Zawartość

• Do kroku
• Metoda 1 z 2: Uprość ułamki piętrowe za pomocą mnożenia wstecznego
• Metoda 2 z 2: Uprość ułamki piętrowe za pomocą zmiennych składników
• Porady

Ułamki piętrowe to takie, w których licznik, mianownik lub oba te elementy również zawierają ułamki. Z tego powodu można to również nazwać „ułamkami w ułamkach”. Upraszczanie ułamków piętrowych to proces, który może wahać się od łatwych do trudnych w zależności od tego, ile terminów znajduje się w liczniku i mianowniku, czy jeden z terminów jest zmienny, a jeśli tak, to złożoność składników zmiennych. Zobacz krok 1 poniżej, aby rozpocząć!

Do kroku

Metoda 1 z 2: Uprość ułamki piętrowe za pomocą mnożenia wstecznego

1. W razie potrzeby uprość licznik i mianownik o kilka ułamków. Ułamki skumulowane niekoniecznie są trudne do rozwiązania. W rzeczywistości ułamki piętrowe, w których licznik i mianownik zawierają jeden ułamek, są zwykle dość łatwe do rozwiązania. Tak więc, jeśli licznik lub mianownik ułamka piętrowego (lub oba) zawiera wiele ułamków lub ułamków i liczb całkowitych, uprość w razie potrzeby, aby uzyskać pojedynczy ułamek zarówno w liczniku, jak i mianowniku. Może to wymagać znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) dwóch lub więcej frakcji.
   • Załóżmy, że chcemy uprościć ułamek zespolony (3/5 + 2/15) / (5/7 - 3/10). Po pierwsze, możemy uprościć zarówno licznik, jak i mianownik naszego ułamka złożonego do pojedynczych ułamków.
     • Aby uprościć licznik, bierzemy LCV równą 15, mnożąc 3/5 przez 3/3. Nasz licznik to 9/15 + 2/15, co równa się 11/15.
     • Aby uprościć mianownik, bierzemy LCM równe 70, mnożąc 5/7 przez 10/10 i 3/10 przez 7/7. Nasz mianownik to 50/70 - 21/70, co równa się 29/70.
     • Więc nasza nowa ułamek skumulowany to (11/15)/(29/70).
2. Odwróć mianownik i znajdź odwrotność. Zgodnie z definicją dzielić od jednej liczby do drugiej to samo pomnóż pierwszą liczbę przez odwrotność drugiej liczby. Teraz, gdy otrzymaliśmy ułamek piętrowy z pojedynczym ułamkiem zarówno w liczniku, jak i mianowniku, możemy użyć tej właściwości dzielenia, aby uprościć nasz ułamek piętrowy! Najpierw znajdź odwrotność mianownika ułamka piętrowego. Zrób to „odwracając” ułamek - licznik zastępuje mianownik i odwrotnie.
   • W naszym przykładzie mianownikiem ułamka piętrowego (11/15) / (29/70) jest ułamek 29/70. Aby znaleźć odwrotność, odwracamy to i stajemy się ułamkiem 70/29.
     • Zauważ, że jeśli ułamek piętrowy ma w mianowniku liczbę całkowitą, możesz traktować ją jako ułamek i nadal znaleźć jej odwrotność. Na przykład załóżmy, że ułamek piętrowy to (11/15) / (29), wtedy możemy zdefiniować mianownik jako 29/1, z odwrotnością 1/29.
3. Pomnóż licznik ułamka piętrowego przez odwrotność mianownika. Teraz, gdy masz już odwrotność mianownika swojego ułamka piętrowego, pomnóż go przez licznik, aby otrzymać pojedynczy ułamek prosty! Pamiętaj, aby pomnożyć dwa ułamki, nie mnożymy krzyżowo - licznik nowego ułamka jest iloczynem licznika dwóch starych i tak samo jest z mianownikiem.
   • W naszym przykładzie mnożymy 11/15 × 70/29. 70 × 11 = 770 i 15 × 29 = 435. Tak samo jest z naszym nowym ułamkiem prostym 770/435.
4. Uprość nowy ułamek, znajdując największy wspólny dzielnik. Mamy teraz jeden, prosty ułamek, więc pozostaje tylko ująć go w najprostszy możliwy sposób. Znajdź największy wspólny dzielnik (gcd) licznika i mianownika i podziel oba przez tę liczbę, aby to uprościć.
   • Wspólnym dzielnikiem 770 i 435 jest 5. Więc jeśli podzielimy licznik i mianownik naszego ułamka przez 5, otrzymamy 154/87. 154 i 87 nie mają wspólnych mianowników, więc wiemy, że znaleźliśmy ostateczną odpowiedź!

