Zawartość

• Do kroku
• Metoda 1 z 2: Metoda pierwsza: Mnożenie krzyżowe
• Metoda 2 z 2: Metoda druga: znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) mianowników
• Porady

Funkcja wymierna to ułamek z co najmniej jedną zmienną w liczniku lub mianowniku. Racjonalne równanie to dowolne równanie, które zawiera co najmniej jedno wymierne wyrażenie. Podobnie jak w przypadku zwykłych równań algebraicznych, wyrażenia wymierne można rozwiązać, stosując tę ​​samą operację po obu stronach równania, aż zmienna zostanie wyizolowana po jednej stronie znaku równości. Dwie specjalne metody, mnożenie krzyżowe i znajdowanie najmniejszej wspólnej wielokrotności mianowników, są szczególnie przydatne do wyodrębniania zmiennych i rozwiązywania równań wymiernych.

Do kroku

Metoda 1 z 2: Metoda pierwsza: Mnożenie krzyżowe

1. W razie potrzeby zmień równanie, aby upewnić się, że po obu stronach znaku równości znajduje się ułamek. Mnożenie krzyżowe to szybka metoda rozwiązywania równań wymiernych. Niestety ta metoda działa tylko w przypadku równań wymiernych, które mają dokładnie jedno wyrażenie wymierne lub ułamek po obu stronach znaku równości. Jeśli tak nie jest w Twoim równaniu, prawdopodobnie potrzebujesz pewnych operacji algebraicznych, aby uzyskać wyrazy we właściwym miejscu.
   • Na przykład równanie (x + 3) / 4 - x / (- 2) = 0 można łatwo przekonwertować na prawidłową formę mnożenia krzyżowego, dodając x / (- 2) po obu stronach równania, co daje wynik wygląda następująco: (x + 3) / 4 = x / (- 2).
     • Pamiętaj, że liczby dziesiętne i całkowite można zamienić na ułamki, podając im mianownik 1. Na przykład (x + 3) / 4 - 2,5 = 5 można przepisać na (x + 3) / 4 = 7,5 / 1, co pozwala na zastosowanie mnożenia krzyżowego.
   • Niektórych racjonalnych równań nie da się tak łatwo przekonwertować do właściwej postaci. W takich przypadkach użyj metod, w których używasz najmniejszej wspólnej wielokrotności mianowników.
2. Mnożenie krzyżowe. Mnożenie krzyżowe oznacza po prostu pomnożenie licznika jednej części przez mianownik drugiej i odwrotnie. Pomnóż licznik ułamka po lewej stronie znaku równości przez ułamek po prawej. Powtórz z licznikiem po prawej stronie i mianownikiem ułamka po lewej.
   • Mnożenie przez krzyż działa zgodnie z ogólnymi zasadami algebraicznymi. Wyrażenia wymierne i inne ułamki można przekształcić w liczby regularne, mnożąc mianowniki. Zasadniczo mnożenie krzyżowe jest wygodnym, skróconym sposobem mnożenia obu stron równania przez oba mianowniki ułamków. Nie wierzysz? Spróbuj - po uproszczeniu zobaczysz te same rezultaty.
3. Dopasuj oba produkty do siebie. Po pomnożeniu krzyżowym pozostają dwa produkty. Wyrównaj te dwa wyrazy i uprość je, aby uzyskać najprostsze wyrazy po obu stronach równania.
   • Na przykład, jeśli (x + 3) / 4 = x / (- 2) było twoim pierwotnym wyrażeniem wymiernym, to po pomnożeniu krzyżowym staje się równe -2 (x + 3) = 4x. Można to opcjonalnie przepisać na -2x - 6 = 4x.
4. Znajdź zmienną. Użyj operacji algebraicznych, aby znaleźć wartość zmiennej w równaniu. Pamiętaj, że jeśli x pojawia się po obu stronach znaku równości, to dodając lub odejmując wyraz x, upewnij się, że po jednej stronie znaku równości jest tylko x wyrazów.
   • W naszym przykładzie można podzielić obie strony równania przez -2, co daje nam x + 3 = -2x. Odejmowanie x od obu stron znaku równości daje nam 3 = -3x. I wreszcie, dzieląc obie strony przez -3, otrzymujemy -1 = x lub też x = -1. Teraz znaleźliśmy x, które rozwiązuje nasze racjonalne równanie.

Metoda 2 z 2: Metoda druga: znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) mianowników

