Zawartość

• Kroki
• Metoda 1 z 3: Obliczanie nachylenia równania prostej
• Metoda 2 z 3: Oblicz nachylenie za pomocą dwóch punktów
• Metoda 3 z 3: Wykorzystanie rachunku różniczkowego do obliczenia nachylenia

Nachylenie charakteryzuje kąt nachylenia linii prostej do osi odciętej (nachylenie jest liczbowo równe stycznej tego kąta). Nachylenie występuje w równaniu prostej i jest wykorzystywane w matematycznej analizie krzywych, gdzie zawsze jest równe pochodnej funkcji. Aby łatwiej zrozumieć nachylenie, wyobraźmy sobie, że wpływa ono na tempo zmian funkcji, czyli im większa wartość nachylenia, tym większa wartość funkcji (dla tej samej wartości zmiennej niezależnej).

Kroki

Metoda 1 z 3: Obliczanie nachylenia równania prostej

1. 1 Użyj nachylenia, aby znaleźć kąt linii do odciętej i kierunek tej linii. Obliczenie nachylenia jest dość łatwe, jeśli otrzymasz równanie linii prostej. Pamiętaj, że w każdym równaniu linii prostej:
   • Brak wykładników
   • Istnieją tylko dwie zmienne, z których żadna nie jest ułamkiem (na przykład taka ${ styl wyświetlania { frac {1} {x}}}$)
   • Równanie linii prostej ma postać ${ styl wyświetlania y = kx + b}$, gdzie k i b są współczynnikami liczbowymi (na przykład 3, 10, -12, ${ styl wyświetlania { frac {4} {3}}}$).
2. 2 Aby znaleźć nachylenie, musisz znaleźć wartość k (współczynnik przy „x”). Jeśli dane ci równanie ma postać ${ styl wyświetlania y = kx + b}$, aby znaleźć nachylenie, wystarczy spojrzeć na liczbę przed „x”. Zauważ, że k (nachylenie) jest zawsze przy zmiennej niezależnej (w tym przypadku „x”). Jeśli jesteś zdezorientowany, sprawdź następujące przykłady:
   • ${ styl wyświetlania y = 2x + 6}$
     • Nachylenie = 2
   • ${ styl wyświetlania y = 2-x}$
     • Nachylenie = -1
   • ${ displaystyle y = { frac {3} {8}} x-10}$
     • Nachylenie = ${ displaystyle { frac {3} {8}}}$
3. 3 Jeśli dane Ci równanie ma postać inną niż tak=kx+b{ styl wyświetlania y = kx + b}, wyizoluj zmienną zależną. W większości przypadków zmienna zależna jest oznaczana jako „y” i aby ją wyizolować, można wykonać operacje dodawania, odejmowania, mnożenia i inne. Pamiętaj, że każda operacja matematyczna musi być wykonana po obu stronach równania (aby nie zmienić jego pierwotnej wartości). Musisz sprowadzić do formularza dowolne podane Ci równanie ${ styl wyświetlania y = kx + b}$... Rozważmy przykład:
   • Znajdź nachylenie równania ${ styl wyświetlania 2y-3 = 8x + 7}$
   • Konieczne jest sprowadzenie tego równania do postaci ${ styl wyświetlania y = kx + b}$:
     • ${ Displaystyle 2y-3 (+3) = 8x + 7 (+3)}$
     • ${ styl wyświetlania 2 lata = 8x + 10}$
     • ${ displaystyle { frac {2 lata} {2}} = { frac {8x + 10} {2}}}$
     • ${ styl wyświetlania y = 4x + 5}$
   • Znalezienie stoku:
     • Nachylenie = k = 4

Metoda 2 z 3: Oblicz nachylenie za pomocą dwóch punktów

1. 1 Użyj wykresu i dwóch kropek, aby obliczyć nachylenie. Jeśli otrzymałeś właśnie wykres funkcji (bez równania), nadal możesz znaleźć nachylenie. Aby to zrobić, potrzebujesz współrzędnych dowolnych dwóch punktów na tym wykresie; współrzędne są podstawiane do wzoru: ${ displaystyle { frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}}}$... Aby uniknąć błędów podczas obliczania nachylenia, pamiętaj o następujących kwestiach:
   • Jeśli wykres rośnie, nachylenie jest dodatnie.
   • Jeśli wykres maleje, to nachylenie jest ujemne.
   • Im wyższa wartość nachylenia, tym bardziej stromy wykres (i odwrotnie).
   • Nachylenie linii prostej równoległej do osi odciętej wynosi 0.
   • Nachylenie prostej równoległej do rzędnej nie istnieje (jest nieskończone).
2. 2 Znajdź współrzędne dwóch punktów. Na wykresie zaznacz dowolne dwa punkty i znajdź ich współrzędne (x, y). Na przykład na wykresie znajdują się punkty A (2.4) i B (6.6).
   • W parze współrzędnych pierwsza liczba odpowiada „x”, a druga „y”.
   • Każda wartość „x” odpowiada pewnej wartości „y”.
3. 3 Zrównaj x₁, tak₁, x₂, tak₂ do odpowiednich wartości. W naszym przykładzie z punktami A (2,4) i B (6,6):
   • x₁: 2
   • tak₁: 4
   • x₂: 6
   • tak₂: 6
4. 4 Podłącz znalezione wartości do wzoru nachylenia. Aby znaleźć nachylenie, stosuje się współrzędne dwóch punktów i stosuje się następujący wzór: ${ displaystyle { frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}}}$... Podłącz współrzędne dwóch punktów.
   • Dwa punkty: A (2,4) i B (6,6).
   • Podstaw współrzędne punktów do wzoru:
     • ${ displaystyle { frac {6-4} {6-2}}}$
   • Uprość, aby uzyskać ostateczną odpowiedź:
     • ${ displaystyle { frac {2} {4}} = { frac {1} {2}}}$ = nachylenie
5. 5 Wyjaśnienie istoty formuły. Nachylenie jest równe stosunkowi zmiany współrzędnej „y” (dwa punkty) do zmiany współrzędnej „x” (dwa punkty). Zmiana współrzędnych to różnica między wartościami odpowiednich współrzędnych pierwszego i drugiego punktu.
6. 6 Inny rodzaj wzoru do obliczania nachylenia. Standardowy wzór do obliczania nachylenia to: k = ${ displaystyle { frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}}}$... Ale może mieć następującą postać: k = Δy / Δx, gdzie Δ jest grecką literą „delta” oznaczającą różnicę w matematyce. Oznacza to, że Δx = x_2 - x_1 i Δy = y_2 - y_1.

