Zawartość

• Do kroku
• Metoda 1 z 2: Wyciąganie korzeni z czynnikami pierwszymi
• Metoda 2 z 2: znajdowanie pierwiastków kwadratowych bez kalkulatora
• Z długim podziałem
• Zrozum procedurę
• Porady
• Ostrzeżenia

Przed pojawieniem się kalkulatorów zarówno studenci, jak i profesorowie musieli obliczać pierwiastki kwadratowe za pomocą pióra i papieru. W tamtym czasie opracowano różne techniki radzenia sobie z tym czasem trudnym zadaniem, z których niektóre dają przybliżone oszacowanie, a inne obliczają dokładną wartość. Czytaj dalej, aby dowiedzieć się, jak w kilku prostych krokach znaleźć pierwiastek kwadratowy z liczby.

Do kroku

Metoda 1 z 2: Wyciąganie korzeni z czynnikami pierwszymi

1. Podziel swoją liczbę na współczynniki mocy. Ta metoda wykorzystuje współczynniki liczby, aby znaleźć pierwiastek kwadratowy z liczby (w zależności od liczby może to być dokładna odpowiedź lub oszacowanie). Plik czynniki danej liczby to dowolna sekwencja liczb, które są pomnożone razem, aby utworzyć tę konkretną liczbę. Na przykład można powiedzieć, że współczynniki 8 są równe 2 i 4, ponieważ 2 × 4 = 8. Z drugiej strony, doskonałe kwadraty to liczby całkowite, które są iloczynem innych liczb całkowitych. Na przykład 25, 36 i 49 to idealne kwadraty, ponieważ są one równe odpowiednio 5, 6 i 7. Drugie współczynniki mocy, jak zrozumiesz, są czynnikami, które są również idealnymi kwadratami. Aby znaleźć pierwiastek kwadratowy za pomocą czynników pierwszych, najpierw spróbuj podzielić tę liczbę na jej drugie współczynniki mocy.
   • Weźmy następujący przykład. Znajdziemy pierwiastek kwadratowy z 400. Na początek dzielimy tę liczbę na współczynniki mocy. Ponieważ 400 jest wielokrotnością 100, wiemy, że dzieli się to po równo przez 25 - to idealny kwadrat. Szybka rota mówi nam, że 400/25 = 16,16 również jest idealnym kwadratem. Więc współczynniki sześcianu 400 to 25 i 16 ponieważ 25 × 16 = 400.
   • Zapisujemy to jako: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
2. Weź pierwiastki kwadratowe z drugich współczynników mocy. Reguła iloczynu pierwiastków kwadratowych mówi, że dla dowolnej liczby za i b, Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). Ze względu na tę właściwość możemy teraz wziąć pierwiastki kwadratowe ze współczynników kwadratów i pomnożyć je razem, aby uzyskać odpowiedź.
   • W naszym przykładzie bierzemy pierwiastki kwadratowe z 25 i 16. Zobacz poniżej:
     • Sqrt (25 × 16)
     • Sqrt (25) × Sqrt (16)
     • 5 × 4 = 20
3. Jeśli Twojej liczby nie można dokładnie rozłożyć na czynniki, uprość ją. W rzeczywistości liczby, dla których chcesz określić pierwiastki kwadratowe, nie będą ładnymi zaokrąglonymi liczbami z ładnymi kwadratami, takimi jak 400. W takich przypadkach uzyskanie liczby całkowitej jako odpowiedzi może nie być możliwe. Zamiast tego, korzystając ze wszystkich dostępnych współczynników mocy, możesz określić odpowiedź jako mniejszy, łatwiejszy w użyciu pierwiastek kwadratowy. Robisz to, redukując liczbę do kombinacji współczynników mocy i innych czynników, a następnie upraszczając ją.
