Zawartość

• Kroki
• Rada

Jeśli jesteś matematykiem lub grafikiem, prawdopodobnie będziesz musiał znaleźć kąt między dwoma podanymi wektorami. W tym artykule wikiHow pokazuje, jak to zrobić.

Kroki

Część 1 z 2: Znajdź kąt między dwoma wektorami

1. 

   Definicja wektora. Zapisz wszystkie informacje o dwóch posiadanych wektorach. Załóżmy, że masz tylko określone parametry ich współrzędnych wymiarowych (zwane także komponentami). Jeśli znasz już długość (wielkość) wektora, możesz pominąć niektóre z poniższych kroków.
   • Przykład: dwuwymiarowy wektor = (2,2) i dwuwymiarowy wektor = (0,3). Można je również zapisać jako = 2ja + 2jot i = 0ja + 3jot = 3jot.
   • Chociaż w przykładzie w tym artykule użyto wektorów dwuwymiarowych, poniższe instrukcje można zastosować do wektorów o dowolnej liczbie wymiarów.

2. 

   
   
   Zapisz wzór na cosinus. Aby znaleźć kąt θ między dwoma wektorami, zaczynamy od wzoru na znalezienie cosinusa dla tego kąta. Możesz dowiedzieć się o tej formule poniżej lub po prostu zapisać ją w ten sposób:
   • cosθ = (•) / (|||| ||||)
   • |||| oznacza „długość wektora”.
   • • jest iloczynem skalarnym dwóch wektorów - zostanie to wyjaśnione poniżej.

3. 

   
   
   Oblicz długość każdego wektora. Wyobraź sobie, że trójkąt prostokątny składa się z x, y składowych wektora i samego wektora. Wektor tworzy przeciwprostokątną trójkąta, więc aby znaleźć jego długość, używamy twierdzenia Pitagorasa. W rzeczywistości wzór ten można łatwo rozszerzyć do wektora o dowolnej liczbie wymiarów.
   • || u || = u₁ + u₂. Jeśli wektor ma więcej niż dwa elementy, po prostu kontynuuj dodawanie + u₃ + u₄ +...
   • Stąd dla dwuwymiarowego wektora || u || = √ (u₁ + u₂).
   • W tym przykładzie |||| = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. |||| = √(0 + 3) = √(9) = 3.

4. 

   
   
   Oblicz iloczyn skalarny dwóch wektorów. Być może poznałeś metodę mnożenia wektorów, znaną również jako skalarny to. Aby obliczyć iloczyn skalarny w stosunku do ich składu, pomnóż razem składniki w każdym kierunku, a następnie zsumuj cały wynik.
   • W przypadku programu graficznego zapoznaj się ze wskazówkami przed dalszą lekturą.
   • W matematyce • = u₁v₁ + u₂v₂, gdzie, u = (u₁, u₂). Jeśli wektor ma więcej niż dwa elementy, po prostu dodaj + u₃v₃ + u₄v₄...
   • W tym przykładzie • = u₁v₁ + u₂v₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6. To jest iloczyn skalarny wektora i wektora.

5. 

   Wyniki umieść we wzorze. Pamiętaj, że cosθ = (•) / (|||| || ||). Teraz znamy zarówno iloczyn skalarny, jak i długość każdego wektora. Wprowadź je do wzoru, aby obliczyć cosinus kąta.
   • W naszym przykładzie cosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2.

6. 

   Znajdź kąt na podstawie jego cosinusa. Możesz użyć funkcji arccos lub cos w kalkulatorze, aby znaleźć θ na podstawie znanej wartości cos. W przypadku niektórych wyników możesz znaleźć kąt na podstawie koła jednostkowego.
   • W tym przykładzie cosθ = √2 / 2. Wpisz „arccos (√2 ​​/ 2)” w kalkulatorze, aby znaleźć kąt. Lub możesz znaleźć kąt θ na okręgu jednostkowym, w pozycji cosθ = √2 / 2. Jest to prawdą dla θ = /₄ lub 45º.
   • Łącząc wszystko, ostateczny wzór to: kąt θ = arccosine ((•) / (|||| || ||))
   Reklama

Część 2 z 2: Wyznaczanie wzoru na kąt

1. 

