Zawartość

• Kroki
• Część 1 z 2: Kąty w radianach
• Część 2 z 2: współrzędne x-y (cosinus, sinus)
• Porady

Koło jednostkowe jest używane nie tylko w trygonometrii i geometrii, ale także w innych działach matematyki. Na pierwszy rzut oka zapamiętanie wszystkich osobliwych punktów na nim jest dość trudne, ale jeśli zrozumiesz podstawową zasadę, możesz łatwo użyć okręgu jednostkowego.

Kroki

Część 1 z 2: Kąty w radianach

1. 1 Narysuj dwie prostopadłe linie. Weź dużą kartkę papieru i linijkę i narysuj pionowe i poziome linie. Punkt przecięcia tych linii powinien leżeć mniej więcej pośrodku arkusza. To będą osie x oraz tak.
2. 2 Narysuj okrąg. Weź kompas, umieść jego igłę na przecięciu linii i narysuj duże koło.
3. 3 Zapoznaj się z pojęciem radiana. Radian jest jednostką miary kątów. Z definicji kąt jednego radiana odcina się na obwodzie jednostki promień łuk o długości jednostki. W tej sekcji punkty będą oznaczane odpowiadającymi im wartościami w radianach. Jeśli pamiętasz zależność między obwodem koła a jego promieniem, możesz łatwo określić te wartości wzdłuż okręgu jednostkowego, nawet jeśli o nich zapomniałeś.
   • Podczas pomiaru kątów wzdłuż okręgu jednostkowego, punkt o współrzędnych (0; 1) jest zawsze przyjmowany jako punkt początkowy. Dla jasności możesz wyobrazić sobie okrąg jednostkowy w postaci róży wiatrów, wtedy punkt odniesienia będzie odpowiadał kierunkowi wschodniemu.
4. 4 Pamiętaj, że całkowita długość okręgu jednostkowego wynosi 2π. Obwód to 2πr, gdzie r - jego promień. Ponieważ promień okręgu jednostkowego wynosi 1, jego długość wynosi 2π. Stąd możesz znaleźć wartość w radianach dla każdego punktu okręgu: po prostu weź 2π i podziel przez ułamek okręgu, który odpowiada temu punktowi. Jest to o wiele łatwiejsze niż próba poznania wartości w każdym punkcie okręgu jednostkowego.
5. 5 Zaznacz cztery punkty na osiach x oraz tak. Punkty te podzielą okrąg na cztery ćwiartki (ćwiartki):
   • „Wschód” jest punktem odniesienia, więc odpowiada 0 radiany;
   • "północ" = ¼ okręgu = /₄ = /₂ radiany;
   • "zachód" = półkole = /₂ = π radiany;
   • „południe” = trzy czwarte koła = 2π * ¾ = /₂ radiany;
   • po przejechaniu całego okręgu wracamy do punktu startowego, więc wraz z 0 można mu przypisać wartość 2π.
6. 6 Podziel okrąg na osiem części. Narysuj proste linie na środku każdego kwadrantu, tak aby były podzielone na pół. Dla punktów przecięcia linii z okręgiem otrzymujemy następujące wartości w radianach:
   • /₄;
   • /₄;
   • /₄;
   • /₄;
   • (punkty π / 2, π, 3π / 2 i 2π są już zaznaczone).
7. 7 Podziel okrąg na sześć części. Narysuj dodatkowe linie, które dzielą okrąg na sześć części. Możesz użyć do tego kątomierza: zacznij od dodatniego kierunku osi x i odłóż na bok kąty 60 stopni. Stosując opisaną powyżej metodę łatwo ustalić, że szósta część koła to /₆ = /₃ radiany. Teraz możemy zaznaczyć kółkiem punkty przecięcia nowych linii (po jednym w każdym kwadrancie):
   • /₃;
   • /₃;
   • /₃;
   • /₃;
   • (wartości π i 2π zostały już odnotowane).
8. 8 Narysuj linie, które dzielą okrąg na 12 części. Pozostaje podzielić okrąg jednostkowy na 12 równych części. Z tych punktów tylko cztery nie zostały wcześniej odnotowane:
   • /₆;
   • /₆;
   • /₆;
   • /₆.

Część 2 z 2: współrzędne x-y (cosinus, sinus)