Metoda 3 z 3: Wykorzystanie rachunku różniczkowego do obliczenia nachylenia

1. 1 Naucz się brać pochodne z funkcji. Pochodna charakteryzuje szybkość zmian funkcji w pewnym punkcie leżącym na wykresie tej funkcji. W takim przypadku wykres może być linią prostą lub zakrzywioną. Oznacza to, że pochodna charakteryzuje tempo zmian funkcji w określonym momencie czasu. Zapamiętaj ogólne zasady, według których brane są instrumenty pochodne, a dopiero potem przejdź do następnego kroku.
   • Przeczytaj artykuł Jak wziąć pochodną.
   • Jak wziąć najprostsze pochodne, na przykład pochodną równania wykładniczego, opisano w tym artykule. Obliczenia przedstawione w kolejnych krokach będą oparte na opisanych w nim metodach.
2. 2 Naucz się rozróżniać problemy, w których nachylenie należy obliczyć jako pochodną funkcji. W zadaniach nie zawsze proponuje się znalezienie nachylenia lub pochodnej funkcji. Na przykład możesz zostać poproszony o znalezienie szybkości zmian funkcji w punkcie A (x, y). Możesz również zostać poproszony o znalezienie nachylenia stycznej w punkcie A (x, y). W obu przypadkach należy wziąć pochodną funkcji.
   • Na przykład znajdź nachylenie funkcji ${ styl wyświetlania f (x) = 2x ^ {2} + 6x}$ w punkcie A (4.2).
   • Pochodna jest często oznaczana jako ${ displaystyle f ’(x), y’,}$ lub ${ displaystyle { frac {dy} {dx}}}$
3. 3 Weź pochodną podanej Ci funkcji. Nie musisz tutaj rysować wykresu - potrzebujesz tylko równania funkcji. W naszym przykładzie weź pochodną funkcji ${ styl wyświetlania f (x) = 2x ^ {2} + 6x}$... Weź pochodną zgodnie z metodami przedstawionymi w artykule wspomnianym powyżej:
   • Pochodna: ${ displaystyle f ’(x) = 4x + 6}$
4. 4 Podstaw współrzędne danego punktu do pochodnej pochodnej, aby obliczyć nachylenie. Pochodna funkcji jest równa nachyleniu w pewnym punkcie. Innymi słowy, f '(x) jest nachyleniem funkcji w dowolnym punkcie (x, f (x)). W naszym przykładzie:
   • Znajdź nachylenie funkcji ${ styl wyświetlania f (x) = 2x ^ {2} + 6x}$ w punkcie A (4.2).
   • Pochodna funkcji:
     • ${ displaystyle f ’(x) = 4x + 6}$
   • Podstaw wartość współrzędnej x tego punktu:
     • ${ displaystyle f ’(x) = 4 (4) +6}$
   • Znajdź stok:
   • Nachylenie funkcji ${ styl wyświetlania f (x) = 2x ^ {2} + 6x}$ w punkcie A (4.2) wynosi 22.
5. 5 Jeśli to możliwe, sprawdź swoją odpowiedź na wykresie. Pamiętaj, że nachylenie może nie być obliczane w każdym punkcie. Rachunek różniczkowy uwzględnia złożone funkcje i złożone wykresy, w których nachylenie nie może być obliczone w każdym punkcie, a w niektórych przypadkach punkty w ogóle nie leżą na wykresach. Jeśli to możliwe, użyj kalkulatora graficznego, aby sprawdzić, czy nachylenie jest obliczane poprawnie dla podanej funkcji.W przeciwnym razie narysuj styczną do wykresu w danym punkcie i zastanów się, czy znaleziona wartość nachylenia odpowiada temu, co widzisz na wykresie.
   • Styczna będzie miała takie samo nachylenie jak wykres funkcji w określonym punkcie. Aby narysować styczną w danym punkcie, przesuń się w prawo/lewo wzdłuż osi X (w naszym przykładzie 22 wartości w prawo), a następnie w górę o jedną jednostkę wzdłuż osi Y. Zaznacz punkt , a następnie podłącz go do podanego Ci punktu. W naszym przykładzie połącz punkty o współrzędnych (4,2) i (26,3).