   Zrozum cel formuły. Ta formuła nie została wyprowadzona z istniejących reguł. Zamiast tego jest tworzony jako definicja iloczynu skalarnego i kąta między dwoma wektorami. Mimo to nie była to arbitralna decyzja. Wracając do podstawowej geometrii, możemy zrozumieć, dlaczego ta formuła zapewnia intuicyjne i przydatne definicje.
   • Poniższe przykłady używają wektorów dwuwymiarowych, ponieważ są one najłatwiejsze do zrozumienia i najprostsze. Trójwymiarowe lub więcej wektorów ma właściwości zdefiniowane przez prawie podobne ogólne wzory.

2. 

   Przejrzyj twierdzenie Cosinusa. Rozważmy zwykły trójkąt z kątem θ między bokami a i b, po przeciwnej stronie c. Twierdzenie o kosinusie stwierdza, że ​​c = a + b -2absałata(θ). Ten wynik można po prostu wyciągnąć z podstawowej geometrii.

3. 

   Połącz dwa wektory, tworząc trójkąt. Narysuj na papierze parę dwuwymiarowych wektorów, wektorów i wektorów, gdzie θ jest kątem między nimi. Narysuj trzeci wektor między tymi dwoma, aby utworzyć trójkąt. Innymi słowy, narysuj taki wektor, że + =. Wektor = -.

4. 

   Napisz twierdzenie o kosinusie dla tego trójkąta. Podstawmy długość boku naszego „trójkąta wektorowego” do twierdzenia o kosinusie:
   • || (a - b) || = || a || + || b || - 2 || a || || b ||sałata(θ)

5. 

   Przepisz za pomocą iloczynu skalarnego. Pamiętaj, iloczyn skalarny to obraz jednego wektora na drugim. Iloczyn skalarny wektora ze sobą nie wymaga rzutowania, ponieważ tutaj nie ma różnicy w kierunku. To oznacza • = || a ||. Korzystając z tego, przepisujemy równanie:
   • (-) • (-) = • + • - 2 || a || || b ||sałata(θ)

6. 

   Pomyślnie przepisano tę samą formułę. Rozwiń lewą stronę wzoru, a następnie uprość, aby uzyskać wzór używany do znajdowania kątów.
   • • - • - • + • = • + • - 2 || a || || b ||sałata(θ)
   • - • - • = -2 || a || || b ||sałata(θ)
   • -2 (•) = -2 || a || || b ||sałata(θ)
   • • = || a || || b ||sałata(θ)
   Reklama

Rada

• Aby zmienić wartości i szybko rozwiązać problem, użyj tego wzoru dla dowolnej pary wektorów dwuwymiarowych: cosθ = (u₁ • v₁ + u₂ • v₂) / (√ (u₁ • u₂) • √ (w₁ • v₂)).
• Jeśli pracujesz z oprogramowaniem do grafiki komputerowej, prawdopodobnie będziesz musiał zadbać tylko o wymiar wektorów, nie martwiąc się o ich długość. Wykonaj następujące kroki, aby skrócić równanie i przyspieszyć program:
  • Normalizuj każdy wektor tak, aby był równy 1. Aby to zrobić, podziel każdy ze składników wektora przez jego długość.
  • Uzyskaj znormalizowany iloczyn skalara zamiast oryginalnego wektora.
  • Ponieważ długość wynosi 1, możemy wykluczyć elementy długości z równania. Ostatecznie otrzymane równanie kąta to arccos (•).
• Na podstawie wzoru cosinus możemy szybko określić, czy kąt jest ostry czy rozwarty. Zacznij od cosθ = (•) / (|||| ||||):
  • Lewa i prawa strona równania muszą mieć ten sam znak (dodatni lub ujemny).
  • Ponieważ długość jest zawsze dodatnia, cosθ musi mieć ten sam znak co iloczyn skalarny.
  • Dlatego jeśli iloczyn jest dodatni, cosθ jest również dodatni. Znajdujemy się w pierwszej ćwiartce koła jednostkowego, gdzie θ <π / 2 lub 90º. Kąt do znalezienia to ostry kąt.
  • Jeśli iloczyn skalarny jest ujemny, cosθ jest ujemny. Znajdujemy się w drugiej ćwiartce koła jednostkowego, gdzie π / 2 <θ ≤ π lub 90º <θ ≤ 180º. To kącik więzienny.