1. Zrozum, kiedy znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności mianowników jest oczywiste. Najmniejszą wspólną wielokrotność (LCM) mianowników można wykorzystać do uproszczenia równań wymiernych, umożliwiając znalezienie wartości ich zmiennych. Znalezienie LCM jest dobrym pomysłem, jeśli równania wymiernego nie można łatwo przepisać do postaci, w której występuje tylko jeden ułamek lub wymierne wyrażenie po każdej stronie znaku równości. Przy rozwiązywaniu racjonalnych równań z trzema lub więcej członami LCM są użytecznym narzędziem. Jednak przy rozwiązywaniu racjonalnych równań za pomocą tylko dwóch wyrazów mnożenie krzyżowe jest często szybsze.
2. Zbadaj mianownik każdego ułamka. Znajdź najmniejszą liczbę, która jest całkowicie podzielna przez dowolny mianownik. To jest LCM twojego równania.
   • Czasami najmniejsza wspólna wielokrotność - najmniejsza liczba, która jest całkowicie podzielna przez każdy z mianowników - jest natychmiast widoczna. Na przykład, jeśli twoje wyrażenie wygląda jak x / 3 + 1/2 = (3x + 1) / 6, to łatwo zauważyć, że LCM musi być podzielne przez 3, 2 i 6, a więc równe 6.
   • Częściej jednak LCM racjonalnego porównania nie jest od razu jasne. W takich przypadkach wypróbuj wielokrotności największego mianownika, aż znajdziesz liczbę, która zawiera wielokrotności innych, mniejszych mianowników. Często LCM jest iloczynem dwóch mianowników. Na przykład weźmy równanie x / 8 + 2/6 = (x - 3) / 9, gdzie LCM wynosi 8 * 9 = 72.
   • Jeśli jeden lub więcej mianowników zawiera zmienną, proces ten będzie nieco trudniejszy, ale w żadnym wypadku nie jest niemożliwy. W takich przypadkach LCM jest wyrażeniem (ze zmiennymi), które w pełni pasuje do wszystkich mianowników, a nie tylko do pojedynczej liczby. Na przykład równanie 5 / (x-1) = 1 / x + 2 / (3x), gdzie NWW jest równe 3x (x-1), ponieważ jest całkowicie podzielne przez dowolny mianownik - dzielenie przez (x- 1 ) daje 3x, dzielenie przez 3x daje (x-1), a dzielenie przez x daje 3 (x-1).
3. Pomnóż każdy ułamek w równaniu wymiernym przez 1. Mnożenie każdego wyrazu przez 1 może wydawać się bezużyteczne, ale jest tu pewna sztuczka. Mianowicie 1 można zapisać jako ułamek - np. 2/2 i 3/3. Pomnóż każdy ułamek w swoim wymiernym równaniu przez 1, pisząc za każdym razem 1 jako liczbę lub wyraz pomnożony przez każdy mianownik, aby otrzymać LCM jako ułamek.
   • W naszym przykładzie możemy pomnożyć x / 3 przez 2/2, aby otrzymać 2x / 6 i pomnożyć 1/2 przez 3/3, aby otrzymać 3/6. 3x +1/6 ma już 6 (lcm) jako mianownik, więc możemy go pomnożyć przez 1/1 lub po prostu zostawić.
   • W naszym przykładzie ze zmiennymi w mianownikach cały proces jest nieco bardziej skomplikowany. Ponieważ LCM jest równe 3x (x-1), mnożymy każde wyrażenie wymierne przez ułamek, który daje w mianowniku 3x (x-1). Mnożymy 5 / (x-1) przez (3x) / (3x) i daje to 5 (3x) / (3x) (x-1), mnożymy 1 / x przez 3 (x-1) / 3 (x -1) i to daje 3 (x-1) / 3x (x-1) i mnożymy 2 / (3x) przez (x-1) / (x-1) i ostatecznie daje 2 (x-1) / 3x (x-1).
4. Uprość i rozwiąż dla x. Teraz, gdy każdy wyraz w twoim racjonalnym równaniu ma ten sam mianownik, możliwe jest wyeliminowanie mianowników z równania i rozwiązanie liczników. Po prostu pomnóż obie strony równania przez LCM, aby pozbyć się mianowników, tak aby zostały tylko liczniki. Teraz stało się regularnym równaniem, które można rozwiązać dla zmiennej, wyodrębniając ją po jednej stronie znaku równości.
   • W naszym przykładzie po pomnożeniu, używając 1 jako ułamka, otrzymujemy 2x / 6 + 3/6 = (3x + 1) / 6. Można dodać dwa ułamki, jeśli mają ten sam mianownik, więc możemy zapisać to równanie jako (2x + 3) / 6 = (3x + 1) / 6 bez zmiany jego wartości. Pomnóż obie strony przez 6, aby zlikwidować mianowniki, pozostawiając 2x + 3 = 3x + 1. Tutaj odejmij 1 z obu stron, aby zostawić 2x + 2 = 3x i odejmij 2x z obu stron, aby zostawić 2 = x, co można następnie zapisać jako x = 2.
   • W naszym przykładzie ze zmiennymi w mianownikach równanie po pomnożeniu każdego wyrazu przez „1” daje 5 (3x) / (3x) (x-1) = 3 (x-1) / 3x (x-1) + 2 ( x-1) / 3x (x-1). Mnożenie każdego wyrazu przez LCM umożliwia zlikwidowanie mianowników, co daje nam teraz 5 (3x) = 3 (x-1) + 2 (x-1). Po rozwinięciu, otrzymujemy 15x = 3x - 3 + 2x -2, co można ponownie uprościć jako 15x = x - 5. Odejmowanie x z obu stron daje 14x = -5, tak więc ostateczną odpowiedź można uprościć do x = - 5/14.

Porady

• Po znalezieniu wartości zmiennej sprawdź odpowiedź, wprowadzając tę ​​wartość w pierwotnym równaniu. Jeśli poprawnie uzyskasz wartość zmiennej, powinieneś być w stanie uprościć równanie do prostego, poprawnego twierdzenia, takiego jak 1 = 1.
• Każde równanie można zapisać jako wyrażenie racjonalne; po prostu umieść go jako licznik powyżej mianownika 1. Zatem równanie x + 3 można zapisać jako (x + 3) / 1, oba mają tę samą wartość.