   • Jako przykład bierzemy pierwiastek kwadratowy z 147. 147 nie jest iloczynem dwóch doskonałych kwadratów, więc nie możemy uzyskać ładnej liczby całkowitej. Ale jest to iloczyn kwadratu idealnego i innej liczby - 49 i 3. Możemy użyć tych informacji, aby napisać naszą odpowiedź w najprostszy sposób:
     • Sqrt (147)
     • = Sqrt (49 × 3)
     • = Sqrt (49) × Sqrt (3)
     • = 7 × Sqrt (3)
4. W razie potrzeby uprość. Używając pierwiastka kwadratowego w najprostszych słowach, zwykle dość łatwo jest uzyskać zgrubne oszacowanie odpowiedzi, szacując pozostałe pierwiastki kwadratowe i mnożąc je. Jednym ze sposobów ulepszenia domysłów jest znalezienie idealnych kwadratów po obu stronach liczby w pierwiastku kwadratowym. Wiesz, że wartość dziesiętna liczby w Twoim pierwiastku kwadratowym znajduje się gdzieś pomiędzy tymi dwiema liczbami, więc twoje przypuszczenie również będzie musiało zawierać się między tymi liczbami.
   • Wróćmy do naszego przykładu. Ponieważ 2 = 4 i 1 = 1, wiemy, że Sqrt (3) jest między 1 a 2 - prawdopodobnie bliżej 2 niż 1. Szacujemy, że 1,7. 7 × 1,7 = 11,9. Jeśli sprawdzimy to za pomocą kalkulatora, zobaczymy, że jesteśmy bardzo blisko odpowiedzi: 12,13.
     • Działa to również w przypadku większych liczb. Na przykład sqrt (35) mieści się w przybliżeniu między 5 a 6 (prawdopodobnie bliżej 6). 5 = 25 i 6 = 36,35 wynosi od 25 do 36, więc pierwiastek kwadratowy będzie wynosić od 5 do 6. Ponieważ 35 jest nieco poniżej 36, możemy z pewnym przekonaniem powiedzieć, że jest to pierwiastek kwadratowy właśnie jest mniej niż 6. Sprawdzanie kalkulatorem daje nam odpowiedź około 5,92 - mieliśmy rację.
5. Alternatywnie, jako pierwszy krok, możesz uprościć numer do najmniejsza wspólna wielokrotność. Wyszukiwanie współczynników mocy nie jest konieczne, jeśli można łatwo znaleźć czynniki pierwsze danej liczby (czynniki, które są jednocześnie liczbami pierwszymi). Wpisz liczbę w postaci najmniejszych wspólnych wielokrotności. Następnie wyszukaj pasujące pary liczb pierwszych między swoimi czynnikami. Gdy znajdziesz dwa pasujące czynniki pierwsze, usuń je z pierwiastka kwadratowego i umieść za tych liczb poza znakiem pierwiastka kwadratowego.
   • Na przykład za pomocą tej metody określamy pierwiastek kwadratowy z 45. Wiemy, że 45 = 9 × 5 i że 9 = 3 × 3. Więc możemy zapisać pierwiastek kwadratowy w ten sposób: Sqrt (3 × 3 × 5). Po prostu usuń 3 i umieść 3 poza pierwiastkiem kwadratowym, aby uzyskać uproszczony pierwiastek kwadratowy: (3) Sqrt (5). Teraz możesz łatwo dokonać wyceny.
   • Ostatni przykład; określamy pierwiastek kwadratowy z 88:
     • Sqrt (88)
     • = Sqrt (2 × 44)
     • = Sqrt (2 × 4 × 11)
     • = Sqrt (2 × 2 × 2 × 11). W naszym pierwiastku kwadratowym mamy kilka dwójek. Ponieważ 2 jest liczbą pierwszą, możemy usunąć parę i umieścić 2 poza rdzeniem.
     • = Nasz pierwiastek kwadratowy najprościej to (2) Sqrt (2 × 11) lub (2) Sqrt (2) Sqrt (11). Teraz możemy podejść do Sqrt (2) i Sqrt (11) i znaleźć przybliżoną odpowiedź, gdybyśmy chcieli.

