Zawartość

• Kroki
• Metoda 1 z 3: Jak znaleźć nieznaną stronę
• Metoda 2 z 3: Znajdowanie nieznanego kąta
• Metoda 3 z 3: Przykładowe problemy
• Porady

Twierdzenie cosinus jest szeroko stosowane w trygonometrii. Jest używany podczas pracy z nieregularnymi trójkątami w celu znalezienia nieznanych wielkości, takich jak boki i kąty. Twierdzenie jest podobne do twierdzenia Pitagorasa i jest dość łatwe do zapamiętania. Twierdzenie cosinus mówi, że w dowolnym trójkącie ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.

Kroki

Metoda 1 z 3: Jak znaleźć nieznaną stronę

1. 1 Zapisz znane wartości. Aby znaleźć nieznaną stronę trójkąta, musisz znać pozostałe dwa boki i kąt między nimi.
   • Na przykład, mając trójkąt XYZ. Bok YX to 5 cm, bok YZ to 9 cm, a kąt Y to 89°. Jaka jest strona XZ?
2. 2 Zapisz wzór na twierdzenie cosinusa. Formuła: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, gdzie ${ styl wyświetlania c}$ - nieznana impreza, ${ styl wyświetlania cos {C}}$ - cosinus kąta przeciwnego do strony nieznanej, ${ styl wyświetlania a}$ oraz ${ styl wyświetlania b}$ - dwie dobrze znane strony.
3. 3 Wprowadź znane wartości do wzoru. Zmienne ${ styl wyświetlania a}$ oraz ${ styl wyświetlania b}$ oznaczają dwie znane strony. Zmienny ${ styl wyświetlania C}$ jest znanym kątem, który leży między bokami ${ styl wyświetlania a}$ oraz ${ styl wyświetlania b}$.
   • W naszym przykładzie strona XZ jest nieznana, więc we wzorze oznaczono ją jako ${ styl wyświetlania c}$... Ponieważ boki YX i YZ są znane, oznaczamy je zmiennymi ${ styl wyświetlania a}$ oraz ${ styl wyświetlania b}$... Zmienny ${ styl wyświetlania C}$ to kąt Y. Zatem wzór będzie napisany w następujący sposób: ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) cos {89}}$.
4. 4 Znajdź cosinus znanego kąta. Zrób to za pomocą kalkulatora. Wprowadź wartość kąta, a następnie kliknij ${ styl wyświetlania COS}$... Jeśli nie masz kalkulatora naukowego, znajdź tabelę cosinusów online, na przykład tutaj. Również w Yandex możesz wpisać „cosinus X stopni” (zamień wartość kąta za X), a wyszukiwarka wyświetli cosinus kąta.
   • Na przykład cosinus wynosi 89 ° ≈ 0,01745. Więc: ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0,01745)}$.
5. 5 Pomnóż liczby. Zwielokrotniać ${ styl wyświetlania 2ab}$ o cosinus znanego kąta.
   • Na przykład:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0,01745)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1,5707}$
6. 6 Złóż kwadraty znanych boków. Pamiętaj, aby liczbę podbić do kwadratu, należy ją pomnożyć przez samą siebie. Najpierw podnieś odpowiednie liczby do kwadratu, a następnie dodaj otrzymane wartości.
   • Na przykład:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1,5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 25 + 81-1,5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 106-1,5707}$
7. 7 Odejmij dwie liczby. Znajdziesz ${ styl wyświetlania c ^ {2}}$.
   • Na przykład:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 106-1,5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 104,4293}$
8. 8 Wyciągnij pierwiastek kwadratowy z tej wartości. Aby to zrobić, użyj kalkulatora. W ten sposób znajdujesz nieznaną stronę.
   • Na przykład:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 104,4293}$
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {104.4293}}}$
     ${ styl wyświetlania c = 10.2191}$
     Tak więc nieznana strona ma 10,2191 cm.