Metoda 2 z 2: Uprość ułamki piętrowe za pomocą zmiennych składników

1. Jeśli to możliwe, użyj metody odwrotnego mnożenia opisanej powyżej. Aby było jasne, prawie każdy ułamek ułożony w stos można uprościć, zmniejszając licznik i mianownik do kilku ułamków i mnożąc licznik przez odwrotność mianownika. Ułamki piętrowe ze zmiennymi nie są wyjątkiem, ale im bardziej złożone są wyrażenia zmiennych w ułamku stosowym, tym trudniejsze i bardziej czasochłonne jest mnożenie w odwrotnej kolejności. W przypadku „prostych” zestawionych ułamków ze zmiennymi mnożenie przez odwrotność jest dobrym wyborem, ale zestawione ułamki z wieloma składnikami zmiennymi w liczniku i mianowniku mogą być łatwiejsze do uproszczenia za pomocą alternatywnej metody opisanej poniżej.
   • Na przykład: (1 / x) / (x / 6) można łatwo uprościć dzięki mnożeniu odwrotnemu. 1 / x × 6 / x = "6 / x. Nie jest konieczne stosowanie alternatywnej metody.
   • Jednak ułamek (((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))) jest trudniejszy do uproszczenia za pomocą mnożenia odwrotnego. Zmniejszenie licznika i mianownika tego ułamka stosowego do kilku ułamków, odwrotne mnożenie i zredukowanie wyniku do najprostszych wyrazów jest prawdopodobnie skomplikowanym procesem. W takim przypadku alternatywna metoda poniżej może być prostsza.
2. Jeśli mnożenie odwrotne jest niepraktyczne, zacznij od znalezienia najmniejszego wspólnego dzielnika składników częściowych w ułamku piętrowym. Pierwszym krokiem w tej alternatywnej metodzie uproszczenia jest znalezienie kgd wszystkich wyrażeń ułamkowych w ułamku stosowym - zarówno w liczniku, jak i mianowniku. Jeśli którykolwiek z terminów ułamkowych ma zmienne w mianownikach, kgd jest po prostu iloczynem ich mianowników.
   • Łatwiej to zrozumieć na przykładzie. Spróbujmy uprościć ułamek skumulowany, o którym wspomnieliśmy powyżej, (((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))). Terminy ułamkowe w tej frakcji złożonej to (1) / (x + 3) i (1) / (x-5). Wspólnym mianownikiem tych dwóch ułamków jest iloczyn ich mianowników: (x + 3) (x - 5).
3. Pomnóż licznik ułamka piętrowego przez właśnie znaleziony kgd. Następnie musimy pomnożyć wyrazy w naszym ułamku stosowym przez kgd jego składników ułamkowych. Innymi słowy, pomnożymy całą ułożoną frakcję przez (kgd) / (kgd). Możemy to zrobić tylko dlatego, że (kgd) / (kgd) jest równe 1. Najpierw pomnóż licznik przez siebie.
   • W naszym przykładzie mnożymy ułamek piętrowy (((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))) przez ((x + 3) (x-5)) / ((x + 3) (x-5)). Będziemy musieli pomnożyć przez licznik i mianownik ułamka piętrowego, mnożąc każdy wyraz przez (x + 3) (x-5).
     • Najpierw pomnóżmy licznik: (((1) / (x + 3)) + x - 10) × (x + 3) (x-5)
       • = (((x + 3) (x-5) / (x + 3)) + x ((x + 3) (x-5)) - 10 ((x + 3) (x-5))
       • = (x-5) + (x (x - 2x - 15)) - (10 (x - 2x - 15))
       • = (x-5) + (x - 2x - 15x) - (10x - 20x - 150)
       • = (x-5) + x - 12x + 5x + 150
       • = x - 12x + 6x + 145
4. Pomnóż mianownik ułamka piętrowego przez kgd, tak jak w przypadku licznika. Pomnóż ułamek skumulowany przez znaleziony kgd, przechodząc do mianownika. Pomnóż każdy termin przez kgd.
   • Mianownik naszej skumulowanej frakcji, (((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))), to x +4 + (( 1) / (x-5)). Pomnożymy to przez znalezione przez nas kgd, (x + 3) (x-5).
     • (x +4 + ((1) / (x - 5))) × (x + 3) (x-5)
     • = x ((x + 3) (x-5)) + 4 ((x + 3) (x-5)) + (1 / (x-5)) (x + 3) (x-5).
     • = x (x - 2x - 15) + 4 (x - 2x - 15) + ((x + 3) (x-5)) / (x-5)
     • = x - 2x - 15x + 4x - 8x - 60 + (x + 3)
     • = x + 2x - 23x - 60 + (x + 3)
     • = x + 2x - 22x - 57
5. Utwórz nowy, uproszczony ułamek znalezionego licznika i mianownika. Po pomnożeniu ułamka przez wyrażenie (kgd) / (kgd) i uproszczeniu go przez usunięcie podobnych terminów, należy zostawić ułamek prosty, który nie zawiera wyrażeń ułamkowych. Jak być może zauważyłeś, mianowniki tych ułamków znoszą się wzajemnie (mnożąc ułamki z pierwotnego ułamka piętrowego przez kgd), pozostawiając zmienne i liczby całkowite w liczniku i mianowniku odpowiedzi, ale nie ułamki.
   • Korzystając z licznika i mianownika, które znaleźliśmy powyżej, możemy skonstruować ułamek, który jest równy naszemu początkowemu ułamkowi piętrowemu, ale nie zawiera ułamków. Licznik, który otrzymaliśmy, to x - 12x + 6x + 145, a mianownik to x + 2x - 22x - 57, więc nowy ułamek to: (x - 12x + 6x + 145) / (x + 2x - 22x - 57)

Porady

• Pokaż każdy etap swojej pracy. Ułamki mogą być mylące, jeśli chcesz jechać zbyt szybko lub spróbować je zapamiętać.
• Poszukaj przykładów ułożonych ułamków w Internecie lub w swoim podręczniku. Postępuj zgodnie z każdym krokiem, aż zrozumiesz to.