Metoda 2 z 2: znajdowanie pierwiastków kwadratowych bez kalkulatora

Z długim podziałem

1. Podziel cyfry swojego numeru na pary. Ta metoda jest podobna do dzielenia długiego, która umożliwia podzielenie pliku dokładny pierwiastek kwadratowy liczby cyfra po cyfrze. Chociaż nie jest to konieczne, podzielenie liczby na działające elementy może ułatwić rozwiązanie, zwłaszcza jeśli jest długie. Najpierw narysuj pionową linię dzielącą obszar roboczy na 2 obszary, a następnie krótszą linię w pobliżu górnej części prawego obszaru, dzieląc go na mniejszą górną część i większą część poniżej. Następnie podziel liczbę na pary liczb, zaczynając od przecinka. Zgodnie z tą zasadą 79520789182.47897 staje się „7 95 20 78 91 82,47 89 70”. Wpisz ten numer w lewym górnym obszarze.
   • Na przykład obliczmy pierwiastek kwadratowy z 780,14. Podziel swoje miejsce pracy jak powyżej i wpisz „7 80, 14” w lewym górnym rogu. W porządku, jeśli po lewej stronie jest tylko jedna liczba zamiast dwóch. Następnie piszesz odpowiedź (pierwiastek kwadratowy z 780,14) u góry prawego obszaru.
2. Znajdź największą liczbę całkowitą n którego kwadrat jest mniejszy lub równy skrajnej lewej cyfrze lub liczbie. Znajdź największy kwadrat, który jest mniejszy lub równy tej liczbie, a następnie znajdź pierwiastek kwadratowy z tego kwadratu. Ta liczba to n. Napisz to w prawym górnym obszarze i napisz kwadrat n w dolnej ćwiartce tego obszaru.
   • W naszym przykładzie ostatnią cyfrą po lewej stronie jest liczba 7. Ponieważ wiemy, że 2 = 4 ≤ 7 3 = 9, możemy powiedzieć, że n = 2, ponieważ jest to największa liczba całkowita, której kwadrat jest mniejszy lub równy 7. Napisz 2 w prawej górnej ćwiartce. To jest pierwsza cyfra odpowiedzi. Napisz 4 (kwadrat 2) w prawej dolnej ćwiartce. Ta liczba jest ważna dla następnego kroku.
3. Odejmij obliczoną liczbę ostatniej cyfry lub liczby z lewej strony. Podobnie jak w przypadku dzielenia długiego, następnym krokiem jest odjęcie kwadratu od liczby, której właśnie użyliśmy do obliczenia. Wpisz tę liczbę pod liczbą z lewej strony i odejmij ją. Napisz odpowiedź poniżej.
   • W naszym przykładzie piszemy 4 poniżej 7 i odejmujemy. To daje 3 w odpowiedzi.
4. Przenieś następną liczbę w dół. Umieść to obok wartości znalezionej w poprzedniej edycji. Pomnóż liczbę w prawym górnym rogu przez dwa i zapisz ją w prawym dolnym rogu. Zostaw miejsce obok zapisanej liczby na sumę, którą zrobisz w następnym kroku. Wpisz tutaj „_ × _ =„ ”.
   • W naszym przykładzie następną liczbą jest „80”. Napisz „80” obok 3 w lewej ćwiartce. Następnie pomnóż liczbę w prawym górnym rogu przez 2. Ta liczba to 2, więc 2 × 2 = 4. Zapisz „4” ”w prawym dolnym rogu, a następnie _×_=.
5. Wprowadź liczby po prawej stronie. W puste miejsce sumy (po prawej) wprowadź największą liczbę całkowitą, która spowoduje, że wynik sumy mnożenia po prawej stronie będzie mniejsza lub równa bieżącej liczbie po lewej stronie.
   • W naszym przykładzie wpisujemy 8, co daje 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. To jest większe niż 380. Zatem 8 jest za duże, ale 7 prawdopodobnie nie. Wypełnij 7 i rozwiąż: 4 (7) × 7 = 329. 7 jest dobre, ponieważ 329 to mniej niż 380. Napisz 7 w prawym górnym rogu. To jest druga cyfra pierwiastka kwadratowego z 780,14.
6. Odejmij obliczoną liczbę od bieżącej liczby po lewej stronie. Więc odejmujesz wynik mnożenia po prawej stronie od aktualnej odpowiedzi po lewej stronie. Wpisz swoją odpowiedź bezpośrednio pod nią.
   • W naszym przykładzie odejmujemy 329 od 380 i to daje 51 w wyniku.
7. Powtórz krok 4. Przenieś następną parę liczb w dół z 780,14. Kiedy dojdziesz do przecinka, napisz ten przecinek w odpowiedzi po prawej stronie. Następnie pomnóż prawą górną liczbę przez 2 i wpisz odpowiedź obok („_ × _”) jak powyżej.
   • W naszej odpowiedzi napiszemy teraz przecinek, ponieważ napotkamy to również w 780.14. Przesuń następną parę (14) w dół po lewej ćwiartce. 27 x 2 = 54, więc w prawej dolnej ćwiartce piszemy „54 _ × _ =”.
8. Powtórz kroki 5 i 6. Znajdź największą liczbę, która daje odpowiedź, która jest mniejsza lub równa bieżącej liczbie po lewej stronie. Rozwiązać.
   • W naszym przykładzie 549 × 9 = 4941, co jest mniejsze lub równe liczbie po lewej stronie (5114). 549 × 10 = 5490, czyli za dużo, więc 9 to nasza odpowiedź. Zapisz 9 jako następną prawą górną liczbę i odejmij wynik mnożenia od lewej liczby: 5114 -4941 = 173.
9. Aby wynik był dokładny, powtórz poprzednią procedurę, aż znajdziesz odpowiedź z odpowiednią liczbą miejsc dziesiętnych (setnych, tysięcznych).

