tylko 1 możliwość:

(3x) (1x)
Wypełnij 2 miejsca po znakach x kilkoma współczynnikami dla stałych. Załóżmy, że wybieramy 8 i 1. Wpisz to:

(3x8) (X1)
Określ, które znaki (plus lub minus) powinny znajdować się między zmiennymi x a liczbami. W zależności od znaków oryginalnego wyrażenia można dowiedzieć się, jakie powinny być znaki stałych. Weźmy dwie stałe z dwóch czynników godz i k wspomnieć:

Jeśli ax + bx + c, to (x + h) (x + k)
Jeśli ax - bx - c lub ax + bx - c to (x - h) (x + k)
Jeśli ax - bx + c, to (x - h) (x - k)
W naszym przykładzie 3x + 2x - 8 znak to: (x - h) (x + k), co daje nam dwa następujące czynniki:

(3x + 8) i (x - 1)
Sprawdź swój wybór za pomocą mnożenia pierwsze-zewnętrzne-wewnętrzne-ostatnie. Szybki pierwszy test, aby sprawdzić, czy średni termin jest co najmniej poprawną wartością. Jeśli nie, prawdopodobnie masz niewłaściwy do wybrane czynniki. Przetestujmy odpowiedź:

(3x + 8) (x - 1)
Mnożąc otrzymujemy:

3x - 3x + 8x - 8
Uprość to wyrażenie, dodając podobne terminy (-3x) i (8x), a otrzymamy:

3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
Teraz wiemy, że wzięliśmy złe czynniki:

3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8
W razie potrzeby zmień opcje. W naszym przykładzie spróbujmy 2 i 4 zamiast 1 i 8:

(3x + 2) (x - 4)
Teraz nasz do wyraz równy -8, ale iloczyn zewnętrzny / wewnętrzny (3x * -4) i (2 * x) to -12x i 2x, co nie jest poprawne b termin lub + 2x.

-12x + 2x = 10x
10x ≠ 2x
W razie potrzeby odwróć kolejność. Spróbujmy odwrócić 2 i 4:

(3x + 4) (x - 2)
Teraz nasz do term (4 * 2 = 8) i nadal jest w porządku, ale iloczyn zewnętrzny / wewnętrzny to -6x i 4x. Kiedy je połączymy, otrzymamy:

-6x + 4x = 2x
2x ≠ -2x Zbliżamy się teraz do 2x tam, gdzie chcemy być, ale znak nie jest jeszcze poprawny.
W razie potrzeby sprawdź dokładnie swoje postacie. Zachowujemy tę kolejność, ale zamieniamy ją na znak minus:

(3x - 4) (x + 2)
Teraz do termin nadal jest w porządku, a iloczynami zewnętrznymi / wewnętrznymi są teraz (6x) i (-4x). Dlatego:

6x - 4x = 2x
2x = 2x Widzimy teraz pozytywny 2x powrót z pierwotnego problemu. To muszą być właściwe czynniki.

Metoda 2 z 6: Rozkład

Ta metoda daje wszystkie możliwe czynniki za i do terminów i używa ich, aby dowiedzieć się, które czynniki są prawidłowe. Jeśli liczby są bardzo duże lub zgadywanie innymi metodami zajmie zbyt dużo czasu, użyj tego sposobu. Przykład:

6x + 13x + 6

Pomnóż za termin z do semestr. W tym przykładzie za to 6 i do jest również 6.

6 * 6 = 36
Znaleźć b termin przez faktoryzację i testowanie. Szukamy 2 liczb, które są czynnikami za * do i razem b termin (13).

4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
Zastąp dwie liczby, które otrzymałeś w swoim równaniu, jako sumę b semestr. Miejmy k i godz aby przedstawić 2 liczby, które mamy, 4 i 9:

ax + kx + hx + c
6x + 4x + 9x + 6
Uwzględnij wielomian przez grupowanie. Zorganizuj równanie tak, aby można było oddzielić największy wspólny dzielnik pierwszych dwóch wyrazów i dwóch ostatnich wyrazów. Oba czynniki powinny być takie same. Dodaj GGD razem i umieść je w nawiasach, obok współczynników; w rezultacie otrzymujesz dwa czynniki:

6x + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)

Metoda 3 z 6: Potrójna gra

Podobna do metody dekompozycji. Metoda „triple play” bada możliwe czynniki iloczynu za i do i użyj go, aby dowiedzieć się, co b musi być. Weźmy na przykład równanie:

8x + 10x + 2

Pomnóż za termin z do semestr. Podobnie jak w przypadku metody dekompozycji, używamy tego do określenia kandydatów na b semestr. W tym przykładzie: za jest 8 i do jest 2.

8 * 2 = 16
Znajdź 2 liczby z tą liczbą jako iloczynem i sumą równą b semestr. Ten krok jest taki sam jak metoda dekompozycji - testujemy kandydatów na stałe. Produkt za i do warunki to 16, a do termin to 10:

2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Weź te 2 liczby i zamień je w formule „triple play”. Weź 2 liczby z poprzedniego kroku - zdobądźmy je godz i k zadzwoń do nich - i umieść je w wyrażeniu:

((ax + h) (ax + k)) / a

Dzięki temu otrzymujemy:

((8x + 8) (8x + 2)) / 8
Zobacz, przez który z dwóch terminów w mianowniku można w całości podzielić za. W tym przykładzie sprawdzamy, czy (8x + 8) czy (8x + 2) można podzielić przez 8. (8x + 8) jest podzielne przez 8, więc dzielimy ten wyraz przez za i pozostawiamy drugą nietkniętą.

