Zawartość

• Kroki
• Metoda 1 z 3: Twierdzenie Pitagorasa
• Metoda 2 z 3: Przypadki specjalne
• Metoda 3 z 3: Twierdzenie sinusowe

Wszystkie trójkąty prostokątne mają jeden kąt prosty (90 stopni), a przeciwną stronę nazywa się przeciwprostokątną. Przeciwprostokątna jest najdłuższym bokiem trójkąta i można ją znaleźć na wiele sposobów. W tym artykule dowiesz się, jak znaleźć przeciwprostokątną zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa (gdy znane są długości pozostałych dwóch boków trójkąta), zgodnie z twierdzeniem sinus (gdy długość nogi i kąt są znane) oraz w niektórych szczególnych przypadkach (takie zadania są często spotykane na kontroli i testach).

Kroki

Metoda 1 z 3: Twierdzenie Pitagorasa

1. 1 Twierdzenie Pitagorasa łączy wszystkie boki trójkąta prostokątnego. Zgodnie z tym twierdzeniem w dowolnym trójkącie prostokątnym z nogami „a” i „b” oraz przeciwprostokątną „c”: a + b = c.
2. 2 Upewnij się, że otrzymany trójkąt jest prostokątny, ponieważ twierdzenie Pitagorasa dotyczy tylko trójkątów prostokątnych. W trójkątach prostokątnych jeden z trzech kątów ma zawsze 90 stopni.
   • Kąt prosty w trójkącie prostokątnym jest oznaczony ikoną kwadratu.
3. 3 Dodaj zarysy boków trójkąta. Oznacz nogi jako "a" i "b" (nogi - boki przecinające się pod kątem prostym), a przeciwprostokątną jako "c" (przeciwprostokątna - największy bok trójkąta prostokątnego leżący naprzeciwko kąta prostego). Następnie wstaw podane wartości do formuły.
   • Na przykład nogi trójkąta to 3 i 4. W tym przypadku a = 3, b = 4, a wzór wygląda tak: 3 + 4 = c.
4. 4 Podnieś wartości nóg do kwadratu („a” i „b”). Aby to zrobić, po prostu pomnóż przez samą liczbę:
   • Jeśli a = 3, to a = 3 x 3 = 9. Jeśli b = 4, to b = 4 x 4 = 16.
   • Wprowadź te wartości do wzoru: 9 + 16 = s.
5. 5 Dodaj znalezione kwadraty nóg (a i b), aby obliczyć kwadrat wartości przeciwprostokątnej (c).
   • W naszym przykładzie 9 + 16 = 25, więc c = 25.
6. 6 Znajdź pierwiastek kwadratowy z c. Użyj kalkulatora, aby znaleźć pierwiastek kwadratowy znalezionej wartości. To obliczy przeciwprostokątną trójkąta.
   • W naszym przykładzie c = 25... Pierwiastek kwadratowy z 25 to 5 (od 5x5 = 25, więc √25 = 5). Oznacza to, że przeciwprostokątna c = 5.

Metoda 2 z 3: Przypadki specjalne

1. 1 Definicja trójki pitagorejskiej. Trójka pitagorejska to trzy liczby (długości trzech boków), które spełniają twierdzenie Pitagorasa. Bardzo często trójkąty o takich bokach są pokazywane w podręcznikach i na testach. Jeśli zapamiętasz kilka pierwszych trójek pitagorejskich, zaoszczędzisz dużo czasu na testach lub egzaminach, ponieważ możesz obliczyć przeciwprostokątną po prostu patrząc na długości nóg.
   • Pierwsza trójka pitagorejska: 3-4-5 (3 + 4 = 5, 9 + 16 = 25). Mając trójkąt z nogami 3 i 4, możesz śmiało stwierdzić, że przeciwprostokątna wynosi 5 (bez konieczności wykonywania jakichkolwiek obliczeń).
   • Trójki pitagorejskie działają nawet wtedy, gdy liczby są mnożone lub dzielone przez jeden czynnik. Na przykład, jeśli nogi są równe 6 oraz 8, przeciwprostokątna to 10 (6 + 8 = 10, 36 + 64 = 100). To samo dotyczy 9-12-15 a nawet dla 1,5-2-2,5.
   • Druga trójka pitagorejska: 5-12-13 (5 + 12 = 13, 25 + 144 = 169). Również ta trójka zawiera na przykład liczby 10-24-26 oraz 2,5-6-6,5.
2. 2 Trójkąt równoramienny. To taki trójkąt, którego kąty wynoszą 45,45 i 90 stopni. Stosunek boków tego trójkąta wynosi 1:1:√2... Oznacza to, że przeciwprostokątna w takim trójkącie jest równa iloczynowi nogi i pierwiastka kwadratowego z 2.
   • Aby obliczyć przeciwprostokątną takiego trójkąta, po prostu pomnóż długość dowolnej nogi przez √2.
   • Ta zależność jest szczególnie wygodna, gdy w zadaniach zamiast wartości liczbowych podawane są zmienne.
3. 3 Połowa równobocznego trójkąta prostokątnego. To taki trójkąt, którego kąty wynoszą 30,60 i 90 stopni.Stosunek boków tego trójkąta wynosi 1:√3:2 lub x: x√3: 2x... Aby znaleźć przeciwprostokątną w takim trójkącie, wykonaj jedną z następujących czynności:
   • Jeśli otrzymasz krótką nogę (przeciwieństwo kąta 30 stopni), po prostu pomnóż długość tej nogi przez 2, aby znaleźć długość przeciwprostokątnej. Na przykład, jeśli krótka noga jest 4, to przeciwprostokątna to 8.
   • Jeśli dostaniesz długą nogę (przeciwnie do kąta 60 stopni), po prostu pomnóż długość tej nogi przez 2/√3znaleźć długość przeciwprostokątnej. Na przykład, jeśli krótka noga jest 4, to przeciwprostokątna to 4,62.