Zrozum procedurę

1. Rozważ liczbę, której pierwiastek kwadratowy chcesz obliczyć jako powierzchnię S kwadratu. Ponieważ pole kwadratu to L, gdzie L jest długością jednego z jego boków, więc znajdując pierwiastek kwadratowy swojej liczby, spróbuj obliczyć długość L boku tego kwadratu.
2. Nadaj każdej cyfrze swojej odpowiedzi literę. Wprowadź zmienną A jako pierwszą cyfrę L (pierwiastek kwadratowy, który próbujemy obliczyć). B to druga cyfra, C trzecia i tak dalej.
3. Nadaj literę każdej „parze cyfr” numeru, od którego zaczynasz. Podaj zmienną S_za do pierwszej pary cyfr w S (wartość początkowa), S._b do drugiej pary cyfr itp.
4. Zrozum związek między tą metodą a długim podziałem. Ta metoda znajdowania pierwiastka kwadratowego jest zasadniczo długim dzieleniem, w którym dzielisz wartość początkową przez jej pierwiastek kwadratowy i jako odpowiedź podajesz pierwiastek kwadratowy. Podobnie jak w przypadku dzielenia długiego, w którym interesuje Cię tylko następna cyfra naraz, interesują Cię tylko kolejne dwie cyfry naraz (które odpowiadają następnej cyfrze pierwiastka kwadratowego).
5. Znajdź największą liczbę, której kwadrat jest mniejszy lub równy S._za jest. Pierwsza cyfra A w naszej odpowiedzi jest więc największą liczbą całkowitą, której kwadrat nie jest większy niż S._za (A taki, że A² ≤ Sa (A + 1) ²). W naszym przykładzie S._za = 7 i 2² ≤ 7 3², więc A = 2.
   • Zauważ, że jeśli podzielisz 88962 przez 7 używając dzielenia długiego, pierwszy krok będzie równy: najpierw zajmiesz się pierwszą cyfrą 88962 (8) i chcesz, aby największa cyfra została pomnożona przez 7, która jest mniejsza lub równa 8. Zasadniczo musisz określać re takie, że 7 × d ≤ 8 7 × (d + 1). W tym przypadku d jest równe 1.
6. Wizualizuj kwadrat, dla którego chcesz znaleźć pole. Twoja odpowiedź, pierwiastek kwadratowy z wartości początkowej, to L, które opisuje długość kwadratu o polu S (wartość początkowa). Wartości A, B i C reprezentują cyfry w wartości L. Innym sposobem wyrażenia tego jest to, że dla odpowiedzi dwucyfrowej 10A + B = L, a dla odpowiedzi trzycyfrowej 100A + 10B + C = L i tak dalej.
   • W naszym przykładzie (10A + B) ² = L = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Pamiętaj, że 10A + B reprezentuje naszą odpowiedź L wraz z B w pozycji jednostek, a A w pozycji dziesiątek. Na przykład, jeśli A = 1 i B = 2, to 10A + B to liczba 12. (10A + B) ² to pole całego kwadratu, podczas gdy 100A² to powierzchnia największego wewnętrznego kwadratu, B² jest polem najmniejszego kwadratu i 10A × B to pole każdego z pozostałych prostokątów. Dzięki tej długiej, skomplikowanej procedurze możemy znaleźć pole całego kwadratu, dodając obszary kwadratów i prostokątów, które są jego częścią.
7. Odejmij A² od S._za. Przynieś parę liczb (S._b) w dół od numeru S. S._za S._b to prawie całkowita powierzchnia kwadratu, od której właśnie odjąłeś powierzchnię największego wewnętrznego kwadratu. Reszta to, powiedzmy, liczba N1, którą otrzymaliśmy w kroku 4 (w naszym przykładzie N1 = 380). N1 równa się 2 × 10A × B + B² (pole 2 prostokątów plus pole małego kwadratu).
8. Spójrz na N1 = 2 × 10A × B + B², zapisane również jako N1 = (2 × 10A + B) × B. W naszym przykładzie znasz już N1 (380) i A (2), więc teraz musisz znaleźć B. B prawdopodobnie nie jest liczbą całkowitą, więc musisz tak właściwie znajdź największą liczbę całkowitą B, taką, że (2 × 10A + B) × B ≤ N1. Więc teraz masz: N1 (2 × 10A + (B + 1)) × (B + 1).)
9. Rozwiązać równanie. Aby rozwiązać to równanie, pomnóż A przez 2, przesuń je do dziesięciu (pomnóż przez 10), umieść B w jednostkach i pomnóż wynik przez B. Innymi słowy, (2 × 10A + B) × B. To jest dokładnie co robisz, pisząc „N_ × _ =” (gdzie N = 2 × A) w prawym dolnym kwadrancie w kroku 4. W kroku 5 określasz największą liczbę całkowitą B, która mieści się poniżej linii, więc (2 × 10A + B) × B ≤ N1.
10. Odejmij powierzchnię (2 × 10 A + B) × B od całkowitej powierzchni. Daje to obszar S- (10A + B) ², którego jeszcze nie wziąłeś pod uwagę (i którego używasz do obliczania następujących liczb w ten sam sposób).
11. Aby obliczyć następną cyfrę C, powtórz procedurę. Przenieś następną parę liczb od S w dół (S_do), aby umieścić N2 w lewo, i poszukaj największego C, aby mieć teraz: (2 × 10 × (10A + B) + C) × C ≤ N2 (równe dwukrotności dwucyfrowej liczby „AB”, po której następuje by "_ × _ =" Teraz określ największą liczbę, jaką możesz tutaj wprowadzić, co da ci odpowiedź mniejszą lub równą N2.