(8x + 8) = 8 (x + 1)
Termin, który tu zachowaliśmy, jest tym, który pozostaje po podzieleniu przez za termin: (x + 1)
Jeśli to możliwe, weź największy wspólny dzielnik (gcd) z jednego lub obu warunków. W tym przykładzie widzimy, że drugi człon ma gcd równe 2, ponieważ 8x + 2 = 2 (4x + 1). Połącz tę odpowiedź z terminem odkrytym w poprzednim kroku. To są czynniki twojego porównania.

2 (x + 1) (4x + 1)

Metoda 4 z 6: Różnica między dwoma kwadratami

Niektóre współczynniki wielomianu można rozpoznać jako „kwadraty” lub jako iloczyn 2 identycznych liczb. Zastanawiając się, jakie są kwadraty, możesz znacznie szybciej rozłożyć wielomiany na czynniki. Przyjmujemy równanie:

27x - 12 = 0

Jeśli to możliwe, usuń gcd z równania. W tym przypadku widzimy, że 27 i 12 są podzielne przez 3, więc możemy je umieścić osobno:

27x - 12 = 3 (9x - 4)
Określ, czy współczynniki twojego równania są kwadratami. Aby skorzystać z tej metody, konieczne jest określenie źródła terminów. (Zauważ, że pominęliśmy znaki minus - ponieważ te liczby są kwadratami, mogą być iloczynem 2 liczb ujemnych)

9x = 3x * 3x i 4 = 2 * 2
Korzystając z ustalonego pierwiastka kwadratowego, możesz teraz wypisać współczynniki. Bierzemy za i do wartości z poprzedniego kroku: za = 9 i do = 4, więc korzenie tego to: - √za = 3 i √do = 2. Oto współczynniki wyrażeń na czynniki:

27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

Metoda 5 z 6: Wzór ABC

Jeśli wydaje się, że nic nie działa i nie możesz rozwiązać równania, użyj wzoru abc. Weźmy następujący przykład:

x + 4x + 1 = 0

Wprowadź odpowiednie wartości we wzorze abc:

x = -b ± √ (b - 4ac)
---------------------
2a
Otrzymujemy teraz wyrażenie:

x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2
Znajdź x. Powinieneś teraz otrzymać 2 wartości x. To są:

x = -2 + √ (3) lub x = -2 - √ (3)
Użyj wartości x, aby określić współczynniki. Wprowadź wartości x uzyskane w dwóch równaniach jako stałe. To są twoje czynniki. Jeśli odpowiemy na dwa godz i k zapisujemy te dwa czynniki w następujący sposób:

(x - h) (x - k)
W tym przypadku ostateczna odpowiedź brzmi:

(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))

Metoda 6 z 6: Korzystanie z kalkulatora

Jeśli jest dozwolone (lub obowiązkowe) użycie kalkulatora graficznego, znacznie ułatwia to faktoryzację, szczególnie w przypadku egzaminów i egzaminów. Poniższe instrukcje dotyczą kalkulatora graficznego TI. Korzystamy z równania z przykładu:

y = x - x - 2

Wprowadź równanie do swojego kalkulatora. Będziesz używać narzędzia do rozwiązywania równań, znanego również jako ekran [Y =].
Narysuj równanie za pomocą kalkulatora. Po wprowadzeniu równania naciśnij [GRAPH] - powinieneś teraz zobaczyć zakrzywioną linię, parabolę jako graficzną reprezentację twojego równania (i jest to parabola, ponieważ mamy do czynienia z wielomianem).
Znajdź miejsce przecięcia paraboli z osią x. Ponieważ równanie kwadratowe jest tradycyjnie zapisywane jako ax + bx + c = 0, są to dwie wartości x, które sprawiają, że równanie jest równe zero:

(-1, 0), (2 , 0)
x = -1, x = 2
- Jeśli nie możesz zobaczyć, gdzie parabola przecina się z osią X, naciśnij [2nd], a następnie [TRACE]. Naciśnij [2] lub wybierz „zero”. Przesuń kursor na lewo od skrzyżowania i naciśnij [ENTER]. Przesuń kursor na prawo od skrzyżowania i naciśnij [ENTER]. Przesuń kursor jak najbliżej punktu przecięcia i naciśnij [ENTER]. Kalkulator wskaże wartość x. Zrób to również dla drugiego skrzyżowania.
Wprowadź otrzymane wartości x do dwóch wyrażeń podzielonych na czynniki. Jeśli weźmiemy dwie wartości x godz i k jako termin wyrażenie, którego używamy, wygląda następująco:

(x - h) (x - k) = 0
Zatem nasze dwa czynniki stają się:

(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

Porady

Jeśli rozłożyłeś wielomian na czynniki za pomocą formuły abc, a Twoja odpowiedź zawiera pierwiastki, możesz przekonwertować wartości x na ułamki, aby je sprawdzić.
Jeśli przed terminem nie ma żadnego współczynnika, to współczynnik jest równy 1, np. X = 1x.
Jeśli masz kalkulator TI-84, istnieje program o nazwie SOLVER, który może rozwiązać za Ciebie równanie kwadratowe. Rozwiązuje również wielomiany wyższego stopnia.
Po wielu ćwiczeniach w końcu będziesz w stanie rozwiązywać wielomiany na pamięć. Ale dla pewności lepiej zawsze je zapisywać.
Jeśli termin nie istnieje, współczynnik wynosi zero. Wtedy przydatne może być przepisanie równania. Na przykład. x + 6 = x + 0x + 6.

Ostrzeżenia

Jeśli uczysz się tego pojęcia na lekcjach matematyki, zwróć uwagę na to, co wyjaśnia nauczyciel i nie używaj tylko swojej ulubionej metody. Możesz zostać poproszony o użycie określonej metody testu lub użycie kalkulatorów graficznych może być niedozwolone.