1. 1 Zapoznaj się z pojęciami sinusa i cosinusa. Okrąg jednostkowy doskonale nadaje się do pracy z trójkątami prostokątnymi. Współrzędne x punkty leżące na okręgu są równe cos (θ), a współrzędne tak odpowiadają sin (θ), gdzie θ jest kątem.
   • Jeśli masz trudności z zapamiętaniem tej zasady, pamiętaj tylko, że w parze (cos; sin) „sinus jest na ostatnim miejscu”.
   • Ta reguła może być wywnioskowana, jeśli weźmiemy pod uwagę trójkąty prostokątne i definicję tych funkcji trygonometrycznych (sinus kąta jest równy stosunkowi długości przeciwnej, a cosinus jest sąsiednią nogą do przeciwprostokątnej).
2. 2 Zapisz współrzędne czterech punktów na okręgu. „Okrąg jednostkowy” to okrąg, którego promień jest równy jeden. Użyj tego, aby określić współrzędne x oraz tak w czterech punktach przecięcia osi współrzędnych z okręgiem. Powyżej oznaczyliśmy te punkty dla jasności jako „wschód”, „północ”, „zachód” i „południe”, chociaż nie mają one ustalonej nazwy.
   • „Wschód” odpowiada punktowi o współrzędnych (1; 0).
   • „Północ” odpowiada punktowi o współrzędnych (0; 1).
   • „Zachód” odpowiada punktowi o współrzędnych (-1; 0).
   • „Południe” odpowiada punktowi o współrzędnych (0; -1).
   • Jest to to samo, co normalny wykres, więc nie ma potrzeby zapamiętywania tych wartości, pamiętaj tylko o podstawowej zasadzie.
3. 3 Zapamiętaj współrzędne punktów w pierwszej ćwiartce. Pierwsza ćwiartka znajduje się w prawym górnym rogu okręgu, gdzie współrzędne są x oraz tak przyjmuj wartości dodatnie. To jedyne współrzędne, które musisz zapamiętać:
   • kropka /₆ ma współrzędne (${ displaystyle { frac { sqrt {3}} {2}}, { frac {1} {2}}}$);
   • kropka /₄ ma współrzędne (${ displaystyle { frac { sqrt {2}} {2}}, { frac { sqrt {2}} {2}}}$);
   • kropka /₃ ma współrzędne (${ displaystyle { frac {1} {2}}, { frac { sqrt {3}} {2}}}$);
   • zauważ, że licznik akceptuje tylko trzy wartości. Jeśli poruszasz się w kierunku dodatnim (od lewej do prawej wzdłuż osi x i od dołu do góry wzdłuż osi tak), licznik przyjmuje wartości 1 → √2 → √3.
4. 4 Narysuj proste linie i określ współrzędne punktów ich przecięcia z okręgiem. Jeśli narysujesz proste poziome i pionowe linie z punktów jednego kwadrantu, drugie punkty przecięcia tych linii z okręgiem będą miały współrzędne x oraz tak z tymi samymi wartościami bezwzględnymi, ale różnymi znakami. Innymi słowy, możesz narysować linie poziome i pionowe z punktów pierwszej ćwiartki i podpisać punkty przecięcia okręgiem o tych samych współrzędnych, ale jednocześnie zostawić miejsce na poprawny znak ("+" lub "- ") po lewej.
   • Na przykład możesz narysować poziomą linię między punktami /₃ oraz /₃... Ponieważ pierwszy punkt ma współrzędne (${ displaystyle { frac {1} {2}}, { frac { sqrt {3}} {2}}}$), współrzędne drugiego punktu będą (?${ displaystyle { frac {1} {2}},? { frac { sqrt {3}} {2}}}$), gdzie zamiast znaku „+” lub „-” umieszczany jest znak zapytania.
   • Użyj najprostszej metody: zanotuj mianowniki współrzędnych punktu w radianach. Wszystkie punkty z mianownikiem 3 mają te same bezwzględne wartości współrzędnych. To samo dotyczy punktów z mianownikami 4 i 6.
5. 5 Użyj zasad symetrii, aby określić znak współrzędnych. Istnieje kilka sposobów ustalenia, gdzie umieścić znak „-”:
   • pamiętaj o podstawowych zasadach dotyczących zwykłych wykresów. Oś x ujemny po lewej i dodatni po prawej. Oś tak ujemna poniżej i dodatnia powyżej;
   • zacznij od pierwszej ćwiartki i narysuj linie do innych punktów. Jeśli linia przecina oś tak, koordynować x zmieni swój znak. Jeśli linia przecina oś x, zmieni się znak współrzędnej tak;
   • pamiętaj, że w pierwszym kwadrancie wszystkie funkcje są dodatnie, w drugim ćwiartce dodatni jest tylko sinus, w trzecim ćwiartce dodatni jest tylko tangens, aw czwartym tylko cosinus jest dodatni;
   • niezależnie od użytej metody, pierwsza ćwiartka powinna mieć postać (+, +), druga (-, +), trzecia (-, -) i czwarta (+, -).
6. 6 Sprawdź, czy się mylisz. Poniżej znajduje się pełna lista współrzędnych „specjalnych” punktów (z wyjątkiem czterech punktów na osiach współrzędnych), jeśli poruszasz się po okręgu jednostkowym w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Pamiętaj, że aby określić wszystkie te wartości, wystarczy zapamiętać współrzędne punktów tylko w pierwszym kwadrancie:
   • pierwszy kwadrant: (${ displaystyle { frac { sqrt {3}} {2}}, { frac {1} {2}}}$); (${ displaystyle { frac { sqrt {2}} {2}}, { frac { sqrt {2}} {2}}}$); (${ displaystyle { frac {1} {2}}, { frac { sqrt {3}} {2}}}$);
   • druga ćwiartka: (${ displaystyle - { frac {1} {2}}, { frac { sqrt {3}} {2}}}$); (${ displaystyle - { frac { sqrt {2}} {2}}, { frac { sqrt {2}} {2}}}$); (${ displaystyle - { frac { sqrt {3}} {2}}, { frac {1} {2}}}$);
   • trzeci kwadrant: (${ displaystyle - { frac { sqrt {3}} {2}}, - { frac {1} {2}}}$); (${ displaystyle - { frac { sqrt {2}} {2}}, - { frac { sqrt {2}} {2}}}$); (${ displaystyle - { frac {1} {2}}, - { frac { sqrt {3}} {2}}}$);
   • czwarty kwadrant: (${ displaystyle { frac {1} {2}}, - { frac { sqrt {3}} {2}}}$); (${ displaystyle { frac { sqrt {2}} {2}}, - { frac { sqrt {2}} {2}}}$); (${ displaystyle { frac { sqrt {3}} {2}}, - { frac {1} {2}}}$).

Porady

• Jeśli potrzebujesz użyć okręgu jednostki do testu lub egzaminu, narysuj go na szkicu.
• Przy odrobinie praktyki powinieneś być w stanie szybko narysować okrąg jednostek. Z biegiem czasu będziesz mógł rysować tylko osie x oraz tak a nawet obejść się bez schematu.