Zawartość

• Kroki
• Część 1 z 2: Podstawy
• Część 2 z 2: Rozszerzona transformacja macierzy w celu rozwiązania SLAE
• Porady

Układ równań to zestaw dwóch lub więcej równań, które mają wspólny zestaw niewiadomych, a zatem wspólne rozwiązanie. Wykresem układu równań liniowych są dwie proste, a rozwiązaniem układu jest punkt przecięcia tych prostych. Do rozwiązywania takich układów równań liniowych przydatne i wygodne są macierze.

Kroki

Część 1 z 2: Podstawy

1. 1 Terminologia. Układy równań liniowych składają się z różnych elementów. Zmienna jest oznaczona znakiem alfabetycznym (zwykle x lub y) i oznacza liczbę, której jeszcze nie znasz i której potrzebujesz. Stała to pewna liczba, która nie zmienia swojej wartości.Współczynnik to liczba przed zmienną, czyli liczba, przez którą zmienna jest mnożona.
   • Na przykład dla równania liniowego 2x + 4y = 8, x i y są zmiennymi, 8 jest stałą, a liczby 2 i 4 są współczynnikami.
2. 2 Forma układu równań liniowych. Układ liniowych równań algebraicznych (SLAE) z dwiema zmiennymi można zapisać w następujący sposób: ax + by = p, cx + dy = q. Dowolne stałe (p, q) mogą wynosić zero, ale każde z równań musi zawierać przynajmniej jedną zmienną (x, y).
3. 3 Wyrażenia macierzowe. Każdy SLAE można zapisać w postaci macierzowej, a następnie, korzystając z algebraicznych właściwości macierzy, rozwiązać go. Pisząc układ równań w postaci macierzowej, A reprezentuje współczynniki macierzy, C reprezentuje macierze stałe, a X oznacza nieznaną macierz.
   • Na przykład powyższy SLAE można przepisać w następującej postaci macierzowej: A x X = C.
4. 4 Rozszerzona macierz. Rozszerzoną macierz uzyskuje się poprzez przeniesienie macierzy wolnych terminów (stałych) na lewą stronę. Jeśli masz dwie macierze, A i C, to macierz rozszerzona będzie wyglądać tak:
   • Na przykład dla następującego układu równań liniowych:
     2x + 4 lata = 8
     x + y = 2
     Rozszerzona macierz będzie miała wymiary 2x3 i będzie wyglądać tak:

Część 2 z 2: Rozszerzona transformacja macierzy w celu rozwiązania SLAE

1. 1 Podstawowe operacje. Możesz wykonać pewne operacje na macierzy, uzyskując w ten sposób macierz równoważną oryginalnej. Takie operacje nazywane są elementarnymi. Na przykład, aby rozwiązać macierz 2x3, musisz wykonać operacje na wierszach, aby sprowadzić macierz do postaci trójkąta. Takimi operacjami mogą być:
   • permutacja dwóch linii.
   • mnożenie ciągu przez liczbę niezerową.
   • mnożenie ciągu i dodawanie go do drugiego.
2. 2 Mnożenie drugiego wiersza przez liczbę niezerową. Jeśli chcesz zero w drugiej linii, możesz pomnożyć linię, aby było to możliwe.
   • Na przykład, jeśli masz taką macierz:
     
     
     Możesz zachować pierwszą linię i użyć jej, aby uzyskać zero w drugiej linii. Aby to zrobić, musisz najpierw pomnożyć drugą linię przez 2:
3. 3 Pomnóż ponownie. Aby uzyskać zero w pierwszym wierszu, może być konieczne ponowne pomnożenie przy użyciu podobnych manipulacji.
   • W powyższym przykładzie musisz pomnożyć drugą linię przez -1:
     
     
     Po mnożeniu macierz będzie wyglądać tak:
4. 4 Dodaj pierwszą linię do drugiej. Dodaj wiersze, aby uzyskać zero w miejscu pierwszej kolumny i drugiego wiersza.
   • W naszym przykładzie dodaj obie linie, aby uzyskać następujące informacje:
5. 5 Napisz nowy układ równań liniowych dla macierzy trójkątnej. Gdy już masz trójkątną macierz, możesz wrócić do SLAE. Pierwsza kolumna macierzy odpowiada nieznanej zmiennej x, a druga nieznanej zmiennej y. Trzecia kolumna odpowiada przecięciu równania.
   • W naszym przykładzie nowy układ równań liniowych przyjmie postać:
6. 6 Rozwiąż równanie dla jednej ze zmiennych. W nowym SLAE określ, która zmienna jest najłatwiejsza do znalezienia i rozwiązania równania.
   • W naszym przykładzie wygodniej jest rozwiązywać od końca, czyli od ostatniego równania do pierwszego, przesuwając się od dołu do góry. Z drugiego równania możemy łatwo znaleźć rozwiązanie dla y, ponieważ pozbyliśmy się x, więc y = 2.
7. 7 Znajdź drugą niewiadomą metodą podstawienia. Po znalezieniu jednej ze zmiennych możesz wstawić ją do drugiego równania, aby znaleźć drugą zmienną.
   • W naszym przykładzie po prostu zamień y na 2 w pierwszym równaniu, aby znaleźć nieznane x:

Porady

• Elementy macierzy są powszechnie nazywane skalarami.
• Aby rozwiązać macierz 2x3, musisz wykonać podstawowe operacje na wierszach. Nie możesz wykonać tych operacji na kolumnach.