Metoda 2 z 3: Znajdowanie nieznanego kąta

1. 1 Zapisz znane wartości. Aby znaleźć nieznany kąt trójkąta, musisz znać wszystkie trzy boki trójkąta.
   • Na przykład, mając trójkąt RST. Bok CP = 8 cm, ST = 10 cm, PT = 12 cm. Znajdź wartość kąta S.
2. 2 Zapisz wzór na twierdzenie cosinusa. Formuła: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, gdzie ${ styl wyświetlania cos {C}}$ - cosinus nieznanego kąta, ${ styl wyświetlania c}$ - znana strona naprzeciw nieznanego narożnika, ${ styl wyświetlania a}$ oraz ${ styl wyświetlania b}$ - dwie inne znane imprezy.
3. 3 Znajdź wartości a{ styl wyświetlania a}, b{ styl wyświetlania b} oraz C{ styl wyświetlania c}. Następnie podłącz je do formuły.
   • Na przykład strona RT jest przeciwna do nieznanego kąta S, więc strona RT to ${ styl wyświetlania c}$ w formule. Inne strony będą ${ styl wyświetlania a}$ oraz ${ styl wyświetlania b}$... Tak więc formuła zostanie napisana w następujący sposób: ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -2 (8) (10) cos {C}}$.
4. 4 Pomnóż liczby. Zwielokrotniać ${ styl wyświetlania 2ab}$ o cosinus nieznanego kąta.
   • Na przykład, ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$.
5. 5 Wyprostowany C{ styl wyświetlania c} w kwadracie. To znaczy pomnóż samą liczbę.
   • Na przykład, ${ displaystyle 144 = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$
6. 6 Złóż kwadraty a{ styl wyświetlania a} oraz b{ styl wyświetlania b}. Ale najpierw podnieś do kwadratu odpowiednie liczby.
   • Na przykład:
     ${ Displaystyle 144 = 64 + 100-160 cos {C}}$
     ${ Displaystyle 144 = 164-160 cos {C}}$
7. 7 Wyizoluj cosinus nieznanego kąta. Aby to zrobić, odejmij kwotę ${ displaystyle a ^ {2}}$ oraz ${ styl wyświetlania b ^ {2}}$ z obu stron równania. Następnie podziel każdą stronę równania przez współczynnik cosinusa nieznanego kąta.
   • Na przykład, aby wyizolować cosinus nieznanego kąta, odejmij 164 od obu stron równania, a następnie podziel każdą stronę przez -160:
     ${ Displaystyle 144-164 = 164-164-160 cos {C}}$
     ${ styl wyświetlania -20 = -160 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-20} {-160}} = { frac {-160 cos {C}} {-160}}}$
     ${ styl wyświetlania 0,125 = cos {C}}$
8. 8 Oblicz odwrotny cosinus. Spowoduje to znalezienie wartości nieznanego kąta. Na kalkulatorze oznaczono odwrotną funkcję cosinus ${ Displaystyle COS ^ {-1}}$.
   • Na przykład arcus cosinus 0,0125 to 82,8192. Więc kąt S wynosi 82,8192 °.

Metoda 3 z 3: Przykładowe problemy

1. 1 Znajdź nieznaną stronę trójkąta. Znane boki mają 20 cm i 17 cm, a kąt między nimi wynosi 68°.
   • Ponieważ masz dwie strony i kąt między nimi, możesz użyć twierdzenia cosinus. Zapisz wzór: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Nieznana strona to ${ styl wyświetlania c}$... Wprowadź znane wartości do wzoru: ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$.
   • Oblicz ${ styl wyświetlania c ^ {2}}$, przestrzegając kolejności działań matematycznych:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) (0,3746)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -254.7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 400 + 289-254.7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 689-254,7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 434,2675}$
   • Wyciągnij pierwiastek kwadratowy z obu stron równania. W ten sposób znajdujesz nieznaną stronę:
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {434.2675}}}$
     ${ styl wyświetlania c = 20,8391}$
     Tak więc nieznana strona ma 20,8391 cm.
2. 2 Znajdź kąt H w trójkącie GHI. Dwa boki przylegające do narożnika H mają 22 i 16 cm, a bok przeciwny do narożnika H ma 13 cm.
   • Ponieważ podane są wszystkie trzy boki, można zastosować twierdzenie cosinusowe. Zapisz wzór: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Strona przeciwna do nieznanego rogu to ${ styl wyświetlania c}$... Wprowadź znane wartości do wzoru: ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -2 (22) (16) cos {C}}$.
   • Uprość wynikowe wyrażenie:
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ Displaystyle 169 = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ Displaystyle 169 = 740-704 cos {C}}$
   • Wyizoluj cosinus:
     ${ displaystyle 169-740 = 740-740-704 cos {C}}$
     ${ displaystyle -571 = -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-571} {-704}} = { frac {-704 cos {C}} {-704}}}$
     ${ styl wyświetlania 0,8111 = cos {C}}$
   • Znajdź odwrotny cosinus. W ten sposób obliczasz nieznany kąt:
     ${ styl wyświetlania 0,8111 = cos {C}}$
     ${ styl wyświetlania 35,7985 = COS ^ {-1}}$.
     Zatem kąt H wynosi 35,7985 °.
3. 3 Znajdź długość szlaku. Ścieżki rzeczne, pagórkowate i bagienne tworzą trójkąt. Długość Szlaku Rzecznego wynosi 3 km, długość Szlaku Pagórkowatego wynosi 5 km; szlaki te przecinają się ze sobą pod kątem 135 °. Szlak bagienny łączy dwa końce pozostałych szlaków. Znajdź długość szlaku bagiennego.
   • Trasy tworzą trójkąt. Musisz znaleźć długość nieznanej ścieżki, która jest bokiem trójkąta. Ponieważ podane są długości pozostałych dwóch ścieżek i kąt między nimi, można zastosować twierdzenie cosinusowe.
   • Zapisz wzór: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Nieznana ścieżka (bagno) będzie oznaczona jako ${ styl wyświetlania c}$... Wprowadź znane wartości do wzoru: ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$.
   • Oblicz ${ styl wyświetlania c ^ {2}}$:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) (- 0,7071)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} - (- 21.2132)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 9 + 25 + 21.2132}$
     ${ styl wyświetlania c ^ {2} = 55,2132}$
   • Wyciągnij pierwiastek kwadratowy z obu stron równania. W ten sposób znajdziesz długość nieznanej ścieżki:
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {55.2132}}}$
     ${ styl wyświetlania c = 7.4306}$
     Tak więc długość Szlaku Bagiennego wynosi 7,4306 km.

Porady

• Łatwiej jest użyć twierdzenia sinus. Dlatego najpierw dowiedz się, czy można go zastosować do danego problemu.