Porady

• Przesunięcie przecinka o dwa miejsca (współczynnik 100) przesuwa przecinek w odpowiednim pierwiastku kwadratowym o jedno miejsce (współczynnik 10).
• W tym przykładzie 1,73 można uznać za „resztę”: 780,14 = 27,9² + 1,73.
• Ta metoda działa dla dowolnego systemu liczbowego, a nie tylko systemu dziesiętnego (dziesiętnego).
• Możesz swobodnie umieszczać obliczenia tam, gdzie chcesz. Niektórzy piszą to powyżej liczby, z której chcą obliczyć pierwiastek kwadratowy.
• Alternatywna metoda jest następująca: √z = √ (x ^ 2 + y) = x + y / (2x + y / (2x + y / (2x + ...))). Na przykład, aby obliczyć pierwiastek kwadratowy z 780,14, weź liczbę całkowitą, której kwadrat jest najbliższy 780,14 (28), więc = 780,14, x = 28 i y = -3,86. Wypełnienie i oszacowanie daje nam x + y / (2x), a to daje (wyrażenia uproszczone) 78207/2800 czyli około 27,931 (1); następujący termin 4374188/156607 lub około 27,930986 (5). Każdy termin dodaje około 3 miejsc po przecinku dokładności do poprzedniego.

Ostrzeżenia

• Pamiętaj, aby podzielić liczbę na pary od przecinka dziesiętnego. Dzielenie 79520789182,47897 na „79 52 07 89 18 2,4 78 97 "daje nieprawidłowy wynik.