Metoda 3 z 3: Twierdzenie sinusowe

1. 1 Zrozum, co oznacza „sinus”. Sinus, cosinus i tangens kąta to podstawowe funkcje trygonometryczne, które łączą kąty i boki w trójkącie prostokątnym. Sinus kąta jest równy stosunkowi przeciwnej strony do przeciwprostokątnej... Sinus jest oznaczony jako grzech.
2. 2 Naucz się obliczać sinus. Aby obliczyć sinus, na kalkulatorze znajdź klucz grzech, kliknij go, a następnie wprowadź wartość kąta. W niektórych kalkulatorach musisz najpierw nacisnąć klawisz funkcyjny, a następnie nacisnąć grzech... Poeksperymentuj więc z kalkulatorem lub sprawdź jego dokumentację.
   • Aby znaleźć sinus kąta 80 stopni, naciśnij „sin”, „8”, „0”, „=” lub naciśnij „8”, „0”, „sin”, „=” (odpowiedź: -0.9939) .
   • Możesz również znaleźć kalkulator online, wyszukując „oblicz sinus” (bez cudzysłowów).
3. 3 Zapamiętaj twierdzenie o sinusach. Twierdzenie sinusowe jest użytecznym narzędziem do obliczania kątów i boków dowolnego trójkąta. W szczególności pomoże Ci znaleźć przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, jeśli masz nogę i kąt inny niż kąt prosty. Zgodnie z twierdzeniem sinus, w dowolnym trójkącie o bokach a, b, C i rogi A, b, C równość jest prawdziwa a / grzech A = b / grzech b = C / grzech C.
   • Twierdzenie sinus dotyczy dowolnych trójkątów, nie tylko trójkątów prostokątnych (ale tylko trójkąt prostokątny ma przeciwprostokątną).
4. 4 Oznacz boki trójkąta literami „a” (znana noga), „b” (nieznana noga), „c” (niedoprostokątna). Następnie zaznacz kąty trójkąta przez „A” (naprzeciwko nogi „a”), „B” (naprzeciwko nogi „b”), „C” (naprzeciw przeciwprostokątnej).
5. 5 Znajdź trzeci róg. Jeśli otrzymasz jeden z ostrych rogów trójkąta prostokątnego (ALE lub W), a drugi kąt to zawsze 90 stopni (C = 90), to trzeci kąt jest obliczany ze wzoru 180 - (90 + A) = B (pamiętaj, że suma kątów w dowolnym trójkącie wynosi 180 stopni). W razie potrzeby równanie można zmienić w następujący sposób: 180 - (90 + B) = A.
   • Na przykład, jeśli kąt A = 40 stopni, następnie B = 180 - (90 + 40) = 180 - 130 = 50 stopni.
6. 6 Na tym etapie znasz wartości wszystkich trzech kątów oraz długość nogi „a”. Teraz możesz podłączyć te wartości do wzoru na twierdzenie sinus, aby znaleźć pozostałe dwie strony.
   • W naszym przykładzie załóżmy, że ramię a = 10, a kąty to C = 90˚, A = 40˚, B = 50˚.
7. 7 Podłącz dane i znalezione wartości do twierdzenia sinus, aby znaleźć przeciwprostokątną:noga „a” / sinus kąta „A” = przeciwprostokątna „c” / sinus kąta „C”... W tym przypadku sin 90˚ = 1. Zatem równanie jest uproszczone do: a / sinA = c / 1 lub c = a / sinA.
8. 8 Podziel długość nogi „a” przez sinus kąta „A”, aby znaleźć długość przeciwprostokątnej. Aby to zrobić, najpierw znajdź sinus kąta, a następnie podziel. Możesz też skorzystać z kalkulatora, wpisując 10 / (grzech40) lub 10 / (40sin) (nie zapomnij o nawiasach).
   • W naszym przykładzie sin 40 = 0,64278761, a c = 10/0,64278761 = 15,6.